離散型隨機變量及其分布列高考二輪復習之決策問題教學案例設計

羅佼佼

(南寧市第三中學 廣西南寧 530000)

一、教學目標

1.學生能夠讀懂題意，能夠提取有用信息和對數據進行處理。

2.理解簡單離散型隨機變量期望的概念，會計算簡單離散型隨機變量的期望。

3.面對多種可能發生的情況時，能有分類討論意識并能找到分類依據進行準確分類。

二、教學重點

1.學生能在大量文字當中提取有用信息，讀懂題意。

2.理解簡單離散型隨機變量期望的概念，會計算簡單離散型隨機變量的期望。

三、教學難點

對信息量大的題目能做到準確理解題意，有分類討論意識，并有明確的分類討論標準

四、解讀學生

學生數學基礎薄弱，對于概率、分布列知識還僅停留在套用公式計算概率上，對信息量大的題目無法做到準確理解題意，提取有用的信息，缺乏分類討論意識。

五、近5年的高考分析

試題 考查內容2021，甲卷 獨立性檢驗2021，乙卷 特征數字2021，新高考1 離散型隨機變量及其分布列，期望（決策）2021，新高考2 導數，期望2020，課標1 停止型事件的概率2020，課標2 回歸分析2020，課標3 獨立性檢驗2019，課標1 分布列，證明等比數列，累加法求數列通項公式2019，課標2 古典概型中求事件發生的概率2019，課標3 頻率分布直方圖2018，課標1 獨立重復試驗的概率問題，二項分布的期望（決策）2018，課標2 回歸分析2018，課標3 莖葉圖，獨立性檢驗2017，課標1 正態分布中的求指定區間的概率2017，課標2 頻率分布直方圖，獨立性檢驗2017，課標3 離散型隨機變量及其分布列，期望（決策）

從上表可知，近5年高考卷，總共16套卷子，有8套大題考到了概率，其中6套涉及了離散型隨機變量及其分布列知識，自2017年開始，概率大題常考利用離散型隨機變量及其分布列和期望選擇決策，且分布列不再是可以直接套入公式即得結果的二項分布和超幾何分布，整個大題更具靈活性和實踐性。

六、教學過程

例1：（2017，新課標3改編）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數 2 16 36 25 7 4

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率。

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），超市一天的進貨有兩種方案：方案一，進貨300瓶；方案二，進貨400瓶，從利潤的角度出發，問哪種方案更好？

因此X的分布列為

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

（2）方案一：若最高氣溫不低于20，則Y1=(6-4)×300=600；

若最高氣溫低于20，則Y1=6×200+2(300-200)-4×300=200；

Y1 200 600 P 0.2 0.8

EY1=200×0.2+600×0.8=520

方案二：若最高氣溫不低于25，則Y2=(6-4)×400=800；

若最高氣溫位于區間，則Y2=6×300+2(400-300)-4×400=400；

若最高氣溫低于20，則Y2=6×200+2(400-200)-4×400=0；

Y2 0 400 800 P 0.2 0.4 0.4

因此EY2=800×0.4+400×0.4=480.可知EY1＞EY2，所以選擇方案一。

設計意圖：本例題是由高考題改編而成，高考原題難點在于第（2）問中對進貨量n的銷售情況進行分類討論，從而得到不同的進貨量n對應的利潤Y的分布列，從而得到Y的期望，進而求出期望的最大值。學生往往對于抽象的n分類討論的標準不清楚，而分類討論又是高考重點考查的知識與技能，因此，本例題通過具體的進貨情況，讓學生體驗從具體到一般，由淺入深。

變式：把例1中的問題（2）改為“設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？”

解析：由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500

當300≤n≤500時，

若最高氣溫不低于25，則Y=6n-4n=2n；

若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n；

若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n；

因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n。

當200≤n＜300時，

若最高氣溫不低于20，則Y=6n-4n=2n；

若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n；

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n。

所以n=300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元。

設計意圖：該變式即為2017年新課標3卷的真題，由例題讓學生體會到分類討論的標準之后，再把確定的進貨量變為變量n，把例題考查的知識和能力進行提升。

練習1：（2016，新課標1）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰。機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元。在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元。現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數。

（1）求X的分布列；

（2）若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；

（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？

解析：（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2。

P(X=16)=0.2×0.2=0.04；

P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；

P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；

P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；

P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；

P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;

P(X=22)=0.2×0.2=0.04

所以X的分布列為

X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04

（2）由（1）知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值為19。

（3）記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）。

當n=19時，E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.

