談談多面體的歐拉公式的應用

呂孝莉

簡單多面體的歐拉公式為 V + F - E =2，其中 V 、 F 、E 分別為簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù).而我們所熟悉的凸多面體就是一種簡單的多面體.多面體的歐拉公式在解題中應用廣泛，尤其在解答與總內(nèi)角和、與面的特征、與棱的個數(shù)相關的問題中運用多面體的歐拉公式，能有效提升解題的效率.下面列舉幾個典型的例題來進行說明，以供讀者朋友們參考.

例1.已知一個凸多面體的棱數(shù)為30、面數(shù)為12，那么這個多面體的各個面上多邊形的內(nèi)角總和為多少？

解析：由題意可知，凸多面體的棱數(shù)為30、面數(shù)為12，根據(jù)歐拉公式可得多面體的頂點數(shù)為 V = E - F +2=30- 12+2= 20，所以各個多邊形內(nèi)角的總和為（V -2）× 360°=18× 360°= 6480°，故各個面上多邊形的內(nèi)角總和是6480°.

解答本題，只需直接運用多面體的歐拉公式.我們只要求出了多面體的頂點數(shù) V ，再根據(jù)公式就能得出多面體的內(nèi)角總和.一般地，多面體的所有面的內(nèi)角總和為（V -2）× 360°.

例2.若一個正多面體各個面的內(nèi)角總和是3600°，請問它有幾個面？

解析：根據(jù)正多面體的性質(zhì)可知：正多面體的每個面的邊數(shù)是相同的，可設其為 m ，則根據(jù)題意有 F（m -2）× 180°= 3600°，即 F·（m -2）= 20.又因為 mF =2E ，將其代入上式可得 E = F +10，再將其代入歐拉公式 V + F - E =2得 V =12.而正多面體的每個頂點處的棱數(shù)相同，可設為 n ，所以2E = nV ，于是有 E =6n ， ，將其代入歐拉公式得 ，即

多面體各個面的邊數(shù) m ≥3，且每個頂點處的棱數(shù)滿足3 ≤ n ≤5 .當 n =3或 n =4時，（? ）式中的 m 無整數(shù)解;當 n =5時，由（? ）得 m =3，所以 E =30，F(xiàn) =20.綜上可知多面體的面數(shù) F =20，同時也可得頂點數(shù)為12、棱數(shù)為30.所以此正多面體有20個面.

此題相對復雜，在解題時，我們需抓住歐拉公式中的幾個主要元素來建立等式，才能順利解出.在解題時，還用到了有關多面體的歐拉公式的兩個重要結論：（1）若多面體的每個面都是 m 邊形，則 mF =2E ;（2）若多面體從每個頂點出發(fā)都有 n 條棱，則nV=2E 。

例 3.一個多面體的每個面都是三角形的凸多面體，其面數(shù)與頂點的比是4：3，試問此多面體是幾面體？

解析：由于多面體的每個面都是三角形，由面數(shù)和棱數(shù)的關系可知3F =2E ，即 ①.又已知 F：V =4：3，則 ②，將①②代入歐拉公式 V + F - E =2，可得 F =8，即此多面體是八面體.

解答本題，同學們只要抓住歐拉公式中的關鍵元素：頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，結合題意求出這些關鍵元素，將其代入歐拉公式就能求得問題的答案.

例4.已知銅的單晶外形是一個簡單幾何體，其中單晶銅有三角形和八邊形兩種晶面，如果已知銅的單晶有24個頂點，且以每個頂點為一端都有3條棱，試判斷此單晶銅有多少個晶面？

解析：根據(jù)銅的單晶外形有兩種晶面，可設單晶銅有 x 個三角形晶面、y 個八邊形晶面，則 F = x + y .又知道單晶的頂點數(shù) V =24，而每個頂點處有3條棱，則 ，從而有 ，將其代入歐拉公式可得 ， 解此方程組可得 ， 所以此單晶銅有8個三角形晶面，6個八邊形晶面，共有14個晶面.

解答本題，需分兩種情況進行討論，我們通過設未知數(shù)，根據(jù)多面體的歐拉公式建立方程組，通過解方程組便可求得問題的答案.

例5.請問正多面體共幾種？并說明理由.

解析：由于正多面體的每個面都是多邊形且邊數(shù)相等，由同一頂點出發(fā)的棱數(shù)也相等，可設正多面體的每個面為 n 邊形，每個頂點發(fā)出 m 條棱，則有nF=2E ， mV =2E ，將其代入歐拉公式得? ，則2n +2m - mn>0，即2n > m（n -2） ，所以 ，得3 ≤ n <6.

注意到 為整數(shù)，用特殊值驗算知，當 n =3時，有 ;當 n =4時，有 ;當 n =6時，有 ， 綜上可知，滿足條件的正多面體只能有5種，即正四面體、正八面體、正二十面體、正六面體、正十二面體.

由于正多面體具有一定的特殊性，所以在確定正多面體應滿足的條件后，可根據(jù)歐拉公式建立關系式，再將特殊值代入關系式中進行驗算，就能確定可能出現(xiàn)的不同情況，從而作出解答.

總之，多面體的歐拉公式在解答與總內(nèi)角和、與面的特征、與棱的個數(shù)相關的問題中發(fā)揮著重要的作用.在解題時，靈活運用多面體的歐拉公式及其相關結論，能有效地提升解題的效率.

（作者單位：山東省濟寧市泗水縣第一中學）