重聯想 強操作 深探究

孫丹妍 童衛華

摘要：近年來，中考數學試卷在矩形問題的考查方面出現了許多創新題，這些創新題具有情景的新穎性、設問的靈活性等特點。其中，折疊、旋轉是矩形問題的主旋律，發現、探索是考查的著力點。在平時的復習中，教師應將知識點穿成知識鏈，將知識鏈編織知識網，不斷豐富學生的認知結構，引導學生多角度思考問題，提升學生的數學思維品質。

關鍵詞：重聯想;強操作;深探究

一、原題呈現

二、解法探究

本題以矩形折疊為背景，以求線段長度為手段，全面考查初中“圖形與幾何領域”的核心內容，涉及矩形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數等知識。

在求線段長度時，常用的方法是三角形全等、面積法、勾股定理、相似法。這些都是課標要求的基礎知識與基本技能。題中所給的圖形蘊含著許多常見的基本圖形，如“雙平等腰模型”“8字形”“直角三角形子母相似”，解答本題需要學生具備一定的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模等能力，對學生學業水平有較好的檢驗和評價作用。

折疊的本質是軸對稱變換，它是圖形四大變換之一，在初中三年的數學學習內容中均有體現，如七年級上冊角平分線的概念，就是由折疊引入的，七年級下冊平行線中的折疊，八年級、九年級也都出現了折疊，2021年的期中考試中三個年級均出現了折疊問題。

圖形折疊的結果會出現完全重合和部分重合兩種情況，既是分類，又滲透了數學的等量關系和不等量關系。借助將紙片折疊這一數學活動，將數學操作進行數學抽象，由具體實物抽象成幾何圖形，實現由具體形象思維到抽象邏輯思維的跨越。

以上是我們對折疊的理解，下面我們開始解題。

題中出現了折疊，折痕為角平分線，結合矩形平行的性質，聯想到雙平等腰模型，等腰三角形也是解決線段相等的一個基本圖形，于是有了解法二。（如圖2所示）

折疊可得為直角，直角讓人聯想到勾股定理和高，雙高聯想到面積法，于是有了解法三。（如圖3所示）

無論是全等三角形還是等腰三角形，都是直觀想象的體現。

在解答了第一問后，題中就知道了兩條線段的長度，求BE的長度就轉化為知二求一，知二求一常見的方法是勾股定理、相似三角形的比例線段。觀察圖形，我們發現BE雖然在直角三角形中，但求解BE仍很困難，結合條件折疊，把BE轉化成EF，體現了數學的轉化思想。把AE，DF，EF這三條線段集中在一起，這讓我們聯想到三角形相似，所以得到了求EF的解法。在解題時，設線段長為x，運用方程求解，綜合考查了學生的直觀想象和數學建模的核心素養。

三、變式反思

題后的反思是一種重要的學習方法。在總結回顧中，我們發現，BE=EF=? ? ? ? ? 這個答案很奇特，竟然跟黃金比? ? ? ? ? ? 很相像，竟然就是黃金比，這里面還藏著什么秘密呢？讓我們再看一次題目，看我們是否疏忽了什么。題中“點D，E，F三點在同一條直線上”這個條件比較奇怪，究竟是這個現象導致了這個特殊的比值，還是這個特殊的比值確定了三點共線？

我們用幾何畫板進行了探究。

如圖4所示，將一個一般的矩形進行折疊，D，E，F三點不在同一直線上，△ADF和△DFC都不是直角三角形，DF和AE的等量關系也不存在。當矩形兩邊滿足特殊關系時，D，E，F三點共線，DF與AE存在等量關系，特殊的比值也存在，根據三角形相似，矩形的短邊與對角線的比也是黃金比。這種由一般到特殊的研究方法，符合幾何學習的一般規律。

矩形折疊中還有沒有類似的特殊結構導致特殊的結論？

變式1：如圖5所示，在矩形ABCD中，點E是DC邊上一點，連接BE，將△BCE沿BE對折，點C落在邊AD上點F處，BE與對角線AC交于點M.

針對不同年級段有不同的題型，如

七年級：如圖5所示，∠AFB比∠DFE大10°，求∠AFB的度數。

八年級上：如圖5，已知AB=6，BC=10，求①DF的長;②求DE的長。

八年級下：如圖6所示，已知AB=6，BC=10，求①證明四邊形FMCE是菱形;②求菱形的面積。

九年級中考：如圖6，在矩形ABCD中，點E是邊DC上一點，連接BE，將△BCE沿BE對折，點C落在邊AD上點F處，BE與對角線AC交于點M，連接FM，若FM//CD，BC=10.求AF的長.

比較條件，發現八年級下與九年級中考均為求線段長度，但八年級是知二求一，用勾股定理比較容易解決，九年級是知一求一，此時線段還不相等，解題難度增加，猜想，是否還有隱藏條件未找出？

我們仍然用幾何畫板來驗證是否還含有隱藏的特殊條件。如圖7所示，一般矩形經過折疊后，FM與CD并不平行，此時四邊形FMCE是個箏形，只有當矩形兩邊滿足特殊關系時，FM才和CD平行，四邊形由箏形變成了菱形，矩形的短邊與對角線的比是黃金比。

在平時教學中，我們還碰到過以下現象，只要我們重新畫一遍圖，有些題目竟然迎刃而解，豁然開朗，這又是為什么呢？原來是通過畫圖，將復雜圖形簡化成基本圖形，再把基本圖形組合成復雜圖形，在這個過程中我們捋清了條件之間的邏輯順序，找到了條件之間的隱藏關系，豐富了解題線索，最終解決了問題。在幾何圖形的教學中，強調了識圖、標圖，可能疏忽了畫圖能力的培養。

因此，教師應用知識點穿成知識鏈，用知識鏈編織知識網，不斷豐富學生的認知結構，引導學生多角度思考問題，提升學生數學思維品質。

參考文獻：

[1]卜以樓.取勢 明道 優術：初中函數圖像的教學分析及思考[J].中學數學教學參考，2015（10），

（責任編輯：奚春皓）