以史明智，以史育人

王東薪

摘要：數(shù)學(xué)是一門有著幾千年歷史的古老學(xué)科。數(shù)學(xué)史中不僅蘊(yùn)含著人類智慧的結(jié)晶，也閃耀著人類思想的光芒。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)本著“以史明智、以史育人”的原則，通過在單元教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)，對教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行統(tǒng)整和滲透，在單元整體的視角下，進(jìn)行數(shù)學(xué)史的融入，既注重對課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的精準(zhǔn)剖析，又凸顯教學(xué)過程和教學(xué)方法的難點(diǎn)突破，既重視學(xué)生知識和技能的培養(yǎng)，又關(guān)注學(xué)生思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力、學(xué)科德育的同步發(fā)展，從而真正提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：單元統(tǒng)整教學(xué);數(shù)學(xué)史;融入

近年來，關(guān)于數(shù)學(xué)史的研究取得了顯著的成果，人們也越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)史在提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率方面發(fā)揮著無可替代的作用。基于此，本文以小學(xué)數(shù)學(xué)單元統(tǒng)整教學(xué)為例，嘗試通過“教學(xué)目標(biāo)的統(tǒng)整、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)文化的融入、數(shù)學(xué)思想的滲透”的途徑，探索數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)策略，并希望以此為契機(jī)，探索小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的新思路。

五年級上冊第五單元“平面圖形的面積”是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)空間幾何中抽象概念的計(jì)算。平面圖形是幫助學(xué)生形成空間觀念的起點(diǎn)，平面圖形的面積是今后學(xué)習(xí)立體圖形面積及體積的基礎(chǔ)。在平面圖形面積的教學(xué)中，凸顯了許多數(shù)學(xué)思想方法。例如，通過剪拼、割補(bǔ)等方法，將未知圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形來探究圖形面積的計(jì)算方法，意在滲透轉(zhuǎn)化、綜合、分析思想;用字母式表示圖形面積的計(jì)算公式，旨在滲透符號化思想等。

一、教學(xué)目標(biāo)的統(tǒng)整——立足單元，詳略得當(dāng)

教學(xué)目標(biāo)是指教學(xué)活動實(shí)施的方向和預(yù)期達(dá)成的結(jié)果，是一切活動的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)史融入單元教學(xué)要立足單元教學(xué)整體布局，凸顯目標(biāo)內(nèi)容的文化特征，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)探究過程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想，從而把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)的思維方法和解決問題的能力。

（一）單元目標(biāo)立足全局

進(jìn)行單元統(tǒng)整教學(xué)時，教師要立足全局謀劃局部，要站在全面、系統(tǒng)的立場確定單元的教學(xué)目標(biāo)。基于對本單元教材的分析，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對面積計(jì)算的要求，確定本單元的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）通過割補(bǔ)等方法歸納平行四邊形面積計(jì)算公式，體驗(yàn)圖形運(yùn)動和“轉(zhuǎn)化”的思想方法，初步了解“出入相補(bǔ)”的計(jì)算方法;會用公式或公式變形求關(guān)于平行四邊形的底、高、周長及面積的相關(guān)問題。

（2）知道運(yùn)用割補(bǔ)等方法探索三角形計(jì)算方法，體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”的思想方法;會用公式或公式變形求關(guān)于三角形的邊、高、周長及面積的相關(guān)問題，拓展“出入相補(bǔ)”的方法。

（3）知道運(yùn)用割補(bǔ)等方法探索梯形的面積計(jì)算方法，體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”的思想方法;會用“出入相補(bǔ)”的方法將梯形轉(zhuǎn)化成為長方形、平行四邊形、三角形等;會用公式和公式變形求解關(guān)于梯形的底、高及面積的相關(guān)問題。

（二）課時目標(biāo)各有側(cè)重

本單元中包含“平行四邊形的認(rèn)識”及“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的認(rèn)識”“梯形的面積”“組合圖形的面積”等課時，本實(shí)踐將單元進(jìn)行拆分，只將體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的三節(jié)求面積的課時集中授課，凸顯了數(shù)學(xué)思想方法的緊密聯(lián)系。這三種圖形面積的推導(dǎo)，都是建立在學(xué)生自己動手操作的基礎(chǔ)上，通過割補(bǔ)、拼擺等方法將未知的圖形面積轉(zhuǎn)化為已知的圖形面積，滲透“化歸”的思想，融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)中。各課時目標(biāo)的側(cè)重點(diǎn)有所不同，在平行四邊形的面積中初步引入“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想，在三角形的面積中拓展“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想，在梯形的面積中運(yùn)用“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想。同時，注重知識間的聯(lián)系和遞進(jìn)關(guān)系，重視學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，梳理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，融入數(shù)學(xué)文化元素，序列性地制定單元課時目標(biāo)（如表1所示）。

