解答立體幾何問(wèn)題的兩個(gè)路徑

潘菊平

立體幾何問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理能力和空間想象能力.解答立體幾何問(wèn)題，我們一般需先明確空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，然后靈活運(yùn)用立體幾何中的定理、公式等.而有些問(wèn)題較為復(fù)雜，為了提升解題的效率，我們不妨采用另外兩個(gè)途徑：利用轉(zhuǎn)化法和向量法來(lái)解題.

一、采用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法是指將較為復(fù)雜的空間幾何轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題來(lái)求解的方法.在解題時(shí)，我們需將空間中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)，然后運(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，如三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等來(lái)解題.運(yùn)用轉(zhuǎn)化法解題，可以有效地降低解題的難度.

例1.如圖1，某人在點(diǎn) A 處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，目標(biāo) P 在墻面上的 CM 上移動(dòng).已知 AB =15m ，AC =25m ，∠BCM =30°，且 AB 與墻面垂直.若在點(diǎn) A 處觀察點(diǎn) P 的仰角為θ，求 tan θ的最大值.

我們通過(guò)添加輔助線，找出θ角的平面角，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形ΔABP′、ΔCP′P ，利用勾股定理和正切函數(shù)的定義求得tan θ的表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

二、利用向量法

向量法是指建立空間直角坐標(biāo)系，將各個(gè)點(diǎn)、線段、平面用坐標(biāo)表示出來(lái)，通過(guò)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解題的方法.在運(yùn)用向量法解題時(shí)，我們要根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)和解題需求，選擇合適的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，然后運(yùn)用空間向量運(yùn)算法則合理進(jìn)行運(yùn)算.運(yùn)用向量法解題，能將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，有利于轉(zhuǎn)換解題的方向.

例 2.已知在長(zhǎng)方體 ABCD?A1B1C1D1中，B1C 和 C1D 與底面所成的角分別為60°和45°，求異面直線B1C和 C1D所成角的余弦值.

我們根據(jù)正方體的特點(diǎn)，以 A1為原點(diǎn)、三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及各個(gè)線段的方向向量，利用異面直線所成的角的定義以及向量的夾角公式，求得異面直線 B1C 和C1D所成角的余弦值.

雖然立體幾何問(wèn)題的邏輯性和抽象性都較強(qiáng)，但是我們只要找到正確的解題途徑，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化法、向量法，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題、向量運(yùn)算問(wèn)題，就能破解復(fù)雜的、抽象的問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）