求函數(shù)解析式的常用方法

范欣

求函數(shù)的解析式問(wèn)題屬于一類基礎(chǔ)性題目，難度一般不大.求函數(shù)解析式的方法有很多，如函數(shù)性質(zhì)法、配湊法、換元法、特殊賦值法等.在解題時(shí)，我們要根據(jù)已知條件和函數(shù)類型選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.本文重點(diǎn)探討求函數(shù)解析式的三種常用方法：函數(shù)性質(zhì)法、配湊法、換元法.

一、函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)性質(zhì)法是指運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，如對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、周期性等解題的方法.運(yùn)用該方法解題，同學(xué)們要熟練掌握函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、周期性.在解題時(shí)，先要重點(diǎn)討論某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)逐步求得其他區(qū)間上的函數(shù)解析式.

例1.已知函數(shù) y = f （x）為奇函數(shù).當(dāng) x ≥0時(shí)，f （x）= x 2- 2x ，求函數(shù) f （x）的解析式.

解：令 x <0 ，∴-x >0 ，

而函數(shù)為奇函數(shù)，∴ f （-x）= -f （x），

又當(dāng)x ≥0時(shí)，f （x）= x 2- 2x ，

∴ f （-x）= （-x）2-2（-x）= x 2+ 2x.

∴ -f （x）= x 2+ 2x ，即 f （x）= -x 2- 2x ，

我們根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到 f （-x）= -f （x），于是令 x <0，再根據(jù)已知條件求得當(dāng) x <0時(shí)的函數(shù)解析式，進(jìn)而得到問(wèn)題的答案.

二、配湊法

配湊法又名配方法，是通過(guò)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行配方，求其解析式的一種方法.配湊法一般適用于求形如 f[g（x）]的函數(shù)的解析式.在解題時(shí)，往往需要把代數(shù)式整理成只含 g（x）的式子，然后用 x 將 g（x）替換，以此得到函數(shù) f （x）的解析式.

例2.已知 ，求 f （x）的解析式.

解：

，

以 x 替換 ，可得

∴ f （x）的解析式為 f （x）= x2- x +1（x ≠1）.

這里，將 視為一個(gè)整體，然后將函數(shù)式配湊為只含有 的式子，再用 x 將其替換，便能快速求得函數(shù)的解析式.

三、換元法

換元法是指根據(jù)等量代換原理來(lái)求得函數(shù) f （x）的解析式的方法.在解題時(shí)，需引入新的變量，將原函數(shù)式中較復(fù)雜的部分進(jìn)行替換，把函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新的變量的式子，通過(guò)化簡(jiǎn)得到原函數(shù)的解析式.

例3.已知 ，求函數(shù) f （x）的解析式.

解：∵函數(shù) ，

令 ，則 x =2t +3 ，

將其代入 中可得：

f （t）= 2（2t +3）2-（2t +3）+1

= 8t2+ 22t +16.

然后用 x 代替 t ，可得函數(shù) f （x）的解析式 f （x）= 8x2+ 22x +16.

對(duì)于此類復(fù)合型函數(shù) y = f[g（x）]，在求其解析式時(shí)，我們一般用一個(gè)新的變量來(lái)替換 g（x），得出一個(gè)關(guān)于變量 t的關(guān)系式，繼而將函數(shù)中的 x 統(tǒng)統(tǒng)用 t 進(jìn)行替換，如此便可得到一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)解析式.

例 4.已知 ，則 f （x）的解析式為_(kāi)___.

對(duì)于此類函數(shù)式中含有根式、分式、絕對(duì)值的問(wèn)題，我們一般采用換元法來(lái)求解，將根式、分式、絕對(duì)值內(nèi)部的式子用新的變量代替，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式.

總之，在求函數(shù)的解析式時(shí)，我們要首先根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域，然后靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)合理進(jìn)行配湊、換元，進(jìn)而求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)）