方向性熱膨脹系數(shù)可設(shè)計(jì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)均勻化性能分析

王 帥，牛 飛，牛 斌

(1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024;2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引言

隨著點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的研究和發(fā)展，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的單胞數(shù)量越來越多，構(gòu)型越來越復(fù)雜，對(duì)此類結(jié)構(gòu)的分析往往很耗時(shí)甚至無法計(jì)算分析。通常的做法是采用近似模型，將宏觀結(jié)構(gòu)中具有非均質(zhì)特性的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞進(jìn)行等效處理，以此來簡化宏觀模型的分析。常見的等效性能預(yù)測(cè)方法有：以變分原理為基礎(chǔ)的定界法，如Hashin[1]通過解析法得到材料等效參數(shù)的上限和下限范圍。基于夾雜理論的近似模型：自洽模型、廣義自洽模型、Mori-Tanaka(M-T)模型等，以及基于此構(gòu)建的數(shù)值方法，如自洽法[2]、廣義自洽法[3]、M-T法[4]。考慮到實(shí)際計(jì)算模型的復(fù)雜性和預(yù)測(cè)方法的通用性，數(shù)值求解方法在預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)等效性能方面比較流行，主要有代表體元法(RVE)和漸近均勻化方法(AH)。

代表體元法(RVE)[5-6]基于能量等效原理，選取周期性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)(代表體元)作為研究對(duì)象，通過施加單位位移邊界條件(Dirichlet邊界)或者力邊界條件(Neumann邊界)，使得點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和相應(yīng)的均質(zhì)材料單胞應(yīng)變能等效，從而求出等效性能。漸近均勻化(AH)[7～9]方法是另外一種預(yù)測(cè)周期性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效性質(zhì)的數(shù)值方法。漸近均勻化方法基于攝動(dòng)理論和虛位移原理，具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論推導(dǎo)，當(dāng)單胞尺寸相對(duì)于宏觀結(jié)構(gòu)尺寸非常小時(shí)，能夠給出精確的預(yù)測(cè)結(jié)果。近年來，許多學(xué)者將漸近均勻化與商業(yè)軟件結(jié)合，保留嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論邏輯，簡化程序開發(fā)流程，實(shí)現(xiàn)快速簡單計(jì)算，如程耿東等[10]提出一種新漸近均勻化實(shí)現(xiàn)方法，可以使用商業(yè)軟件輕松實(shí)現(xiàn)多種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效彈性模量的計(jì)算，張永存等[11]提出了基于漸進(jìn)均勻化方法預(yù)測(cè)周期性復(fù)合材料等效熱膨脹系數(shù)的新算法。

本文采用漸近均勻化方法獲得點(diǎn)陣單胞的等效彈性模量和熱膨脹系數(shù)，比較點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效分析與離散分析之間的差異。首先，本文針對(duì)一種單方向熱膨脹系數(shù)可設(shè)計(jì)的點(diǎn)陣單胞，用漸近均勻化方法，獲得點(diǎn)陣單胞的等效模量和熱膨脹系數(shù)屬性。然后，分別建立一個(gè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)離散模型和采用均勻化后等效模型，討論在不同幾何外形、邊界條件、載荷情況和點(diǎn)陣數(shù)目下均勻化方法預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

1 漸近均勻化理論

對(duì)于周期性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，漸近均勻化方法可以預(yù)測(cè)其等效性能。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量可以用應(yīng)變能的形式表示為[10]。

(1)

其中，Y是點(diǎn)陣單胞的定義域，|Y|是點(diǎn)陣單胞的體積，D為彈性矩陣，ε0(kl)為單位應(yīng)變，ε*(kl)為特征應(yīng)變。

式(1)可以變形為

(2)

其中，x0(ij)是初始位移場(chǎng)，x*(ij)是特征位移場(chǎng)，f(kl)是初始位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)反力，f*(kl)是特征位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)反力。以二維為例，特征位移場(chǎng)x0(ij)可以表示為[10]:

(3)

f(kl)和f*(kl)可以分別表示為

f(kl)=Kx0(kl)

(4)

f*(kl)=Kx*(kl)

(5)

