基于頻譜分析的數值預報模式效果評估

韓苗苗 陳超輝 宋盛凱 中國衛星海上測控部

能量守恒定律是自然界一切物體運動都遵循的物理規律，從這個角度分析，天氣環流運動、形勢演變都是不同形式能量的傳遞與轉化，而不同形式的能量的轉化和不同尺度能量的串級又直接影響中尺度天氣系統發展和強度。常規的能量學研究方案大多從整體研究分析，側重系統能量轉化，雖然能較好的研究系統能量的整體變化及趨勢，卻不能揭示不同尺度上的能量轉化規律、不同尺度間的能量串級規律以及不同高度層之間能量的垂直輸送規律。這些問題在本質上都屬于大氣能量譜分析（spectral analysis）的研究范疇。

許多國外的著名氣象學家通過研究大氣動能譜的統計特性來對數值預報模式的評估及其性能的檢驗方面。氣象學家通過對觀測到的資料進行分析，發現在平流層底部以及自由對流層,大氣的動能譜具有如下的分布規律:大氣的動能譜與其波數滿足一定關系，在大尺度區域（800km以上），符合E∝k-3，而在中小尺度區域（400km以下）則滿足E∝k-5/3關系;并且，這種特征是大氣行為的基本統計特性,幾乎不隨緯度、高度和季節變化。張立鳳通過研究梅雨鋒系統地動能譜特征也進一步證實了大氣動能譜在對流層高層和平流層低層大氣動能譜中尺度波段呈現出明顯譜轉折，在400公里到1000公里的尺度范圍內，動能譜與波數大致按照-3次冪指數分布，當尺度范圍過渡到40km與400km時，動能譜斜率變得平緩，近似-5/3。鄭永駿等對GRAPES模式的動能譜特征進行了評估，發現在中尺度范圍內的動能譜較為符合真實大氣，并求出了它的“spin up”時間。曾慶存(1979)指出，動能譜的統計特性是大氣的最基本規律之一，它們預報效果的好壞，以及計算格式以及數值模式的優劣，和模式動能譜的統計特征與實際大氣是否符合有密切的關系。故而將模式動能譜的分布特征與實際大氣動能譜分布規律(大尺度E∝k-3和中尺度E∝k-5/3關系)進行定量分析以及比較,是評估以及檢驗此模式動力框架的合理性能的合適方法。

本文則是通過對分析六公里分辨率不同高度動能譜與波數、晝夜時次動能譜與波數、不同高度斜率分析，探究在不同尺度時，功率譜圖與此分布規律的吻合度，能進一步評估該分辨率下該WRF模式的性能優劣。

1.模式設置與處理方法

WRF模式的設置如下：時間上從2015年4月28日00時（UTC）起報，預報時長為18小時。模式區域的水平分辨率為6km，母網格中心點在東經118.5041，北緯32.7444經向格點數是271，緯向格點數是271，垂直層數41層,模式頂氣壓為50hpa。所有的集合成員采用相同的物理參數化方案（表 1），用以研究初值擾動方案的預報效果，每1小時進行一次邊界條件更新，而且為了消除邊界影響，進行DCT變換之前先刪除各邊十個格點，得到的數據受邊界層影響很小。

表1 WRF模式參數設置

本文主要采用Denis、Cote和Laprise提出一種類似傅里葉變換的DCT變換（離散余弦變換）。將一維函數

推廣到二維得到2D-DCT正變換公式，將2D-DCT應用于有限區域二維氣象場得到二維譜系數F(m,n)，它是二維波數(m,n)的函數。而該二維氣象場的總方差

可見總方差可以分解成不同二維波數(m,n)≠(0,0)的方差σ2(m,n)，也就是我們可以得到方差σ2(m,n)隨二維波數(m,n)≠(0,0)的分布，稱該方差譜為功能譜。顯然該方差是二維波數(m,n)的函數，因此需要將該方差表示為一維波數k的函數，具體方法如下：定義歸一化波數

