兩類含參恒成立問(wèn)題及其解法

周建勇 湯躍勤

在高中學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到含參恒成立問(wèn)題的影子，此類問(wèn)題屬于一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí).筆者總結(jié)了兩類含參恒成立問(wèn)題及其解法，以期能幫助同學(xué)們提升解答此類問(wèn)題的效率.

一、a ≤ f （x） ，a ≥ f （x）（或 a < f （x） ，a > f （x））型

一般地，要使 a ≤ f （x）或a < f （x） ，只需求出 f（x）的最小值，使 a ≤ fmin（x）或a <fmin（x） 即可;要使 a ≥ f （x） 或 a > f （x） ，只需求出 f（x）的最大值，使 a ≥ fmax（x） 或 a > fmax（x）即可. 在求函數(shù) f（x）的最值時(shí)，我們需靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來(lái)確定函數(shù)的最值.

例 1.設(shè)函數(shù) f（x）=e x -x2-ax-1（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a∈R.當(dāng)x>0時(shí)，f（x）+x≥0恒成立，求a的取值范圍.

我們先將不等式變形，使得參數(shù) a 與變量分離，構(gòu)造形如 a ≤ f （x）型恒成立問(wèn)題，然后對(duì)函數(shù) h（x）求導(dǎo)，通過(guò)討論 h（x）的單調(diào)性，從而確定 h（x）的最小值，進(jìn)而確定 a 的取值范圍.

二、f （x）≤ c ≤ g（x）型

此類型的問(wèn)題十分復(fù)雜，我們需先將不等式拆分為兩個(gè)不等式 f （x）≤ c 和 c ≤ g（x），分別證明兩個(gè)不等式恒成立.這里有兩種思路，一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 a ≤ f （x），a ≥ f （x）（或 a < f （x），a > f （x））型恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解;二是運(yùn)用綜合法來(lái)證明兩個(gè)不等式成立.在運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，我們需先建立已知條件和所求目標(biāo)之間的聯(lián)系，選擇相關(guān)的定理、公式等，通過(guò)推理、運(yùn)算逐步得出結(jié)論.

例2.能否找出一個(gè)常數(shù) c ，對(duì)任意的 x、y 都有不等式 恒成立？如果能，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

我們首先令 x = y ，那么不等式就只含有一個(gè)未知數(shù)，再經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)就可以有 ，即可確定 ，只需證明 .再運(yùn)用綜合法分別證明兩個(gè)不等式? 恒成立即可解題.

雖然含參不等式恒成立問(wèn)題的難度較大，綜合性較強(qiáng)，但是我們只要將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化、拆分，靈活運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，便能順利破解難題.

（作者單位：福建省漳州市云霄元光中學(xué)）