基于MATLAB 的整體式轉向梯形機構的優化設計

趙振全，曹 智，汪兆興，韓國強，屠 強

（1.沈陽航空航天大學 機電工程學院，遼寧 沈陽 110136；2.沈陽航達機載設備有限公司 設計所，遼寧 沈陽 110048）

汽車轉向梯形機構的設計在汽車設計中占據重要的地位，轉向梯形機構的結構參數直接影響汽車的轉向性能，合理的設計可以保證汽車在轉向時內、外轉向輪盡可能作無滑動的滾動，從而減小輪胎的磨損，保證良好的轉向性能并提高汽車的操縱穩定性。本文以某型地面保障設備的整體式后置轉向梯形機構作為優化設計實例，通過建立轉向梯形機構簡化的平面數學模型，以MATLAB 軟件作為主要優化工具進行優化設計，獲得了理想的優化結果。

1 整體式轉向梯形機構建模與特性計算

1.1 整體式轉向梯形機構建模

1.1.1 基本假設

本文以整體式轉向梯形機構作為研究對象，在合理的范圍內，為了使所求的目標函數不過于復雜，便于設計計算，作出如下基本假設：①忽略轉向梯形機構零部件之間的空間夾角和間隙；②假設車輪為剛性，忽略輪胎彈性側偏等對轉向特性的影響；③忽略車輪定位參數對轉向機構運動的影響。

1.1.2 理想的轉向梯形機構內側轉向輪轉角函數

理想的整體式轉向梯形機構的理論基礎是阿克曼轉向原理。阿克曼轉向原理的特點是：汽車在直線行駛時，轉向輪和定向輪的軸線是相互平行的，并且都與汽車縱向中心面垂直；汽車在轉向行駛時，轉向輪和定向輪都繞同一個瞬時中心做圓周滾動。理想的內、外側轉向輪轉向角關系簡圖如圖1 所示，圖中θi表示內側轉向輪的轉角，θo表示外側轉向輪轉角，K 表示主銷間距（兩主銷中心線延長線到地面交點之間的距離），L 表示設備的軸距。

圖1 理想的內、外側轉向輪轉向角關系簡圖

若要保證所有車輪在轉向時都以同一個瞬時轉向中心行駛，則轉向梯形機構應保證內、外側轉向輪的轉向角有如下關系：

若取θo為自變量，則因變量θi的期望值為：

1.1.3 實際的轉向梯形機構內側轉向輪轉角函數

實際情況下，組成轉向梯形機構的各個零部件之間存在著各種誤差，轉向梯形機構只能近似地滿足上述理想情況下的轉角函數。轉向時內、外側轉向輪實際的轉角關系如圖2 所示。圖中實線四邊形ABFE 是轉向前的轉向梯形機構形狀，虛線四邊形ABF1E1是外側轉向輪轉過θo以后的轉向梯形機構形狀。

圖2 轉向時內、外側轉向輪實際的轉角關系

聯立式（3）～（7）得內側轉向輪實際轉角：

式中：m 為轉向梯形機構的臂長；γ 為轉向梯形機構的底角；θo表示外側轉向輪轉角；表示內側轉向輪的實際轉角。

1.2 轉向梯形機構特性計算

為了分析整體式轉向梯形機構中內側轉向輪的實際轉角與理想轉角之間的誤差值，選取某型地面保障設備的整體式后置轉向梯形機構作為實例分析：設備軸距L=1750mm ；主銷間距K=1030mm；轉向梯形機構的臂長m=162mm；轉向梯形機構的底角γ=81°。應用MATLAB 軟件對內側轉向輪的實際轉角與理想轉角進行對比，在MATLAB 軟件上編輯的M 文件如圖3 所示，得到的運行結果如圖4 所示。

圖3 輸出圖形程序

圖4 化前的內側轉向輪的實際轉角與理想轉角

從圖4 中可以看出，隨著外側轉向輪轉角的增大，內側轉向輪的實際轉角與理想轉角的偏差會逐漸增大，尤其是在外側轉向輪轉角達到極限位置時，偏差也達到了最大值。而某型地面保障設備在轉向時，牽引桿往往處于轉向極限位置，而此時輪胎的側滑情況最為嚴重，輪胎磨損嚴重。

2 轉向梯形機構的優化設計

2.1 確定目標函數

將（2）式和（8）式代入（9）式得

在MATLAB 軟件上編輯目標函數f（x）的M 文件，內容如圖5 所示。

圖5 優化目標函數

2.2 確定約束條件

在轉向梯形機構設計中，當設計變量轉向梯形機構的臂長m 及轉向梯形機構的底角γ 過小時，會造成轉向橫拉桿上的轉向力過大；當m 過大時，會使轉向梯形機構過大，影響整體布局，所以對m 的上下限設置約束條件；當γ 過大時，轉向梯形機構近似于矩形，使得目標函數值越來越偏離理想值，所以對γ 的上下限設置約束條件。綜上所述，設計變量的約束條件為：

此外，由機械原理知識可知，四連桿機構的傳動角δ 不宜過小，通常取δ≥δmin=40。如圖2 所示，轉向梯形機構在汽車右轉彎到極限位置時，δ≥δmin即可。利用該圖所做的輔助虛線及余弦定理，可推出最小傳動角約束條件為

式中：δmin為最小傳動角；δmin為設計變量m 及γ 的函數。

在MATLAB 軟件上編輯目標函數f（x）的優化約束條件的M 文件，內容如圖6 所示。

圖6 優化約束條件

2.3 優化結果分析

運用 MATLAB 優化工具箱中的fmincon 有約束的非線性最小化函數，編輯好主程序、初始點及設計變量m 及γ 的上下限，內容如圖7 所示。

圖7 優化主程序

運行該M 文件，MATLAB 軟件就會對該轉向梯形機構進行優化分析，最后得出最優解，如圖8 所示。

圖8 優化結果

由圖8 可知，優化后的轉向梯形機構的梯形臂長m=179.9727mm，梯形底角γ=71.0512°。對參數取整后得梯形臂長m=180mm，梯形底角γ=71°。

應用MATLAB 軟件對內側轉向輪的理想轉角與優化前后轉角進行對比，在MATLAB 軟件上編輯的M 文件如圖9 所示。根據圖10 所示的運行結果，相比于優化前的曲線，優化后的曲線更加接近理想曲線，達到了優化的效果。

圖9 輸出圖形程序

圖10 內側轉向輪的理想轉角與優化前后轉角

3 結論

本文主要選取某型地面保障設備的整體式后置轉向梯形機構作為分析對象，通過轉向特性阿克曼轉向原理建立了整體式轉向梯形機構簡化的平面數學模型，確定了轉向梯形的特性函數、優化目標函數及約束條件，運用MATLAB 優化工具箱中的fmincon函數求得最優解。

利用Matlab 軟件作為優化設計工具，避免了繁瑣的程序設計與調試，縮短了研發周期及成本，優化結果清晰明了。此方法對新轉向梯形機構的設計和舊轉向梯形機構的改進都有很大的指導作用。