基于迭代思想的同桿雙回線單相接地故障定位方法

徐明陽，劉益青，邢志超，薛嘉慧，朱一鳴

（1.濟南大學自動化與電氣工程學院，山東 濟南 250022；2.積成電子股份有限公司，山東 濟南 250100）

0 引言

隨著我國電網規模的不斷擴大，環境保護形勢也日益嚴峻［1-3］。同桿雙回線輸電容量大、建設速度快、節約成本，因此在工程上被日益廣泛的應用［4-5］。距離保護具有靈敏度高，較少受系統運行方式影響等優點［6］，用作同桿雙回線的主保護。當故障發生時，距離保護首先確定故障相［7］，然后故障定位，區內故障時保護跳閘切除故障。在故障定位階段，同桿雙回線因兩回線距離較近，兩回線電氣量相互耦合，導致線間零序互感較強。而在實際工程中，同桿雙回線配置單回線、單間隔距離保護方案［8］，未引入相鄰回線的電壓電流；而且為了線路保護的獨立性，不能引入鄰線電壓電流。因此當同桿雙回線配置單回線、單間隔距離保護時，受零序互感的影響，故障定位不準確。由于同桿雙回線單相接地故障占全部故障的80%［9］，線間互感可達線路自感的50%～70%［10］，單相接地故障發生概率大且對本線距離保護影響最大。因此，當接地距離保護應用于同桿雙回線中，且按單回線、單間隔配置時，研究出一種新型的故障定位方法尤為重要。

目前，解決同桿雙回線線間互感對單回線、單間隔配置距離保護故障定位影響的方法主要有兩類。第一類為直接采集相鄰回線電壓電流的故障定位方法。此類方法是通過利用同桿雙回線兩回線的故障信息確定出故障位置，且大部分是基于六序分量法［11］。文獻［12］提出了一種同向正序基頻分量的雙回線故障定位新原理。基于分布參數模型，文獻［13-14］提出了一種單端定位方法，可以實現同桿雙回線跨線接地故障的準確定位。雖然第一類方法定位出的故障位置較為準確，但是破壞了線路距離保護的獨立性，降低了線路距離保護的可靠性。

第二類為不直接采集相鄰回線電壓電流的故障定位方法。由于影響同桿雙回線故障定位的零序互感由相鄰回線零序電流產生，因此此類方法通過估算出相鄰回線的零序電流，從而消除線間零序互感對距離保護故障定位的影響。文獻［15-16］提出了利用切換定值域整定距離保護零序補償系數的策略。文獻［17-19］首先根據估算出的近似故障位置估算出了相鄰回線的零序電流，從而提出新的接地故障定位算法。但是文獻［15-19］只是粗略估算出相鄰回線零序電流，只能減小線間零序互感對距離保護故障定位的影響，不能從根本上消除零序互感的影響，因此在實際應用過程中仍存在很大的誤差。

由于當前相鄰回線零序電流的估算精度低而不能消除線間零序互感對距離保護的影響，導致無法準確定位出故障位置，因此需要研究一種提高相鄰回線零序電流估算精度從而準確確定故障位置的方法。基于牛頓迭代思想，提出一種新型的同桿雙回線單相接地故障定位方法。該方法利用牛頓迭代法來提高相鄰回線零序電流的估算精度，從而準確確定故障位置，并通過PSCAD仿真驗證了所提方法的性能。

1 同桿雙回線接地故障的牛頓迭代法

同桿雙回線輸電系統模型如圖1 所示，其中故障設置為第I回線的單相接地故障。圖1中分別為同桿雙回線M 側與N 側的等效電源；ZM與ZN分別為同桿雙回線M 側與N 側的等效電阻；保護安裝在I回線M側；K1、K2、……、K21為不同故障點。

圖1 同桿雙回線故障模型

同桿雙回線單相接地故障等效模型如圖2所示。

圖2 單相接地故障等效模型

圖2 中，K為故障點；分別為I 回線M 側保護測量到的故障相φ的電壓、電流以及零序電流；為II 回線M 側保護測量到的零序電流；Z1、Z0分別為同桿雙回線線路全長的正序阻抗與零序阻抗；Z0m為同桿雙回線線路全長的線間零序互感抗；D為輸電線路保護安裝處到故障位置的距離與輸電線路全長的比值，因此D∈[0，1]；為故障點流向大地的故障電流；RK為過渡電阻。

將互感抗Z0m解耦到母線M 側，根據保護安裝處至故障點處的故障回路列寫基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff′s Voltage Law，KVL）方程，整理可得I回線M側故障相電壓為

式（1）中，由于Z0、Z1和Z0m這3 個量是輸電線路固有參數，這3個量可以由I回線M 側保護處測量得到，因此以上都是已知參數。但是由于I 回線保護無法獲取II 回線的電氣量，因此是未知參數；此外，同桿雙回線接地故障時，過渡電阻RK是未知的；故障點對地電流無法測量，是未知的；D為待計算的故障位置，也是未知的。因此式（1）中存在和D這4個未知參數，無法直接求解。若要確定出故障位置，即令方程中最多只存在D這一個未知量，可通過分析與D的關系以及消去未知量RK，將式（1）表示為以故障位置D為未知量的方程。

