求解一道平面向量問題的三種思路

袁精玲

平面向量是聯(lián)系平面幾何和代數(shù)的重要橋梁，也是同學(xué)們必須學(xué)習(xí)和掌握的內(nèi)容.解答平面向量問題可以從不同角度切入來尋找解題的思路，借助不同的知識(shí)點(diǎn)來求解.本文以一道題為例，探討解答一類平面向量問題的思路.

本題主要考查了向量的模的公式、數(shù)乘運(yùn)算法則、數(shù)量積公式以及平面向量基本定理.題目中給出的條件較多，我們可以根據(jù)題意繪制出相應(yīng)的圖形，然后結(jié)合圖形來進(jìn)行分析.我們可以從以下三個(gè)角度切入，來尋找解答本題的方案.

角度一：采用建系法求解

建系法也稱坐標(biāo)法，是指通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則來解題的方法.在建立平面直角坐標(biāo)系后，可把向量問題轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算問題，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算便可求得問題的答案.對于本題，我們可以以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 或 OB 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后求出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)線段的方向向量，根據(jù)已知條件建立關(guān)系式，便可解題.

角度二：利用數(shù)量積公式求解

平面向量的數(shù)量積公式：a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量 a、b 之間的夾角.運(yùn)用平面向量的數(shù)量積公式，可以將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題，能達(dá)到快速求值的目的.對于本題，我們可以將 轉(zhuǎn)化，在該式的左右同乘 ，以便利用向量數(shù)量積公式將向量的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題.

角度三：借助平面向量的幾何意義求解

我們知道，平面向量加法的幾何意義是指三角形中兩個(gè)首位相連的向量的和等于第三邊的方向向量，也可以指平行四邊形中首尾相連的兩個(gè)向量的和等于平行四邊形的對角線的方向向量.在解答平面向量問題時(shí)，我們可以結(jié)合平面向量的幾何意義構(gòu)造三角形和平行四邊形，然后借助圖形來分析問題.

通過對上述三種解法的分析，同學(xué)們對平面向量問題的求解方法更加熟悉.我們從第一、二個(gè)角度切入，可將平面向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題，從第三個(gè)角度切入，可以將平面向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.在解答平面向量問題時(shí)，我們從這三個(gè)角度切入，便能快速找到正確的解題思路.

（作者單位：江西省信豐中學(xué)）