擴展有限元法在斷裂力學的應用

摘要：現如今各個物體都有一定缺陷，而斷裂力學作為研究物體裂紋缺陷的一門學科，在很多方面的應用都十分廣。由于物體的斷裂有著很復雜的應力狀態，普通的有限元方法很難實現裂紋擴展的模擬，或者所得到的結果不符合現實情況。而擴展有限元法的出現使得這一難題基本得到解決。本文主要講述斷裂力學的發展史，以及擴展有限元法應用于斷裂力學所做的研究貢獻。

關鍵詞：斷裂力學;擴展有限元;應用;擴展有限元

1. 緒論

斷裂力學是專門研究物體或構件，自身帶有缺陷或裂紋等瑕疵強度的一門學科[1-2]，起初作為固體力學的一個分支。斷裂力學的主要目的是研究裂紋怎樣發展的，其對構件強度有著怎樣的影響，也就是說，他的核心研究對象是工程結構中裂紋擴展的運動規律。裂紋的起裂條件、其在特定條件下的擴展過程、到怎么的狀態下使得物體構件斷裂都是斷裂力學所研究的。與傳統的常規設計方法相比較，傳統方法不可處理裂紋，而斷裂力學處理的較好，這是斷裂力學的一大優勢[3]。

隨著社會的快速發展，科技進步也盡在眼前，在為解決實際復雜工程的同時，也帶來了一些挑戰，前進的道路總是崎嶇不堪的，斷裂引發的工程事故也比比皆是，而斷裂力學的發現，為后人研究斷裂物體栽培下一顆孕育待苞的萌芽。

2. 斷裂力學的發展

1920年，Griffith學者[4]用材料內部存在裂紋的觀點，對材料實際強度為什么比理論強度小這一疑惑，給出了相關解釋，斷裂力學由此呈現出歷史舞臺。Irwen學者[5]后經十多年的艱苦探索，對Griffith的理論提出了修改，此后斷裂力學也可適用于鋼材材料。1960年，Irwen學者用石墨做了關于斷裂力學的相關實驗，成功測得了裂紋開始擴展時的K值，建立了臨界應力強度因子準則（即K準則），為線彈性斷裂力學的理論體系的發展，添加一加促劑。1963年，Wells學者提出了用裂紋張開位移，來判定裂紋失穩擴展。這一判定標準也得到認可。1968年，Rice學者針對描述裂紋尖端附近的應力應變場，提出了二維含裂紋體的J積分。在這一年，Hutchinson等學者為彈塑性斷裂力學后續發展埋下了堅定伏筆，即提出了HRR奇性場。1974年，Sih學者為斷裂力學的發展起了不可忽略的作用，通過反復研究提出了能量密度因子理論。1994年，O‘Dowd等學者提出了J-Q雙參數斷裂準則，均對之前理論進行了改善與調整，使得斷裂力學得到了很大程度的發展。到了1995年，魏悅廣等學者基于裂紋尖端高階場的分析研究，提出了J-k斷裂準則，這更是斷裂力學的里程碑。使得以后斷裂力學的發展更為融洽和諧。

經過多年的研究，斷裂力學的發展愈加成熟，許多學者的深入研究，可謂是對斷裂力學的貢獻很大，可從表面談到深層次，從腳下論到首端。起始有限、離散分別研究，深究為有限、離散結合去探索;從傳統方法到近現代的概率論性高等數學方法的轉變;從線彈性斷裂力學發展到彈塑性斷裂力學;由靜態的斷裂力學過渡到動態的斷裂力學;所有的這些成果無一不是說明斷裂力學發展將趨向更加成熟，同時各個學者的投入也是不可忽略的。

3. 擴展有限元法在斷裂力學的應用

巖石的裂紋擴展是一個不連續問題，在嚴格意義上來講。常規的有限元方法難以實現裂紋擴展過程的數值模擬。為此眾多學者提出了擴展有限元方法（即XFEM法），該法實現了數值分析中計算網格與不連續面相互獨立，無需對網格進行重新劃分，模擬移動的不連續面時候。因此后來更多的學者用擴展有限元法來研究斷裂擴展演變。

