順學(xué)而導(dǎo)，打通學(xué)本課堂“三脈”

周艷軍 尹良俊

摘要：“學(xué)本課堂”要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，在課堂上進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，適時(shí)且智慧地“順學(xué)而導(dǎo)”，打通學(xué)生、教材、教學(xué)“三脈”，才能真正讓學(xué)生汲取到屬于數(shù)學(xué)最本質(zhì)的“內(nèi)功”。

關(guān)鍵詞：學(xué)本課堂;順學(xué)而導(dǎo);“三脈”

一、背景說明

“學(xué)本課堂”要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，在課堂上進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，適時(shí)且智慧地“順學(xué)而導(dǎo)”，做到“以學(xué)定教”，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)消極轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)積極，由依賴轉(zhuǎn)變?yōu)楠?dú)立，成為課堂的真正主人。

除法豎式是小學(xué)階段整個(gè)運(yùn)算學(xué)習(xí)中的一個(gè)重難點(diǎn)。在四則運(yùn)算中，加法、減法、乘法的豎式結(jié)構(gòu)相近且關(guān)系密切，唯獨(dú)除法豎式與之不同、自成一家。除法豎式與其他三種運(yùn)算相比除了格式不同，它的計(jì)算過程也更為復(fù)雜，其中涉及除法、乘法、減法的運(yùn)算。在教學(xué)中，學(xué)生的問題層出不窮，如對(duì)除法豎式的格式疑惑不解、對(duì)豎式各部分含義的理解錯(cuò)誤等，最終造成學(xué)生計(jì)算容易出錯(cuò)、豎式變成了抄格式等。

二、案例描述

“除法豎式”是學(xué)生學(xué)習(xí)除法豎式的第一節(jié)課，由于學(xué)生有“口算除法”的基礎(chǔ)，所以筆者以為沒有計(jì)算難度的課會(huì)順風(fēng)順?biāo)珜W(xué)生的表現(xiàn)卻讓人出乎意料。

師：同學(xué)們，其實(shí)除法算式也可以像以前我們學(xué)過的加法、減法和乘法一樣，寫成豎式來計(jì)算，大家想知道嗎？

幾個(gè)學(xué)生馬上在下面興奮地叫：老師，我已經(jīng)會(huì)了！……老師，我爸爸已經(jīng)教過我了！……

師：真的？那我們一起來驗(yàn)證一下。

（指名學(xué)生板書豎式）

師：能把你寫豎式的方法和大家介紹一下嗎？

生：先寫被除數(shù)15，然后寫一橫一撇（像一個(gè)“廠”一樣），把除數(shù)5寫在一撇的旁邊，商3寫在一橫的上面，3乘5等于15寫在被除數(shù)的下面，最后劃一條橫線，在橫線下面寫0。

師：是呀，在除法豎式里，被除數(shù)住在“廠房”里面，除數(shù)住在“陽臺(tái)”，商住在“房頂”。那這幾個(gè)數(shù)表示什么意思呢？

學(xué)生語塞，其他學(xué)生也面面相覷。

師指著豎式中的“15”：“15”表示什么意思？

一陣沉默后，生：“15”表示被除數(shù)。

師：在題目情境中表示什么？

生：表示一共有15盆花。

……

課后，筆者細(xì)細(xì)地回顧了學(xué)生的表現(xiàn)，并與幾個(gè)同事進(jìn)行了交流，又查閱了一些資料，發(fā)現(xiàn)不少教師在上這節(jié)課時(shí)，學(xué)生都有類似的問題——易會(huì)、難理解。看來，學(xué)生在“除法豎式”中出現(xiàn)的問題并不簡(jiǎn)單，到底是什么東西在阻礙孩子的理解呢？

