三“招”破解向量證明題

丁華干

向量證明題是一類綜合性較強的問題，不僅考查了向量中的基礎(chǔ)知識，還考查了解答證明問題的方法.要想順利解答此類問題，我們需靈活運用平面向量中的公式、定理、運算法則以及解答證明問題的方法，如反證法、分析法、綜合法等.下面我們結(jié)合實例來探討解向量證明題的三種方法.

一、數(shù)形結(jié)合

向量是連接“數(shù)”與“形”的橋梁，因此在解答向量證明問題時，我們可以靈活運用數(shù)形結(jié)合法來解題.首先要根據(jù)向量的幾何意義來繪制出相應(yīng)的幾何圖形，然后將向量的數(shù)量關(guān)系借助圖形直觀地表示出來，借助圖形來分析問題，靈活運用平面幾何知識，如平行四邊形、等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及相關(guān)的定理來解題.

解答本題，需首先根據(jù)題意繪制形幾何圖形，結(jié)合圖形判斷 所成的角為銳角還是鈍角，然后利用平面向量的數(shù)乘運算法則和數(shù)量積公式將 化簡，進(jìn)而比較? 的大小，最后通過添加輔助線，將 轉(zhuǎn)化為 的值，進(jìn)而比較出 I1與 I3的大小，證明結(jié)論.

二、采用反證法

有些問題采用正向思維進(jìn)行求解較為困難，此時，我們不妨轉(zhuǎn)換思維角度，運用反證法來解題.首先假設(shè)命題不成立，然后結(jié)合向量中的公式、運算法則進(jìn)行推理，得出與命題或者某個定理、結(jié)論相悖的結(jié)論，便可證明原命題成立.

例2 .已知向量a，b是2個互相垂直的向量.證明不存在可使向量 m = ka + b 與 n = a + kb 的夾角正好為 60°的整數(shù) k .

本題直接求解較為困難，于是采用反證法來解題. 首先假設(shè)出與求證目標(biāo)相反的結(jié)論，然后運用平面向量的數(shù)量積公式和模的公式，求出 k 的值，得出 k 不為整數(shù)，結(jié)論與假設(shè)相矛盾，便證明結(jié)論成立.

三、利用分析法

運用分析法證明向量問題，需從命題的結(jié)論出發(fā)，由所要求證的目標(biāo)逐步向題目的條件靠攏，靈活運用向量中的公式、運算法則等進(jìn)行推理、運算，得出與已知條件相符的結(jié)論.一般采用“要證——需證—— 只需證”的格式來證明命題.

例 3 .已知a，b為非零向量向量，它們的夾角為 θ ，

我們由所要證明的式子出發(fā)，將其化簡變形為關(guān)于 的一元二次方程，然后利用方程的判別式建立關(guān)于 cos θ 的不等式，解不等式求得 θ 的范圍，進(jìn)而證明結(jié)論.

數(shù)形結(jié)合法是一種常用的解題方法，反證法、分析法一般用于解答證明題.而向量證明題屬于一類綜合問題，因此在解答向量證明題時，我們要運用發(fā)散思維，從向量和證明方法兩個方面思考解題的思路.

（作者單位：江蘇省東臺市安豐中學(xué)）