解答數(shù)列求和問題的幾種途徑

彭志文

數(shù)列求和問題是同學(xué)們比較熟悉的一類題目.解答此類問題的方法有很多，如倒序相加法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、并項(xiàng)求和法等.如何選擇合適的方法來解題是提升解題效率的關(guān)鍵.本文重點(diǎn)談一談解答數(shù)列求和問題的三種常見方法.

一、倒序相加

若一個(gè)數(shù)列中與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，就可運(yùn)用倒序相加法來求數(shù)列的和.在求和時(shí)需要首先列出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式，然后把數(shù)列的前 n 項(xiàng)的順序倒過來并相加，其和仍為數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和.再將兩個(gè)和式的第一項(xiàng)與第一項(xiàng)、第二項(xiàng)與第二項(xiàng)……相加，得到 .求得 的值，即可求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

解答本題，需首先明確 f （x）與f （1- x）之間的關(guān)系，這樣與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和就等于首末兩項(xiàng)之和，便可直接運(yùn)用倒序相加法來求和.

二、分組求和

分組求和法是指將數(shù)列分成幾個(gè)組，然后分別對(duì)每組進(jìn)行求和的方法.運(yùn)用分組求和法解答數(shù)列求和問題的關(guān)鍵在于把數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行合理分組.可根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)之間的特點(diǎn)將數(shù)列分成幾個(gè)不同的組，如將周期數(shù)列按照周期進(jìn)行分組，將奇偶項(xiàng)不同的數(shù)列按照奇偶性來分組等.

例 2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1= 1，a4=8， {bn}是等差數(shù)列，b1=3，b4=12.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）an=2n-1，bn=3n（過程略）

（2）因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為? ，數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為? ，所以 .我們由題意知，{cn}由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成，于是可將其分成兩組，分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求出它們的和，再綜合所得的結(jié)果即可.

三、裂項(xiàng)相消

裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后再求和的方法.常見的裂項(xiàng)形式有 等.在裂項(xiàng)之后，將各項(xiàng)相加，和式中的前后項(xiàng)會(huì)相互抵消，化簡(jiǎn)剩下項(xiàng)的和便可求得 Sn的值.

例3.已知數(shù)列 是首項(xiàng) a1= 0，公差為 p 的等差數(shù)列，且前 n 項(xiàng)和為 ，求證： .

.我們?cè)谇蟮脭?shù)列{bn}的通項(xiàng)之后，將其裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后對(duì)其進(jìn)行求和.在求和時(shí)，除了最前面的2項(xiàng)和末尾的2項(xiàng)，其他的項(xiàng)每隔兩項(xiàng)便會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值相等的正負(fù)數(shù)，通過正負(fù)抵消這些項(xiàng)便會(huì)將其轉(zhuǎn)化為0.

數(shù)列求和問題的形式多種多樣，與之所對(duì)應(yīng)的求和方法也多種多樣.因此，同學(xué)們要熟練掌握一些常見的數(shù)列求和問題的形式以及求和的方法，這樣，在面對(duì)新的求和問題時(shí)，便能快速找到解題的思路.

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)）