三節(jié)課通過“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行串聯(lián)，在其中滲透“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想方法，序列性地進(jìn)行單元教學(xué)的嘗試，從第一節(jié)課的“開啟”、第二節(jié)課的“拓展”到最后“運(yùn)用”，讓學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)——把握核心，精準(zhǔn)施教

本單元的數(shù)學(xué)思想主線是運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解平面圖形的面積，但是在三節(jié)課中各有側(cè)重，既要把握單元統(tǒng)整教學(xué)的序列性，也要把握數(shù)學(xué)史融入的契合度，做到重點(diǎn)突出、層次分明。

序列性主要體現(xiàn)在平行四邊形的面積是開啟“轉(zhuǎn)化”的一節(jié)課，并初步介紹“出入相補(bǔ)”的思想方法。三角形的面積是拓展“轉(zhuǎn)化”的一節(jié)課，并拓展“出入相補(bǔ)”。而梯形的面積則是“轉(zhuǎn)化”思想的訓(xùn)練場，呈現(xiàn)出轉(zhuǎn)化方法的多樣化。

契合度主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史融入的契合性上，針對本單元的教學(xué)，借助“出入相補(bǔ)”這個載體，以不同的方式將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)中，讓學(xué)生遵循著知識的發(fā)展脈絡(luò)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的探究過程，進(jìn)而習(xí)得方法、掌握知識。

“平行四邊形的面積”是開啟課，教師直接出示一個平行四邊形，給學(xué)生充分的材料探究、思考：怎樣求出這個圖形的面積？學(xué)生的探究分為兩個層次：有的學(xué)生運(yùn)用方格紙數(shù)方格;有的學(xué)生直接用尺子量出刻度，然后沿高剪開，并將它轉(zhuǎn)化成為長方形。本節(jié)課的核心問題是：為什么要沿著高剪開轉(zhuǎn)化成為長方形？同時，向?qū)W生滲透“出入相補(bǔ)”的原理。學(xué)生通過“新舊轉(zhuǎn)化—找出關(guān)系—推導(dǎo)公式”總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。本課的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過程，初步構(gòu)建模型，體會“轉(zhuǎn)化”思想。在拓展練習(xí)中，學(xué)生體會到長方形變成平行四邊形，隨著高變小，周長不變，面積變小，體會“變中不變”的思想，并知道同底等高的平行四邊形面積相等。

“三角形的面積”是承上啟下課，教師出示一個三角形，請同學(xué)們進(jìn)行探究。有的同學(xué)通過對上一節(jié)課的知識遷移運(yùn)用，將兩個完全相同的三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，并推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。有的同學(xué)嘗試運(yùn)用一個三角形是否能用剪拼的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在剪拼過程中遇到困難時，教師逐步對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，引導(dǎo)他們沿兩條腰的中點(diǎn)剪開試一試。學(xué)生經(jīng)過探究可以得出三種情況。學(xué)生先后經(jīng)歷了比較容易的合拼和富有挑戰(zhàn)的剪拼過程，感受到了數(shù)學(xué)家的探究過程，并從中感悟數(shù)學(xué)思想、豐富體驗(yàn)。這樣的教學(xué)讓兩節(jié)課緊密而自然地銜接起來。

“梯形的面積”是思維展示課，學(xué)生有了合拼和剪拼的經(jīng)驗(yàn)，可以用個性化的方法探究梯形的面積計(jì)算公式。在單元統(tǒng)整的教學(xué)理念下，學(xué)生獲得了探究的方法，形成了探究的習(xí)慣，從而學(xué)會自己探究梯形的面積。然而，還不能止步于此。在本節(jié)課中，學(xué)生要尋找三個圖形面積之間的聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對三個圖形面積之間的聯(lián)系進(jìn)行梳理和建構(gòu)。

三、數(shù)學(xué)文化的融入——出入相補(bǔ)，適度實(shí)施

在單元統(tǒng)整的過程中，我對數(shù)學(xué)史料進(jìn)行了查找和梳理，并根據(jù)序列性和契合度進(jìn)行了適當(dāng)?shù)娜∩幔詈蟠_定了數(shù)學(xué)文化的滲透素材：《九章算術(shù)》中“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想和《幾何原本》中同底等高、等底等高的平行四邊形和三角形的面積之間的關(guān)系的命題和證明。根據(jù)單元統(tǒng)整的特點(diǎn)，我將數(shù)學(xué)文化嵌入課時教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化育人的作用。

“平行四邊形的面積”通過探究深入和練習(xí)融入兩方面讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化。在探究深入中，我向?qū)W生介紹了“出入相補(bǔ)”的原理并使其進(jìn)一步感知，為學(xué)生打開了更多關(guān)于割補(bǔ)法的思路。在練習(xí)融入中，我運(yùn)用教材資源，將數(shù)學(xué)文化與課堂練習(xí)有效地結(jié)合在一起，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、發(fā)現(xiàn)、感悟的過程。