所以，只要獲得f(kl)和f*(kl)就可以計(jì)算有效彈性模量[10]。建立一個(gè)單胞有限元模型，對(duì)模型施加一個(gè)初始位移場(chǎng)x0(kl)進(jìn)行一次有限元分析，提取節(jié)點(diǎn)的反力，即f(kl)。再將獲得的f(kl)施加在模型上，施加周期性邊界條件進(jìn)行一次有限元分析，可以獲得特征位移場(chǎng)x*(kl)。最后，在模型上施加特征位移場(chǎng)x*(kl)進(jìn)行一次有限元分析，獲得節(jié)點(diǎn)的反力，即f*(kl)。將獲得的數(shù)據(jù)代入到公式(2)中即可計(jì)算出有效彈性模量。

等效熱膨脹系數(shù)在等效彈性模量的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算。等效熱膨脹系數(shù)與等效彈性模量EH和熱彈性常數(shù)β有關(guān)[11]，關(guān)系如公式(6)所示，所以確定熱膨脹系數(shù)還需計(jì)算熱彈性常數(shù)β。

α=(EH)-1β

(6)

熱彈性常數(shù)β的表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

其中，Rα為單位負(fù)溫升下的節(jié)點(diǎn)反力，Λ為特征位移場(chǎng)，RΛ為在特征位移場(chǎng)Λ下的節(jié)點(diǎn)反力。

計(jì)算等效熱膨脹系數(shù)的步驟如下[11]：首先，約束所有節(jié)點(diǎn)位移，施加單位負(fù)溫升，獲得節(jié)點(diǎn)反力Rα。然后將節(jié)點(diǎn)反力Rα施加在單胞的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，施加周期性邊界條件，通過一次靜力分析，獲得特征位移場(chǎng)Λ。再將各節(jié)點(diǎn)施加特征位移場(chǎng)Λ，獲得節(jié)點(diǎn)反力RΛ。最終，將獲得的節(jié)點(diǎn)反力Rα和RΛ代入到公式(7)中計(jì)算出熱彈性常數(shù)β，再由公式(6)獲得單胞的等效熱膨脹系數(shù)。

2 點(diǎn)陣模型等效屬性計(jì)算

本文使用的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞如圖1(a)所示，在雙材料金字塔結(jié)構(gòu)[12]的基礎(chǔ)上，將底面改為板結(jié)構(gòu)，提高承載性能，由兩個(gè)雙材料板桿金字塔構(gòu)型對(duì)接形成本文點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞。其中圖1(a)、圖1(b)中板材為材料1，桿件為材料2。

圖1 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞圖

參考文獻(xiàn)[13]中的推導(dǎo)過程，金字塔結(jié)構(gòu)各邊與高度h、角度β之間滿足關(guān)系

(8)

分別對(duì)L1、L2求微分可得：

(9)

其中，dL1、dL2、dh、dβ分別是L1、L2、h、β的微分形式。

根據(jù)熱膨脹系數(shù)的定義，圖1(c)中淺色桿件(材料1)的熱膨脹系數(shù)α1=dL1/L1dt，深色桿件(材料1)的熱膨脹系數(shù)α2=dL2/L2dt，公式(9)變形為：

(10)

其中，dh/hdt為四棱錐沿高度h方向的熱膨脹系數(shù)αh(后面簡寫為等效熱膨脹系數(shù))，對(duì)公式(10)約分，再將α1、α2、αh代入到公式(10)中，得到公式(11)。

(11)

(12)

從公式(12)中可以看出，選定兩種不同的材料或設(shè)計(jì)角度β的大小，都可以改變等效熱膨脹系數(shù)αh的大小，實(shí)現(xiàn)正、零和負(fù)熱膨脹系數(shù)的變化。

當(dāng)固定角度β，選擇不同的材料組合來改變?chǔ)羑的數(shù)值。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞中材料1選擇為1Cr8Ni9，材料2選擇為4J33，材料屬性如表1中所示。將表1中的熱膨脹系數(shù)代入到公式(12)，當(dāng)角β=45°，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞等效熱膨脹系數(shù)為0。然后固定角度β為45°不變，選擇不同的材料組合，獲得不同等效熱膨脹系數(shù)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞。采用漸近均勻化方法，計(jì)算點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞的等效材料屬性，結(jié)果如表2所示。表2中Ex、Ey、Ex表示點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞XYZ三個(gè)方向的彈性模量，αx、αy、αz表示點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞XYZ三個(gè)方向的熱膨脹系數(shù)。

表1 材料屬性[11]

