怎樣求解排列組合問題

梁海波

大多數的排列組合問題都與實際生活相關.在解答排列組合問題時，我們一般需從生活實際入手，結合生活經驗和兩個重要原理：分類計數原理和分步計數原理來解題.本文主要探討三類排列組合問題的解法.

一、“含有”或“不含有”某些元素的問題

對于“含有”或“不含有”某些元素的問題，我們首先應該明確對元素的特殊要求，然后理清事情發生的各個步驟以及完成每個步驟有多少種方案.在處理“含有”某些元素的問題時，需先將這些元素取出，再安排其他元素;在處理“不含有”某些元素的問題時，則需先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

例 1.現從兩個小組里面選出4名同學參加運動會，每個小組2名同學.第一組有5名男同學和3名女同學;第二組有6名男同學和2名女同學.那么，選出的4名同學里面剛好有1名女同學的選法一共有（）.

A.150種 B.180種 C.300種 D.345種

解析：可以分為兩種情況：

①若那1名女同學是從第一組里面挑選出來的，那么需先從第一組的3名女同學中選1名出來，有 種選法，然后再從5名男同學中選1名同學，有 選法，最后從第二組同學中選出2名男同學，有 選法，由分步計數原理可得一共有 種選法;

②若那1名女同學是從第二組里面挑選出來的，那么需先從第二組的2名女同學中選1名出來，有 種選法，然后再從6名男同學中選1名同學，有 選法，最后從第一組同學中選出2名男同學，有 選法，由分步計數原理可得一共 種選法.

由分類計數原理可得滿足題意的選法一共有225+120=345種選法.所以正確答案為D項.

要順利解答本題，我們需先明確“含有”或“不含有”的元素有哪些，即明確每組中男女同學是否需選取，選取多少個，然后確定選取的方案.這里分兩種情況進行討論.

二、“至少”或“至多”含有幾個元素的問題

這類問題有些難度，難點在于我們需要對它進行比較繁瑣的討論.為了避免這些討論，可采用間接法解題，即先將所有符合總條件的事件的數量計算出來，然后再將不滿足條件的事件的數量計算出來，最后用總數減去不滿足限制條件的事件數，就可以得出答案了.

例2.若把甲、乙、丙、丁4名同學分到3個不同的班級，每個班至少分到1名同學.那么甲、乙不被分到同一個班級的分法有（）種.

A.18 B.24 C.30 D.36

解析：首先從甲、乙、丙、丁4名同學中選出2名同學，有 種選法，然后將其與剩余的兩名同學一起分到3個班，有 種分法，由分步計數原理可得一共有 種分法.而甲、乙兩名同學被分到同一個班的情況有 種分法，

因此，符合題意的不同情況一共有 種分法.正確答案為 C 項.

針對這種出現“至少”“至多”字眼的問題，直接計算會比較復雜，采用間接法最為簡便.對于本題，我們只需先把4名同學分別分到3個不同的班級的總情況全部計算出來，然后再將甲、乙兩名同學不被分到同一個班的情況計算出來，最后用總的減去特殊的得到最終答案.

三、元素分組分配問題

解答元素分組分配問題的主要思路是先分組后分配.分組一般有整體均分、部分均分和不等分三種.在均分后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以在分組后一定要除以 An n（n 為均分的組數），避免重復計數.

例 3.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（）種.

A.12種B.10種C.9種D.8種

解析：將4名學生均分為2個小組共有=3種分法;將2個小組的同學分給2名教師共有 種分法;最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有 種分法.由分步計數原理可得不同的安排方案共有3×2×2=12種.故選A項.

在分組時，只要有一些組中元素的個數相等，就屬于均分（即平均分組）.

總之，解答排列組合問題的關鍵是，首先明晰問題的類型，看問題中是否有“含有”“不含有”“至少”“至多”“均勻分組”“均勻分配”的字眼，然后靈活運用兩個原理來進行求解.值得注意的是，在分類的時候要做到分類標準明確，在分步時要確保每個步驟的先后順序，這樣才不會出現重復或者漏解的情況.

（作者單位：山東省昌樂第一中學）