同桿雙回線單相接地故障時零序故障解耦網絡如圖3 所示。圖3 中，ZM0與ZN0分別為M 側與N 側系統的等效零序阻抗，為故障點對地零序電流，為I回線N 側保護安裝處測量到的零序電流，與分別為回路1、回路2、回路3與回路4的電流。

圖3 單相接地故障零序故障解耦網絡

根據電路原理列寫出2個輔助方程為

運用KVL，根據圖3 中回路2 與回路4 列出2 個方程為

3）實虛部分離消除未知量RK。

將式（8）代入式（1）中，可得

式（11）中，參數RK與D為實數，參數、Z0、Z1、Z0m與CΙ0為復數。因此，為了消除含RK的項，需要將式（11）中的實部與虛部分離。

令式（11）兩端同時乘以CΙ0以及的共軛，即可實現實部與虛部分離，即為

式（13）中，由于CΙ0也含有未知量D，因此無法直接求得故障位置D的精確解，本文提出采用牛頓迭代法求解。

首先構建出牛頓迭代公式，為了令根的近似值逐步逼近于精確解，接下來需要利用牛頓迭代公式反復校正根的近似值，最后得到滿足一定精度要求的結果。

假設方程f(x)=0，將f(x)=0同解變換為

若x*為f(x*)=0 的精確解，也就是方程f(x)=x-φ(x)=0 的解。假定f′(x)≠0，利用泰勒級數展開可得到牛頓迭代方程［17］為

式中：n=0時x0為初值。

式（15）所示的牛頓迭代方程需要保證f′(x)≠0，其迭代收斂條件為f(x)f″(x)＞0［20］。

根據式（15）對式（13）進行變換，即可得到故障定位牛頓迭代方程為

式中：D(n)為第n次迭代值；D(n+1)為第n+1 次迭代值。

2 同桿雙回線單相接地故障定位方法

同桿雙回線單相接地故障定位方法的迭代計算流程如圖4 所示，流程中兩個重要的環節為確定合理的迭代初值和迭代停止條件。

圖4 故障定位算法迭代計算流程

2.1 迭代初值的選取

迭代過程需要確定合理的初值，初值不合適可能導致迭代不收斂，因此初值選取應盡量接近精確值。以故障位置D的估算值作為迭代初值。由于故障發生在不同位置時，不同，為了保證迭代的收斂性，故障位置D的估算值這一迭代初值的選取與精確值應盡量接近，采用當輸電線路發生末端故障時，即D=1 時的值來代替任意位置發生故障時的值，而同桿雙回線線路末端發生故障時=。

將式（1）中的阻抗用電阻和電抗的形式進行表示，整理得

式中：R1、X1分別為輸電線路全長的正序電阻與正序電抗；R0、X0分別為輸電線路全長的零序電阻與零序電抗；R0m、X0m分別為輸電線路全長的線間零序互電阻與線間零序互電抗。

由于高壓線路中，線路阻抗主要呈現為感性，而輸電線路故障發生時，分流可得到。因此，式（18）中k=/可認為是實數。那么令，即，將式（18）進行等效并分離實虛部，可整理為

其中，

式中：UMΙφ?Re為的實 部；UMΙφ?Im為的虛部；的實部；的虛部。

求解式（19），消去R′K就可得到迭代初值為

2.2 迭代停止條件

在迭代過程中，如果迭代計算的結果達到了預先設定的精度，那么就停止迭代，然后輸出迭代計算結果。本文設置的迭代停止條件為

3 仿真分析

對提出的基于牛頓迭代思想的同桿雙回線單相接地故障定位算法進行仿真分析與性能驗證。在PSCAD 中搭建如圖1 所示的同桿雙回線故障仿真模型，同桿雙回線單位長度線路參數為：z1=0.022 +j0.280 Ω/km、z0=0.182+j0.860 Ω/km，單位長度互感為z0m=j0.140 Ω/km。M、N 側系統電源等值參數為：Z0M=j7.8 Ω、Z0N=j18.2 Ω。

分別在同桿雙回線I 回輸電線路全長的0%、10%、30%、50%、80%以及100%處設置故障，故障類型設置為單相接地故障；每一個故障點處過渡電阻分別設置為0 Ω（金屬性故障）、20 Ω、150 Ω 以及300 Ω；將故障起始時刻設置為t1=0.4 s，故障持續時間設置為t2=0.3 s，仿真驗證本文所提的基于牛頓迭代思想的同桿雙回線故障定位算法。

首先利用MATLAB 讀取由PSCAD 仿真得到的故障錄波數據，然后仿真分析故障定位算法。經驗證發現3 種相別的單相接地故障仿真結果的相對誤差相近，因此本文以A 相接地故障（AG）故障為例，列出并分析仿真結果。

