運用同構法解題的步驟

焦學剛

同構法是指通過構造同構式建立函數模型，利用函數的圖象和性質來解答問題的方法.具有相同結構的兩個代數式稱為同構式.同構法常用于解答較為復雜的代數問題.運用同構法解題，能達到出奇制勝的效果.

運用同構法解題的常規思路是：（1）將不等式或方程合理進行變形，得到同構式;（2）根據同構式的特點構造函數模型;（3）明確函數的某些性質，借助這些性質將方程或不等式化簡，從而得到新的關系式，求得問題的答案.

下面舉例說明.

例 1.若實數 t ≥2，則下列不等式中一定成立的是（）.

分析：觀察 A，B，D 三個選項，我們可以發現它們左右兩邊的式子均為同構式，可以運用同構法來解題.分別根據三個不等式的特點構造出對數函數、指數函數模型，然后利用對數、指數函數的單調性來判斷它們的正確性.對于 C 選項，可通過取特殊值來判斷不等式是否成立.

綜上，本題應選ABD三項.

例 2.已知θ∈[0，2π），若關于 k 的不等式? 上恒成立，則θ的取值范圍為_____.

分析：我們觀察已知不等式可以發現，該不等式左右式子的結構比較類似，可將不等式變形為同構式，構造函數 ，再利用函數的單調性建立新的不等式便可解題.

解：將 變形可得 ，

例 3.已知實數 x1，x2滿足? ，則 x1 x2= ____.

分析：可將已知的兩個關系式轉化為結構相同的形式，然后構造函數 ，借助函數的單調性建立關于 x1，t 的關系式，即可解題.

解法一：實數 ，

解法二：

在 的兩邊取對

數得

這兩種解法在本質上是相同的，解題的關鍵是對已知等式進行變形，使其結構相同，然后構造函數，利用函數的單調性求解.

例 4.設實數λ>0若對任意的 x ∈（1，+∞） ，不等式 恒成立，求λ的最小值.

分析：可考慮對不等式變形，使其變成同構式，利用同構法解題.

由此可以說明，運用同構法解題的關鍵在于將方程或不等式變形.常常需要對指數、對數式進行轉換，常用方法有：? .有時需要在等式兩邊進行加乘變換，常見的同構式有兩種（1）積型： ，可將其變換為 .（2）和差型： ?，可將其變換為 .同學們熟練掌握這些常見的同構式及運用同構法解題的思路，便能順利破解難題.

（作者單位：江蘇省邗江區蔣王中學）