三、案例分析

為了弄清原委，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查，結(jié)果顯示：大部分學(xué)生課前不知道除法豎式的格式，以為除法豎式應(yīng)該和加法、減法、乘法豎式一樣;有11人在課前已經(jīng)看過除法豎式的格式，其中5人通過家長(zhǎng)的講授“學(xué)會(huì)”（2人家長(zhǎng)每天教;1人家長(zhǎng)經(jīng)常教;2人家長(zhǎng)偶爾教），4人預(yù)習(xí)教材看過（2人看不懂;2人機(jī)械記住格式），還有2人在哥哥或姐姐寫作業(yè)時(shí)看到過，但沒有一個(gè)孩子對(duì)除法豎式有正確、完整的認(rèn)識(shí)。而后，筆者又對(duì)教材進(jìn)行了仔細(xì)的通讀與品讀，有了新發(fā)現(xiàn)。梳理一下，學(xué)生難以理解除法豎式，主要有以下幾點(diǎn)原因。

（一）學(xué)生的起點(diǎn)

課前，孩子認(rèn)為除法豎式和加法、減法、乘法豎式一樣，這是很正常的。因?yàn)榇饲吧婕暗某ǘ际怯嘘P(guān)于平均分正好分完（整除）的問題，學(xué)生可以很快地利用口訣計(jì)算出結(jié)果。這節(jié)課的整除豎式在他們看來同樣也可以用加法、減法、乘法的豎式格式來寫，為什么要引入一種新的格式呢？學(xué)生頭腦中的這些負(fù)遷移得不到解決，導(dǎo)致學(xué)生從心理上沒有接納這樣的學(xué)習(xí)，從而影響了他們這堂課的學(xué)習(xí)效果。

此外，部分學(xué)生父母的“先教”，以及學(xué)生自己對(duì)教材的“先學(xué)”，看似能“贏在起跑線上”，但由于除法豎式的算理較“加、減、乘”更復(fù)雜些，再加上家長(zhǎng)先教時(shí)說不清算理、道不明計(jì)算過程，導(dǎo)致學(xué)生理解得支離破碎，以為機(jī)械地記住豎式格式就“大功告成”。這樣的“先教”與“先學(xué)”并不能幫到我們，反而在一定程度上阻礙了我們的教學(xué)。

（二）教材對(duì)算理形象化描述的缺失

仔細(xì)去閱讀本單元的整除和有余除法的兩個(gè)關(guān)鍵例題，我們可以發(fā)現(xiàn)教材遵照“數(shù)學(xué)源于生活”的原則，在解決平均分的問題中提出除法算式，但是在新知“除法豎式”中卻呈現(xiàn)得很概括、很理性。例如：除法豎式中各部分?jǐn)?shù)字的紅字解釋借助著除法橫式各部分名稱去解釋除法豎式的各部分含義，都是很抽象、概括化的語言。此外，沒有安排任何的教學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)。

三年級(jí)的孩子正慢慢跨出具體運(yùn)算階段，但是，這并不意味著他們就能夠很快地接受抽象概括的結(jié)論。正確地理解算理對(duì)于計(jì)算課來說是至關(guān)重要的。教材對(duì)算理形象化描述的缺失，以及學(xué)生需要借助形象具體的活動(dòng)來建構(gòu)算理，這些都決定了我們勢(shì)必要彌補(bǔ)這片空白，來幫助學(xué)生理解算理。

（三）“平均分”里整除和有余情況的關(guān)系

每份分得同樣多就是平均分，只要符合這樣分的結(jié)果就是平均分。此前，學(xué)生學(xué)習(xí)平均分的問題都是將若干物品平均分完后沒有剩余的情況。然而，在生活中，我們遇到的往往是平均分完后不能再分的剩余情況，很特殊時(shí)才會(huì)出現(xiàn)平均分后正好分完的情況。也就是說，有余數(shù)除法是平均分的一般情況，而整除其實(shí)就是一種余數(shù)為0的特殊情況。