對于幾何非線性斷裂力學問題。由河海大學蘇靜波等人[4]在研究擴展有限元法于幾何非線性物體時，研制開發了擴展有限元的Fortran語言程序。而擴展有限元法在模擬巖石斷裂時候不需要對不連續面的網格再次劃分，蘇靜波等人在研究生幾何非線性時候，再次推導了XFEM公式。在普通的有限元位移模式中，用兩個水平集函數表示裂紋，加進了一個階躍函數以及二位漸近裂紋尖端位移場在單位分解的思想中，以此來反應裂紋位移的不連續性;建立了有限元變形幾何非線性擴展有限元方程用拉格朗日方程，使得之前的擴展有限元方程得到了一定程度上的改善，為后續研究也提出了一些方法。最終結果都是比傳統有限元法更加合理準確。

基于幾何非線性擴展有限元法的研究，后有一些學者提出，是否對于幾何線性物體時，擴展有限元法有一定的欠缺或瑕疵，為此由楊萬托學者[5]作了相關研究，他采取改進了的XFEM對有限板單邊裂紋的應力強度因子和I型裂紋的擴展進行分析，結果表明該法的有效性。

XFEM位移模式中起初，裂尖加強節點的相關系數是彼此獨立的，裂尖漸進位移場函的主要項是其加進的，對于裂尖附近的漸進位移場反應，這樣的加強位移場不能將其描述地更為準確，對于應力強度因子也必須經過后處理才可求出，局部的加強位移場精度并不能令人信服。基于這一缺陷，文中進行了一些改善。進行了相應的位移模式構造，該過程過后，與傳統的有限元方法相似，為了使得裂尖第一層加強節點等同于加強自由度，本文通過虛功原理，將罰函數法用來求解控制方程，并推導出有限元計算的基本控制方程。用到了一個積分方案，采用了一種特殊處理的積分法，在未保證積分的精度下，計算結論得出了裂紋的擴展開裂條件，推出了一開裂角和斷裂準則。通過對一個尺寸板在單向拉伸下的裂紋走向，得出了其擴展類型和裂紋，很好地反應出了數值結果同實際試驗的相似度。

擴展有限元法（XFEM）在斷裂力學中應用較廣，既解決了有限元法需要對局部網格的重新劃分的難題，也解決了一些理論中易出錯的地方，為一些工程作了不可估量的貢獻，在分析動態裂紋問上，擴展有限元方法發揮出了巨大作用。盡管如此，該法也存在一些問題，如在處理位移模式中，是否會涉及到外載的作用，時間步的再次減少，而二次開發語言過于繁瑣，是否可以增加一些理論，使分析結果更加如人意。

4. 結語

從發展來看，擴展有限元法更為符合裂紋的實際斷裂過程，其對斷裂力學參數和裂紋擴展路徑所進行的數值模擬計算，更能有效地描述巖石斷裂力學特性。同時擴展有限元法計算模型也驗證了數值計算結果的合理性，可有效地預測平面裂紋的擴展路徑。而隨著科學技術的不斷進步，在原本有限元法的基礎上，二次開發的介入，更是未來發展的一大主流方向。

參考文獻

[1]張曉敏，等.斷裂力學[M].北京：清華大學出版社，2012.

[2]王自強，等.高等斷裂力學[M].北京：科學出版社，2009.

[3]周博，等.巖石斷裂力學的擴展有限元法[J].中國石油大學學報，2016，40（4）：122-126.

[4]蘇靜波，等.幾何非線性擴展有限元法及其斷裂力學應用[J].工程力學，2013，30（4）：42-46，58.

[5]楊萬托，等.擴展有限元法在線彈性斷裂力學中的應用研究[J].山西建筑，2006，32（12）：36-37.

作者簡介

姓名：張露露（出生年份：1995-）;性別：男;民族：漢族;籍貫：陜西延安;職務/職稱：學生/工學碩士;單位：成都理工大學;研究方向：巖土工程。