對每個二維波數(m,n)≠(0,0)，其對應的歸一化波數α，如果滿足，

其中k=1,2…min(M-1.N-1)-1則將相應的方差σ2(m,n)加入S(k)。若定義格距為Δ，則歸一化波數α對應的波長采用圓頻率表示的波數，則S(k)是歸一化波數區間的方差和，因此譜密度通常稱為功率譜

2.數值模擬結果分析

2.1 風場功率譜分析

圖1是整個高度層的風場功率譜圖，整體分析來看，當波數很小時，能量分布很散，幾乎沒有規律可言，說明在很小尺度時能量與波數在高度層上不構成動力學和能量學關系，而在中尺度和大尺度范圍，圖像反映規律很明顯，41個高度層的風場能量譜分布很密集，在每個高度表現出相同的趨勢，在中尺度的斜率與E∝k-5/3幾乎平行，過渡到大尺度時，斜率有明顯變大，逐漸接近E∝k-3，但比k^-3略小，當波數越來越趨近10^-3時，斜率急劇增加，很可能是模式的耗散作用造成的。總體而言，基本符合動能譜分布規律，說明該模式在中尺度吻合度很高效果很好，大尺度略差。為了更細致分析，找出模擬效果最好的高度層，取每隔八層作時間平均的功率譜圖，如下。

圖1 功率譜圖

從圖2可以看出，第1層能量值大尺度范圍內最小，之后在中尺度迅速增加，第33層能量值在中尺度和大尺度范圍內最小，且能量隨著高度的升高而減小，到第33層之后又開始增加，說明中尺度波動能量也隨高度增高而先減小后增大，即在對流層低層大氣活動劇烈，與地表能量交換頻繁，到對流層中上層地表熱力影響較小，能量會較小，之后能量增加是因為到了高空風速增加很快，風速大，蘊含的動能大，因此會先減小后增大。

圖2 每隔八層功率譜圖

2.2 動能譜斜率分析

表2為第1層到第41層每隔8層的功率譜斜率，圖3為第1層到第41層每隔8層的功率譜斜率與大尺度-3和中尺度-5/3的偏移值。可以看出擬合效果最好的是在第33層，吻合度極高，在大尺度的誤差為0.2467，中尺度也十分吻合，誤差僅為0.1036。平流層的吻合度很高，中尺度誤差0.5412，大尺度誤差0.6102，因此可以看出，WRF模式對于對流層上層和平流層底層的擬合效果很好。由于第33層的吻合度極高，所以對其上下兩層進行功率譜的斜率和斜率偏移量分析，并結合這五層的功率譜圖，從定量和定性兩方面找出擬合效果最佳的高度。

表2 不同高度上的斜率

表3 斜率偏離值

表4 不同高度上的斜率

表5 斜率偏離值

在高度較高的地方，斜率更為符合觀測到的結果，即高層大氣的動能譜特征較為符合真實大氣的情況。從圖3定性分析可以看出這五層的功率譜圖在中尺度范圍內幾乎重合，完美的契合了中尺度E∝k-5/3，大尺度E∝k-3的分布關系，而從定量分析，這五層斜率和斜率偏移量誤差都很小，在小數點后兩個量級。說明這幾層高度的大氣相對穩定，沒有很強的湍流交換和垂直運動，該WRF模式能很好地模擬出這些高度的大氣運動，效果很好，說明了WRF模式中的參數化方案選的很合適六公里分辨率。所以在六公里分辨率的風場來看，WRF模式對于對流層高層有著極佳的擬合效果，這也與前人的研究不謀而合。

圖3 5個高度層的功率譜

2.3 晝夜時次的功率譜圖

圖4 白天的平均層次功率譜圖

前面我們已經分析了動能譜斜率的大小，大尺度和中尺度的斜率的轉折，分析了不同高度的功率譜隨著時間發展的演變結果，分析了對時次進行平均的不同高度的功率譜的差異，并得出了結果。下面，針對太陽輻射的晝夜變化導致的大氣運動和能量的晝夜變化，我們分析基于WRF模式生成的風場數據的功率譜，來比較其白天和夜間的能量差異，資料是4月28日00時到4月28日18時（世界時）的資料，對應的北京時應該加八個小時，即為28日08時到29日02時（北京時），取白天為08時到18時，夜間為18時到02時。