一般和特殊是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，它們聯(lián)系緊密，很容易產(chǎn)生一種遷移的關(guān)系。由于整除除法豎式中要分的數(shù)量與分出去的數(shù)量一樣多，讓學(xué)生容易產(chǎn)生“被除數(shù)和商×除數(shù)”是一樣的表象認(rèn)識(shí)，甚至覺得這是一次多余的計(jì)算，所以便有了后面有余數(shù)除法豎式的普遍錯(cuò)誤（如圖1所示）。

由此可見，整除的特殊性不能很好地讓孩子明白，要分的數(shù)量（被除數(shù)）和分出去的數(shù)量（商×除數(shù)）是兩種不同的概念，表示的意思并不完全一樣。也正是由于這節(jié)課整除除法豎式的特殊限制，無法讓學(xué)生深入地區(qū)別兩者，從而產(chǎn)生了這樣的錯(cuò)誤遷移。

三、案例反思

學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題，有時(shí)候其實(shí)正是他們認(rèn)知上存在漏洞、不完善的體現(xiàn)。可能是學(xué)生固有的認(rèn)知起點(diǎn)造成的，也可能是受教材呈現(xiàn)影響，還可能是教學(xué)安排上的不合理，等等。那么，我們?cè)撛趺磶椭⒆涌朔@些困難？

（一）打通“學(xué)生之脈”

1.順學(xué)而導(dǎo)，還學(xué)習(xí)于提疑解疑之中

提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要。民主的課堂要引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)貴有疑”，做學(xué)習(xí)的主人，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們親歷“解決我的問題”的有效探究過程是比任何說教都讓他們印象深刻的。“除法豎式”是一節(jié)讓學(xué)生有疑可提、有疑可想的新授課，所以，倒不如讓學(xué)生盡情地提出自己所想。

課中，在學(xué)生提出“除法豎式和加法、減法、乘法豎式格式一樣”的設(shè)想后，可以讓他們嘗試用自己設(shè)想的列除法豎式（如圖2所示）。然后，讓學(xué)生先看一看除法豎式，他們自然而然會(huì)打開問題的匣子。例如：除法豎式怎么列？為什么要這樣列除法豎式？ 為什么要新發(fā)明一種格式，與加法、減法、乘法一樣不可以嗎？……這些問題一點(diǎn)兒也不幼稚，反而是一種很珍貴的教學(xué)生成資源。本節(jié)課就可以主要圍繞這兩個(gè)問題展開：除法豎式怎么列？為什么這樣列？正視學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)渴望，學(xué)生便多了一種學(xué)習(xí)主人的情感，便自然而然地投入“提疑—解疑”的過程中，這樣真正做到了把學(xué)習(xí)的權(quán)利還給學(xué)生，把課堂還給學(xué)生。

2.以學(xué)定教，讓接納在悄無聲息之間完成

學(xué)生在學(xué)習(xí)除法豎式之初受到知識(shí)遷移的影響，很容易覺得除法豎式也應(yīng)該列跟加法、減法、乘法一樣的格式。那是因?yàn)榇饲皩W(xué)習(xí)的平均分都是正好分完的情況，不需要考慮有余數(shù)的情況，用口訣就能一步到位地計(jì)算出結(jié)果。可見，學(xué)習(xí)整除豎式還是無法讓學(xué)生在情感上接納除法豎式格式。

然而，學(xué)生很快就會(huì)在學(xué)習(xí)有余數(shù)除法豎式中遇到認(rèn)知沖突——余數(shù)該怎么寫？寫在哪里？所以，教師應(yīng)在教學(xué)有余數(shù)除法豎式的過程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比他們所想的除法豎式和現(xiàn)實(shí)的除法豎式，在對(duì)比中感受除法豎式既能清晰明了地反映計(jì)算結(jié)果，還能看出平均分的整個(gè)過程，從而讓孩子從心底接受除法豎式的新格式，體會(huì)到這樣列除法豎式的必要性。

（二）打通“教材之脈”

1.理解除法豎式的本質(zhì)