不同故障位置以及過渡電阻的仿真驗證結果如表1—表4 所示，可根據式（23）計算得出表中的相對誤差ρ。

表1 金屬性故障時的故障定位算法驗證結果

表2 20 Ω過渡電阻時的故障定位算法驗證結果

表3 150 Ω過渡電阻時的故障定位算法驗證結果

表4 300 Ω過渡電阻時的故障定位算法驗證結果

式中：D(k)為第k次迭代值；D(*)為仿真設置的故障位置的精確值。

根據表1 與表2 數據，當過渡電阻較小時，本文所提出的基于牛頓迭代思想的故障定位算法在計算過程中均收斂，而且收斂速度較快，最多只需要4 次迭代計算就能夠準確確定出同桿雙回線線路全長任意單相接地故障的故障位置。根據表3與表4數據，當過渡電阻較大時，線路全長80%以內發生故障時的驗證結果亦是如此。但是當線路100%處發生單相接地故障時，所提故障定位算法收斂到了錯誤值。

接下來進一步分析并解決當線路100%處發生單相接地故障時，所提算法收斂到錯誤值的問題。

當線路發生故障時，根據式（16）迭代計算出的故障位置，相當于在直角坐標系中求解出式（16）中f(D)函數與x軸相交交點的橫坐標。例如，同桿雙回線I 回輸電線路全長的30%位置處發生A 相接地故障，且過渡電阻為150 Ω 時，y=f(D)的函數圖像如圖5 所示。此時函數y=f(D)與x軸有1 個交點，即方程f(D)=0 的解正好是交點的橫坐標，因此所提出的基于牛頓迭代思想的故障定位算法在迭代過程中，會向著方程f(D)=0的解逐步收斂。

圖5 線路30%處故障時f（D）的曲線

當I 回輸電線路100%處發生A 相接地故障，且過渡電阻為150 Ω 時，y=f(D)的函數圖像如圖6 所示。此時函數y=f(D)與橫軸的交點有2 個，即方程f(D)=0 的解有2 個。在圖6 中，由于交點D1與交點D2的鄰域內均符合公式f(x)f″(x)＞0，滿足了迭代收斂條件，因此可以通過迭代計算分別求解出y=f(D)函數圖像的拐點以左與拐點以右區域中方程f(D)=0 的解，即圖6 中的D1與D2。但是由于迭代初值選取不當，致使故障位置落在函數圖像拐點以左的區域中，因此導致迭代結果收斂于方程f(D)=0 與x負半軸交點的橫坐標上，即圖6 中的D1，進而導致迭代計算得出的故障位置錯誤。

圖6 線路100%處故障時f（D）的曲線

由仿真得出，當線路末端發生單相經150 Ω 與300 Ω過渡電阻接地故障時，所提出的基于牛頓迭代思想故障定位算法都會由于選取的迭代初值不合理，使得迭代計算出的結果最終收斂于方程f(D)=0與x負半軸交點的橫坐標上。

因此，針對初值選取不當導致的故障位置落在函數圖像拐點以左的區域中，進而使得最終的迭代計算結果收斂到錯誤值這一問題。本文規定，迭代計算過程中，當迭代計算結果是負數時，應調整迭代初值為1，即設置D(0)=1，然后重新進行迭代計算，最終實現準確故障定位。

重新設置迭代初值為D(0)=1 后，當線路末端發生單相經150 Ω 與300 Ω 過渡電阻接地故障時的迭代計算結果如表5所示。

表5 設置迭代初值為1后的故障定位迭代算法驗證結果

通過分析以上不同過渡電阻以及不同故障位置的迭代計算結果，本文所提基于牛頓迭代思想的故障定位算法仿真驗證結果為：

1）當同桿雙回線線路全長的80%以內發生單相接地故障時，所提算法在迭代過程中收斂速度快，能夠僅利用單回線電氣量消除零序互感的影響，實現準確故障定位。

2）當同桿雙回線線路末端發生單相接地故障時，所提算法在迭代過程中收斂速度快，僅需要通過調整初值為D(0)=1，就可以利用單回線電氣量消除零序互感對故障定位的影響，實現準確故障定位。

4 結語

當接地距離保護直接應用于同桿雙回線中，且按照單回線、單間隔配置時，不能消除相鄰回線零序互感對故障定位的影響，繼而導致不能準確確定故障位置。針對不直接采集相鄰回線電壓電流的同桿雙回線故障定位方法，不能準確確定故障位置這一問題，提出了一種新型的基于牛頓迭代思想的同桿雙回線故障定位方法。通過對同桿雙回線單相接地故障進行分析，利用牛頓迭代法來提高相鄰回線零序電流的估算精度，僅利用單回線電氣量就能準確故障定位，并通過仿真驗證了所提方法的性能。仿真結果表明，在不同故障位置與過渡電阻下，所提算法在迭代過程中的初值選取方便、收斂速度快，僅利用單回線電氣量就能準確故障定位，其定位精度雖不及直接采集相鄰回線電壓電流的方法，但卻遠高于不直接采集相鄰回線電壓電流的方法。然而，本文只考慮了同桿雙回線的單回線單相接地故障的情況，下一步將繼續研究將本方法擴展到其他故障類型。