從圖可以看出能量高的地方很密集，幾乎重合，能量低的地方很分散，尤其是大尺度，而且受“spin up”時間的影響，模式剛開始運行時刻（最下面的功率譜線）誤差很大，初始時刻能量小于其他時刻，為了更好客觀的分析白天與黑夜能量譜圖，消除“spin up”時間的影響，便舍去前兩個小時的數據，白天取28日10時到18時，黑夜取28日18時到29日02時。

圖5是消除“spin up”時間的影響后對最優的31層到35層白天和黑夜功率譜圖。從兩張圖的整體趨勢來看，依然十分吻合能量譜和波數分布規律，在中尺度白天和黑夜功率譜斜率平行于紅色虛線，在大尺度白天和黑夜功率譜斜率平行于黑色虛線。但是對比來看，相同波數下黑夜的功率譜比白天的功率譜大，尤其是在波數在中尺度范圍，白天大致與紅色虛線重合，黑夜遠大于紅色虛線，有力的說明了白天的能量小于夜間的能量，這要歸因于當日的天氣的晝夜差異，白天的天氣晴好，大氣的運動較為平靜，風速小，而夜間的天氣較差，大氣運動較為劇烈，風速大。

圖5 五層晝夜功率譜圖（左白右黑）

圖6可以看出無論是對流層高中低層，還是平流層的低層，中尺度黑夜的風場能量都比白天的風場能量要大，從第1層、第17層、第33層和第41層都能明顯看出此現象，黑夜能量遠大于白天能量，而第9層到第25層黑夜能量只是略大于白天的能量。在中尺度第1層黑夜能量明顯大于白天能量，隨著高度增加，差異變小，隨著高度繼續增高，情況再次反轉，差異隨著高度升高變大。因此可以推測晝夜的能量差異隨著高度的變化是先變小在某層之后再繼續變大。說明低層晝夜能量差異很大，有較強的地表加熱作用，這與當天的天氣也是吻合的，到了高空，這種作用自然而然減弱，晝夜能量差減小。

圖6 第1層到第41層每隔八層白天和黑夜功率譜圖

3.結論

本文對六公里分辨率進行了系統全面的分析，從整層的時間平均功率譜圖，每隔八層和最佳高度層的斜率和斜率偏移量，消除“spin up”時間的影響，特定高度的晝夜功率譜圖來研究WRF模式在不同條件的擬合效果，得出了以下結論。

（1）本文設置的WRF模式能較好的模擬風場，尤其是在對流層高層中尺度范圍，動能譜與波數高度吻合E∝k-5/3，斜率偏移量最小為0.0752，誤差小到可以忽略不計，在大尺度擬合效果也很好，高層的斜率偏移量在0.2左右，說明了WRF模式參數設置對于該分辨率中尺度和大尺度的擬合效果出眾，也進一步證實了大氣的動能譜與其波數存在規律，在大尺度區域（800km以上），符合E∝k-3，而在中尺度區域（400km以下）則滿足E∝k-5/3關系。

（2）通過刪除初始幾個時刻的風場數據來消除“spin up”的影響，并對WRF模式擬合效果最好的對流層高層和每隔八層的特定高度進行晝夜能量譜對比分析，發現在降雨天氣，中尺度范圍黑夜的能量大于白天的能量，而且其差值隨著高度的升高而變大，這種規律與天氣密切相關。在大尺度范圍，整層的能量譜在晝夜表現出相同的分布規律，。

（3）該WRF模式較好的模擬了下墊面的加熱作用，至于高層出現的晝夜能量差異，是因為晚上出現雷暴導致，雷暴的出現則說明對流極其旺盛，達到了50hpa的高度，白天天氣晴好，高空風速差異不大，晚上雷暴天氣使得垂直方向風切變很大，風速隨著高度變化顯著，這就導致了晝夜能量隨著高度差異變大。