當n=20時，E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.

可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，故應選n=19。

練習2：（2018長郡中學高三選拔考試）某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上，這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區居民爭相購買的對象，過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30以上，其中不足50的周數大約5周，不低于50且不超過70的周數大約有35周，超過70的大約有10周，因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應對惡劣天氣對光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運行，但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量X限制，并有如下關系：

?

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照儀周利潤為4000元；若某臺光照儀未運行，則該臺光照儀周虧損500元，欲使商家周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？

解析：記商家總利潤為Y元，由已知條件可知至少需安裝1臺，

（1）若安裝1臺光照控制儀可獲得周利潤4000元；

（2）若安裝2臺光照控制儀：

當X＞70時，一臺光照控制儀運行，此時Y=4000-500=3500元，

當30＜X≤70時，兩臺光照控制儀都運行，此時Y=4000+4000=8000元，

故Y的分布列為

Y 3500 8000 P 0.2 0.8

所以EY=3500×0.2+8000×0.8=7100元，

（3）若安裝3臺光照控制儀：

當X＞70時，一臺光照控制儀運行，此時Y=4000-1000=3000元，

當50≤X≤70時，兩臺光照控制儀運行，此時Y=4000+4000-500=7500元，

當30＜X＜50時，三臺光照控制儀都運行，此時Y=4000+4000+4000=12000元，

故Y的分布列為

Y 3000 7500 12000 P 0.2 0.7 0.1

所以EY=3000×0.2+7500×0.7+12000×0.1=7050元，

綜上，為使商家周總利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀。

設計意圖：進一步加強學生的信息提取能力和數據處理能力，加深分類討論意識，鞏固基礎。

七、教學反思

高考二輪復習備考中，我們主要以專題形式對高考中的重點、熱點進行復習，幫助學生查漏補缺，建立完整的高考應試的知識方法體系，在離散型隨機變量及其分布列大題的第（2）問中，近幾年常考寫出離散型隨機變量及其分布列，以其期望為依據來進行決策，學生往往對這一類文字多、信息量大的題目束手無策。

學生出錯的根源有以下兩點：

第一，審題不清，無法正確理解題意，無法找到題目中多個變量之間的聯系；

第二，分類標準不清楚，無法進行完整的分類討論。

現在高考都是以核心素養命題，縱觀近幾年的高考題，概率統計大題文字多、信息量大，需要學生在有限的時間內提取出和問題相關的條件，旨在考查對信息的提取處理能力，因此讀懂題目、提取有用的條件在解答題中尤為重要。

那么，如何快速提取有用的條件呢？

首先，可以從問題出發，在題目中找尋與問題相同的關鍵詞，畫出或簡略羅列條件；其次，抓住題目中變量的個數，找出題目中所有和變量有關的條件，對條件進行梳理，理清變量之間的聯系；最后，確定隨機變量可能的取值，寫出分布列。

分類討論是高考必考的一類思想方法，學生往往對分類的標準模糊或者分類情況有重復或者遺漏。分類討論的產生源于我們對情況的不確定，因此分類的標準就是對于不確定的事情進行討論。例如，對于例題而言，進貨量為300或者400時，銷售情況是不確定的，銷售情況因與氣溫有關，有可能酸奶全部售完，也有可能酸奶滯銷，因此，我們就酸奶銷售情況為分類的標準來進行討論即可。

在今后碰到分布列與決策問題時，我們可以讓學生圍繞這4條來考慮問題：

1.題目敘述了一件什么事情？做這件事情的規則是怎樣的？

2.耐心審題，可適當畫出條件或者簡單羅列條件，弄清隨機變量是什么。

3.決策問題中，通常以期望（反映了隨機變量平均取值）為衡量標準，進行方案選擇。

4.找出題目中變量的個數和變量之間的聯系。

5.遇到不確定的情況，則就可能出現的情況進行分類討論。