一類耦合系統(tǒng)的共振經(jīng)典解

魯 雄，索洪敏

(1貴陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，貴州 貴陽 550081；2貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言和主要結(jié)果

討論如下Gross-Pitaevskii 耦合系統(tǒng)：

解的存在性，其中Δ表示Laplace算子，g1(u，v)，g2(v，u)都是抽象函數(shù)，N1、N2是常數(shù)，λ、μ是參數(shù)，Ω是RN中的光滑有界區(qū)域。

當(dāng)g1(u，v)=αu3且g2(v，u)=βv3時已有大量文獻(xiàn)對該問題進(jìn)行了相關(guān)的研究和數(shù)值模擬，如文獻(xiàn)[1-3]及其引用，這里的α、β都是實(shí)數(shù)；文獻(xiàn)[4]利用變分法和橢圓方程理論得出：

的假設(shè)下解的存在性，同時得出系數(shù)趨于負(fù)無窮時解的極限產(chǎn)生相位分離現(xiàn)象。注意到1876年首次出版的文獻(xiàn)[5]中提到如下振動模型：

其中，(t，s)為變量，μ、E為常量，ω=ω(s0，t)為初始橫向位置s0方向上與時間有關(guān)的受力，l為固定的弦長。該模型由德國物理學(xué)家Kirchhoff G R提出，后來被許多學(xué)者推廣到形如

(1)

受上述文獻(xiàn)的影響，我們將Gross-Pitaevskii耦合系統(tǒng)部分推廣到退化Kirchhoff型問題的弱耦合系統(tǒng)：

(2)

其中，a和b都是正常數(shù)，λ為正參數(shù)，Ω是RN(N≥1)中有光滑邊界的區(qū)域，(u，f)是待求的函數(shù)對。

我們的創(chuàng)新點(diǎn)在于，我們將利用文獻(xiàn)[8，16]的思想以特征值問題為鋪墊結(jié)合代數(shù)分析的方法考慮系統(tǒng)(2)無窮多解的存在性，并且考慮無窮多共振經(jīng)典解的存在性，首先獲得正解負(fù)解，其次獲得無窮多解，再得到無窮多經(jīng)典解，最后使用適當(dāng)?shù)睦蛹訌?qiáng)結(jié)論的可靠性，我們的方法和結(jié)論與文獻(xiàn)[1-4]均不同。

定理1 設(shè)a，b，λ為任意正數(shù)(常數(shù)參數(shù)均可)，則系統(tǒng)(2)存在無窮多共振經(jīng)典解，并且滿足

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