解答平面向量夾角問題的幾個辦法

葛瑋

平面向量夾角問題一般重點考查平面向量的基本運算，對同學們的運算能力有較高要求.一般情況下， 我們采用公式法來求解，當遇到復雜的問題時，為了簡化運算，需要靈活運用坐標法和幾何法來求向量的夾角.下面我們結合實例進行說明.

一、采用公式法

公式法是求解平面向量夾角問題的常用方法，主要是運用公式 來求兩個向量的夾角.當 cos θ為負值時， θ為鈍角;當 cos θ為正值時， θ為銳角.在運用定義法求解向量的夾角時，要先根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出向量的數(shù)量積，再分別求出兩個向量的模，最后將所得的值代入公式求得兩個向量的夾角

在運用公式法求平面向量夾角時，要注意根據(jù)題意確定θ的取值范圍，從而求得正確的值.

二、利用坐標法

若 ，則 與 夾角的坐標表示為 .運用坐標法求解平面向量夾角問題，需先根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標系，把所求夾角兩邊的向量用坐標表示出來，通過坐標運算來求得平面向量的夾角.

例 2.已知正方形 ABCD 的邊長為2，? 的夾角.

解：如圖1，以 B 為原點，BC 所在直線為 x 軸，AB 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標系.

則 B（0，0），E（2，23），D（2，2）.

由 知 F 為 BC 的中點，

所以 F（1，0），故

所以 ，

則 的夾角為135°.

我們通過建立平面直角坐標系，給各個點賦予坐標，通過向量的坐標運算分別求得 的坐標， 便可根據(jù)夾角的坐標表示求得夾角的大小.

三、借助幾何法

運用幾何法求解平面向量的夾角問題，要抓住平面向量的幾何意義，繪制出合適的三角形和平行四邊形，然后靈活運用三角形和平行四邊形的性質(zhì)和相關定理來解題.這就要求同學們熟記平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義.

我們根據(jù)已知條件，分別以 為邊構造三角形，根據(jù)向量減法的幾何意義找到 所對應的線段，從而證明△OA′B′為正三角形，利用正三角形的性質(zhì)求得 的夾角.

上述三種方法都是求解平面向量夾角問題的常用方法，其中公式法是同學們用得較多的一種方法，也是基本方法;坐標法、幾何法較為靈活，而運用這兩種方法求解能夠有效地簡化運算.

（作者單位：江蘇省常州市金壇第四中學）