探析2020年全國高中數學聯賽浙江初賽導數題

浙江省衢州第二中學 (324000) 廖如舟

(Ⅰ)若f(x)=0恰有三個根，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下，設f(x)=0的三個根為x1,x2,x3，且x1

1 試題分析

本題以絕對值函數和指數函數為載體，主要考查函數導數、不等式、絕對值等基礎知識，其核心是通過導數分析函數的單調性，結合局部判斷等手段得到函數的大致圖像．浙江省初賽導數題設計的特點是規避題海、綜合性強、注重區分．第(Ⅱ)小題判斷方程的根之間的不等關系，考查學生推理論證、分類討論、轉化化歸等分析解決問題的能力．促進學生邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養的培養．

2 解法探究

命題組給出了如下的參考答案：

圖1

圖2

3 命制源流

從命題組提供的解答中能夠感受到命題者對于題目設計的精巧之處，追本溯源可以發現在《數學分析中的典型問題與方法》一書中有一題與本題函數模型類似：

圖3

圖4

4 拓展延伸

可以肯定的是很少會有學生按照參考答案的思路解題，而是會采用分析法利用函數單調性證明不等式，思路清晰，過程簡單，筆者在考后的第一時間完成本題，用的是如下解法：

通過分析證明的過程發現只用到了一個不等式ex≤x-1．從這個角度出發再改進一下本題證明：

5 教學啟示

導數是用來研究函數局部性質的一種重要的工具，是微積分中重要的基礎概念，其核心是用導數來研究連續函數的單調性，主要培養學生邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養．

從知識點看，本題涉及的內容大都是學生熟悉的知識點，大部分學生做不出本題的原因有：(1)題目的新穎，比較少見的導數處理絕對值的問題，且還是絕對值函數和指數型函數的乘積形式；(2)容易與極值點偏移聯系在一起，在處理多變量不等式轉化的時候，運算分析能力不夠，同時沒有在合適的地方使用切線不等式放縮；(3)缺乏對解決問題的路徑進行規劃和試題命制背景的探究，缺少對于尋找同性態函數的勇氣，存在著循規蹈矩的思想，大部分學生不敢想、不會想，這個是當前教學亟待解決的問題．

基于以上分析，從發展學生核心素養角度審視導數教學，我們認為要培養學生三個方面的能力[1]．

第一，培養“敢想”的能力．在教學中，注重知識的發生、發展過程，引領學生認識導數的整體結構、本質，夯實基礎知識，選擇一些典型或者新穎的導數題進行教學，幫助學生建立方法體系，如學會用導數去分析函數的性質，進而刻畫函數的圖象，注意函數變化過程的增幅和趨勢，通過一題多解，比較各種解法的優劣，培養學生的數學理性思維，發展學生數學直觀想象、邏輯推理素養．

第二，指導“強算”的能力．為了突破導數問題的“運算關”，在導數教學中，選擇一些優秀的解法的推理演算過程，通過剖析展示運算錯誤的原因，指導學生明晰運算對象的基礎上，采用估算、口算、整體運算等方法，預判運算實施的可能性，養成在腦中建立思維過程的習慣，提升運算素養．

第三，引導“鉆研”的能力．在導數的教學中，常常要考慮從命題者的角度去剖析思考問題，培養學生對問題的分析態度，養成探究的習慣，對于課堂的問題加以延伸和推廣，實現有意義的深度學習．