數學史融入“橢圓及其標準方程”的教學實踐研究

汪霞

摘要：橢圓是高中數學當中出現的第一個圓錐曲線，對于學生有著非同一般的意義。通過發生教學法，根據歷史的相似性，重構橢圓定義的形成，融入數學史的教學方法通過實踐證明對于學生學習橢圓有著積極的作用。

關鍵詞：數學史;橢圓;旦德林雙球

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-43-485

一、橢圓概念的歷史

橢圓的最初來源是古希臘人們從削尖的圓柱木頭中得到的截痕中發現的，而關于圓錐曲線的起源問題，古希臘人也許也很模糊，但可以肯定的是一定與倍立方問題有關系的。公元前5世界，古希臘的數學家希波克拉底將倍立方問題轉化為求二次比的問題，對一個棱長為a的立方體，在a與2a之間確定二個數x，y，使得關系式滿足：ax=xy=y2a，即x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，前二個是拋物線方程，后一個是雙曲線方程，而這里還沒有橢圓方程。之后，古希臘數學家亞里士塔歐分別將其稱為銳角圓錐曲線、直角圓錐曲線以及鈍角圓錐曲線，分別就是今天的橢圓、雙曲線以及拋物線。借助平面幾何的方法，梅奈克繆斯發現了一些圓錐曲線的基本性質。公元4世紀，古希臘亞歷山大時代的最后一個偉大的幾何學家怕普斯證明了歐幾里得的一個引理：平面上定點和定直線的距離之比等于常數的動點軌跡為圓錐曲線，常數小于1，等于1，大于1，分別就是橢圓、拋物線和雙曲線。這就是第二定義的出現。

二、數學史融入的教學設計

（一）橢圓是什么？

師：解析幾何內容在必修二出現了圓和直線，這二塊內容在初中我們也學習過，但今天要學習的橢圓是之前我們沒有接觸過的內容，大家對橢圓是如何理解的呢？

生：橢圓是扁的，壓扁的圓！

師：可以那么理解，但這應該不是橢圓的規范定義。那大家想一想生活的橢圓，你見到過的在哪里？

學生們七嘴八舌討論自己的想法......

師：這是有給大家展示一下這幾張圖片，大家來看一看，其中是否是橢圓的圖形呢？

大家討論回答之后，進行對橢圓的探究。

師：這些都是橢圓的圖形，那么橢圓的定義是什么？我們在學習圓的定義的時候給圓的定義是“平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合”，那么橢圓是否也有類似的定義的呢？

（二）橢圓的歷史

通過微視頻給學生展示橢圓的圓錐截線定義。

（三）橢圓性質的探究

數學家阿波羅尼斯曾經通過自己的不懈努力證明了一個橢圓的性質，就是從橢圓上任意一點向一條對稱軸作垂線，這個點到垂足的距離的平方之比與垂足到對稱軸二個端點的距離之積是一個定值。這個性質闡述較為啰嗦，所以這個性質并沒有稱為我們對橢圓的定義。直到1822年比利時的數學家旦德林利用雙球實驗最終清晰闡述了橢圓的性質也成為了橢圓的第一定義，今天我就來看旦德林這位偉大的數學家是如何做的雙球實驗。

下面大家來看我的實驗，一個透明的玻璃圓柱，我先將一個球（球的直徑等于圓柱玻璃的內徑6厘米）放入圓柱內，那么球和圓柱自然相切，切點的軌跡是一個圓周即圓柱的內徑圓，接著我將剛剛通過橢圓規畫出來的橢圓紙片放入玻璃圓柱使得這個橢圓紙片與球相切，同時橢圓周與圓柱內壁正好吻合，接著再放入一個和剛才完全相同的球，也與橢圓紙片是相切的，同時也與玻璃圓柱相切于圓柱內徑一周。

分別記橢圓紙片與球相切的切點為F1、F2，而二個球分別與玻璃圓柱內徑相切于一個圓周，在二個圓周上分別取二個點A、B，使得AB連線與圓柱的母線平行，那么AB的長度就是一個定值，即二個球球心之間的距離。接著在AB上又取一個點P，那么PA是第一個球的一條切線，PB是第二個球的切線，同時PF1也是第一個球的一條切線，PF2也是第二個球的切線，根據切線長相等，可以得到PA=PF1，PB=PF2，而PA+PB=AB是一個定長，那么PF1+PF2也是一個定長。這就是今天我們對橢圓的第一定義，F1和F2是球與橢圓紙片的二個切點，所以是二個定點，而點P是橢圓圓周上點，滿足PF1+PF2之和是一個定值。所以大家可以根據圓的定義推導一下橢圓的定義么？

生：平面上到二個定點的距離之和是一個定值的點的軌跡。

師：這個定義大家再仔細想一想，我們剛才用的橢圓紙片得到的是橢圓的性質，也就是橢圓可以滿足平面上到二個定點的距離之和是一個定值，但是不是平面上到二個定點的距離之和是一個定值的點的軌跡就是橢圓呢？

生：......好像有點問題

師：是的。平面上到二個定點的距離之和是一個定值的點的軌跡不一定是一個橢圓，我們可以舉一個反例。比如這個定點之間的距離只有2，而這個定值是1，那么這個軌跡就沒有了......那么我們重新更正定義。

生：平面上到二個定點的距離之和是一個定值（定值>二定點之間的距離）的點的軌跡。

師：對！這樣定義就完整了。其實舒鵬的橢圓規也是利用了這個性質，有興趣的同學可以上來感受一下畫一畫橢圓。

（四）、橢圓的標準方程

根據剛才同學上來畫的橢圓，有了橢圓的圖形及畫法，那么我們還需要繼續研究橢圓曲線，根據課前測大家都回答“研究任意曲線圖形方程的步驟”，是“建系-設點-列關系式-化簡-檢驗”，我們首先來建系。這個橢圓的第一標準方程是建系以焦點所在的直線為x軸，這是根據橢圓的對稱性得到的，也可以根據橢圓的另外一條對稱軸為x軸建系，那么得到的就是另外一個橢圓的標準方程x2b2+y2a2=1。

而剛才同學畫的橢圓有大有小，有的x軸上交點一樣，有的焦點是一樣的，但是橢圓得到的大小卻不一樣，但又有一些類似相關性，這將是我們下節課所要去學習的內容。

（五）、課堂小結

請大家回顧并口述今天內容，且最后的探究內容是求橢圓標準方程的方法課上是利用了二次完全平方去根號得到的，是否還有其它方法呢？請大家回去查閱資料，搜索洛必達法。

本堂課通過滲透橢圓的數學史，使得橢圓的定義變得更為生動有意義，在課后測的反饋中也可以發現學生們對于這樣的方式是樂于接受的，也更加能理解橢圓的來源以及橢圓方程的推導。

參考文獻

[1]陳鋒.基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學[J].上海：數學教學，2012.4

[2]王亞運.HPME視角下的橢圓教學設計與研究[D].武漢：華中師范大學碩士學位論文 ，2017.5

請標注課題項目：江西省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“高中數學教學中滲透數學史的實踐研究”

課題編號：20PTYB179