我們現(xiàn)在使用的這種除法豎式格式是17世紀(jì)歐洲除法豎式逐漸演變和簡(jiǎn)化而來的。從古代中國(guó)采用算籌來計(jì)算除法到后來用算盤來計(jì)算，以及中世紀(jì)歐洲的“帆船除法”，人們?cè)谶M(jìn)行筆算除法的時(shí)候，總希望把按一定順序計(jì)算的中間結(jié)果和最終結(jié)果記錄下來，除法豎式就是這樣一種簡(jiǎn)潔而有效的記錄方式。這就是除法豎式的本質(zhì)。

三年級(jí)的孩子還并未完全脫離依靠具體形象來學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中仍然需要借助豐富充足的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)抽象的依托。所以，讓學(xué)生理解除法豎式中的計(jì)算過程是一種記錄過程，就需要把真實(shí)的平均分展現(xiàn)給學(xué)生。例如：讓學(xué)生讀懂題意之后，根據(jù)題意以小棒代花瓶擺一擺，自己說一說是怎么平均分的，小組議一議分的過程是怎么樣的。學(xué)生在不斷的“擺—說—議”的過程中，把除法豎式各部分的含義牢記心中。與此同時(shí)，明確要分到不能平均分為止，為下面余數(shù)與除數(shù)關(guān)系的探究做鋪墊。

2.理清除法的兩種情況

本單元既要會(huì)列已經(jīng)學(xué)過的整除情況的豎式，還要會(huì)用豎式計(jì)算解決平均分完還有剩余的情況，尤其是討論還有剩余的情況是對(duì)孩子除法認(rèn)識(shí)的一個(gè)新突破和擴(kuò)充，是進(jìn)入除法學(xué)習(xí)的一個(gè)新臺(tái)階。讓學(xué)生了解除法的兩種情況，就要把它們蘊(yùn)含在學(xué)生的活動(dòng)之中，在“擺一擺、說一說、議一議”中擴(kuò)充學(xué)生對(duì)于除法的理解：（1）平均分不能再分之后仍有剩余;（2）平均分后沒有剩余。深刻地理解這樣的情況，對(duì)于后面研究余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系做好了認(rèn)知鋪墊。

（三）打通“知識(shí)結(jié)構(gòu)之脈”

有余數(shù)除法是平均分的一般情況，整除是有余數(shù)除法中余數(shù)為零的特殊情況，整除是包含在有余數(shù)除法中的。

考慮到整除除法豎式的特殊性對(duì)于教學(xué)的局限性，在這節(jié)初始課中，我們可以大膽地將整除和有余數(shù)除法兩者并舉，教學(xué)時(shí)輕重有別，有余數(shù)除法作為重點(diǎn)突破的關(guān)鍵，給予學(xué)生充分的體驗(yàn)機(jī)會(huì)。例如：在“擺、說、議”等環(huán)節(jié)，關(guān)鍵是要說清楚整個(gè)分的過程（平均分到不能再分為止）、分的結(jié)果（平均分后剩余幾個(gè)）。然后在此基礎(chǔ)上，把豎式作為一種記錄的方法呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生完成從具體形象到抽象概括的建模。同時(shí)，還可以讓學(xué)生看著除法豎式想一想分物的過程，完成抽象概括回歸具體形象的過程，幫助學(xué)生對(duì)除法豎式的算理形成清晰而深刻的認(rèn)識(shí)。此外，還可以將有余數(shù)除法豎式和整除除法豎式相比較，說一說他們的相同和不同，使學(xué)生在對(duì)比中理順兩者之間的聯(lián)系，從而更好地幫助學(xué)生理解除法豎式的本質(zhì)含義。

總之，“學(xué)本課堂”有時(shí)也像武俠片里的練功，需要教師順學(xué)而導(dǎo)，打通學(xué)生、教材、教學(xué)“三脈”，才能真正讓學(xué)生汲取到屬于數(shù)學(xué)最本質(zhì)的“內(nèi)功”！

參考文獻(xiàn)：

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[3]肖鑒鏗.運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)，搞好有余數(shù)除法的教學(xué)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（03）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）