熱力耦合問題的拓撲優化算法*

韓 歡，王自強

(貴州民族大學數據科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

關于熱彈性拓撲優化問題主要圍繞如何建立合理的優化模型以及如何實現工程的應用研究展開。文獻[1]研究了以柔順度為目標、體積為約束的熱載荷作用下，二維線性彈性體的拓撲優化問題。文獻[2]針對熱彈性優化問題的靈敏度求解，提出了一套統一有效的伴隨設計靈敏度分析方法，并推導出熱傳導系數和楊氏模量的設計靈敏度表達式。文獻[3]運用水平集法，對熱彈性結構進行拓撲優化，獲得光滑清晰的結構邊界。本文基于固體各向同性懲罰法，建立二維懸臂梁熱力耦合問題的拓撲優化算法，并基于Freefem++軟件實現該算法。

1 熱力耦合問題的拓撲優化模型構造

圖1 懸臂梁熱力耦合問題的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cantilever beam thermo-mechanical coupling problem

在密度方法中，可以使用不同的材料插值和離散化方法解決結構拓撲優化問題。固體各向同性懲罰法，將材料分布定義為連續函數。這樣設計的設備易于制造，因為設計變量決定了候選材料的分布，故得到廣泛的應用。類似文獻[4]，假設：

(1)

其中C0，C1，E1，E0，γ0，γ1，κ0，κ1，φ，p，v分別表示孔洞區域的四階彈性張量，固體材料的四階彈性張量，固體材料的楊氏模量，孔洞區域的楊氏模量，孔洞區域的熱膨脹系數，固體材料的熱膨脹系數，孔洞區域的熱導率，固體材料的熱導率，設計變量，懲罰參數，泊松比。

類似文獻[2]、文獻[4]，本文研究熱力耦合最小化問題為：

滿足

(2)

其中，ω，τ，n，ε分別表示體積分數約束，Kronecker符號，邊界的法向量，應變；……