“三角形的面積”通過三次融入讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化。第一次融入是在學(xué)生完成了用合拼探索出三角形的面積計(jì)算公式以后，直接引導(dǎo)學(xué)生采用剪拼法推導(dǎo)三角形的面積公式。第二次融入是學(xué)生經(jīng)歷用剪拼的方法推導(dǎo)出三角形的面積公式后，介紹《九章算術(shù)》中的記載，讓學(xué)生感受“出入相補(bǔ)”的方法。第三次融入是在課堂練習(xí)中融入《幾何原本》的有關(guān)命題，對等底等高的三角形面積進(jìn)行探究。

“梯形的面積”教學(xué)是在學(xué)生交流個性化轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，介紹《九章算術(shù)》中“邪田”（直角梯形）和“箕田”（等腰梯形）的記載。學(xué)生已有用轉(zhuǎn)化法推導(dǎo)梯形的面積計(jì)算公式的經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合數(shù)學(xué)史的融入，使其對“出入相補(bǔ)（以盈補(bǔ)虛）”有了更深刻、更多樣的體驗(yàn)。

四、數(shù)學(xué)思想的滲透——問題引領(lǐng)，抽象提升

單元統(tǒng)整教學(xué)不僅讓學(xué)生獲取了系統(tǒng)的知識鏈，更重要的是讓學(xué)生在掌握知識與技能的同時，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，最終形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在“平面圖形的面積”單元教學(xué)中，我通過問題驅(qū)動、學(xué)生主動、課堂生動三方面關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，循序漸進(jìn)地提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

（一）在問題驅(qū)動中啟動學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)的思維特征之一就是問題性，通過從實(shí)際生活中提出問題、建立聯(lián)系、個性表達(dá)，到最終的讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，學(xué)生在觀察、猜測、驗(yàn)證、推理、概括的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。思維因問題而發(fā)動，因問題而深入，并以問題解決為最終目的。

在“平行四邊形的面積”一課中，我通過三個核心問題逐步推進(jìn)：如何求出平行四邊形的面積？如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成已知圖形？為什么要沿著高剪開？在“三角形的面積”一課中，問題鏈體現(xiàn)在：如何求三角形的面積？如何將三角形轉(zhuǎn)化成已知圖形？兩個完全一樣的三角形合拼一個平行四邊形，一個三角形可以剪拼轉(zhuǎn)化嗎？而在“梯形的面積”中，其核心問題為：如何運(yùn)用合拼和剪拼求梯形的面積？通過問題鏈的形式將核心問題進(jìn)行呈現(xiàn)，凸顯了思維的嚴(yán)密性。

（二）在學(xué)生主動探究中激發(fā)學(xué)生的思維

在單元統(tǒng)整的過程中，要讓學(xué)生主動參與其中，就要對練習(xí)設(shè)計(jì)進(jìn)行統(tǒng)整，既要關(guān)注每一節(jié)課的分層，進(jìn)行有梯度的練習(xí)，又要關(guān)注課時之間的聯(lián)系和針對性;既要鞏固學(xué)生所學(xué)，又要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。比如，教師可結(jié)合《幾何原本》的相關(guān)命題，基于平面圖形單元的設(shè)計(jì)練習(xí)，既可鞏固知識，又能培養(yǎng)思維。富有層次的、縱橫聯(lián)系的多樣化練習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的深入理解，切實(shí)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生的思維走向深入。

（三）在課堂互動中提升學(xué)生的思維

在傳統(tǒng)課堂中，教師在學(xué)生還不知道研究對象的基本特征時就開始“講解例題，大量練習(xí)”，學(xué)生缺少對知識、方法及數(shù)學(xué)思想感悟、內(nèi)化的過程，導(dǎo)致淺層次學(xué)習(xí)，課堂不夠生動。在本單元統(tǒng)整的過程中，我將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，用數(shù)學(xué)思想串聯(lián)起整個數(shù)學(xué)教學(xué)單元，將數(shù)學(xué)文化素材嵌入各個課時的教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教學(xué)作用。

將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)單元統(tǒng)整教學(xué)，須立足全局制定教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合內(nèi)容確定統(tǒng)整主線，前延后續(xù)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，一以貫之地融入數(shù)學(xué)文化，層次分明地設(shè)計(jì)練習(xí)題組，循序漸進(jìn)地提升思維品質(zhì)。在單元整體教學(xué)的視角下，融入數(shù)學(xué)史教學(xué)，教師應(yīng)既注重對課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的精準(zhǔn)剖析，又凸顯在教學(xué)方法上的扶放結(jié)合;既重視學(xué)生知識和技能的培養(yǎng)，又關(guān)注學(xué)生的思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力、學(xué)科德育的同步發(fā)展，從而真正地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張貴平.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)史的實(shí)踐研究[J].試題與研究，2019（24）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）