表2 單胞等效材料屬性

由表2中第一行數(shù)據(jù)，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞在XY方向上的熱膨脹系數(shù)與材料1的熱膨脹系數(shù)相近，在Z方向上的熱膨脹系數(shù)比XY方向上的熱膨脹系數(shù)小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，符合低熱膨脹的設(shè)計(jì)。對(duì)比3個(gè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞的等效彈性模量可以看出，單胞在XY方向上的彈性模量相同，Z方向上的彈性模量較低。對(duì)比3個(gè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞的等效熱膨脹系數(shù)可以看出，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞沿XY兩方向的熱膨脹系數(shù)與板材料(材料1)的熱膨脹系數(shù)相同，Z方向上的熱膨脹系數(shù)是可以設(shè)計(jì)的，可以實(shí)現(xiàn)由正到低再到負(fù)熱膨脹系數(shù)的變化。

3 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞均勻化性能驗(yàn)證

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞均勻化之后可以看作是一個(gè)各向異性的等效材料。先采用簡單幾何的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)為例，分別建立均勻化后的等效模型和點(diǎn)陣離散梁/板模型，考慮不同邊界條件、載荷情況和單胞數(shù)目，驗(yàn)證漸近均勻化方法預(yù)測(cè)的等效彈性模量和熱膨脹系數(shù)的準(zhǔn)確性。再使用復(fù)雜拓?fù)涞狞c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，同樣建立均勻化后的實(shí)體模型和點(diǎn)陣離散模型，探究幾何外形對(duì)漸近均勻化方法預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確性的影響。

3.1 不同單胞數(shù)目

采用圖1(a)中的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞，填充一個(gè)10 mm×10 mm×14.14 mm的長方體區(qū)域，采用不同大小的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞進(jìn)行填充，分別形成2×2×2、5×5×5和10×10×10點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，建立點(diǎn)陣離散梁/板模型，如圖2所示。隨著單胞數(shù)的增多，桿徑和板厚相應(yīng)變小，保證單胞的體分比不變。基于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)均勻化等效性能，建立均勻化后的等效模型。載荷及邊界條件為：底面固定，頂面受到一個(gè)4 MPa的均布載荷，位移計(jì)算數(shù)據(jù)如表3所示。表3中數(shù)據(jù)為頂面上的所有節(jié)點(diǎn)位移的平均值。

圖2 點(diǎn)陣填充結(jié)構(gòu)

表3 平壓下節(jié)點(diǎn)位移平均值

由表3中數(shù)據(jù)可以看出，隨著點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞數(shù)目的增多，均勻化獲得的等效性能越來越能反映實(shí)際情況。當(dāng)單胞數(shù)量為10×10×10時(shí)，離散分析和均勻化等效分析在主方向上的誤差在1%左右。之后的仿真分析就以10×10×10的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)離散模型和均勻化后等效模型展開。

3.2 不同點(diǎn)陣邊界條件

均勻化后的等效結(jié)構(gòu)不論如何截取都是同樣材料屬性的實(shí)體，但點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)卻不同。采用圖3(a)所示的3種方式截取點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)作為3種不同的單胞，再以此3種單胞陣列成周期性結(jié)構(gòu)，如圖3(b)、(c)、(d)所示，這樣形成的結(jié)構(gòu)在中心大部分區(qū)域并無差異，但在邊界上卻不同。通過仿真分析，比較不同截取方式對(duì)點(diǎn)陣性能的影響。位移計(jì)算數(shù)據(jù)在表4中列出。表4中數(shù)據(jù)為頂面上的所有節(jié)點(diǎn)位移的平均值。

圖3 點(diǎn)陣截取方法及陣列結(jié)構(gòu)

表4 平壓下節(jié)點(diǎn)位移平均值

橫向?qū)Ρ缺?中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)基本滿足上一節(jié)的結(jié)論，即點(diǎn)陣單胞數(shù)量越多，均勻化結(jié)果預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確。再縱向?qū)Ρ缺?中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，截取方式1和截取方式3，對(duì)點(diǎn)陣性能的影響較小，但截取方式2的離散計(jì)算與均勻化預(yù)測(cè)結(jié)果誤差大。原因是，截取方式2會(huì)產(chǎn)生不完整點(diǎn)陣單胞，極大的削弱點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的剛度。

3.3 不同載荷情況

改變模型的載荷及邊界條件，探究不同載荷情況下均勻化方法預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。將3.1節(jié)中計(jì)算的載荷情況視為第一種載荷條件。第二種載荷條件：底面固定，頂面上一條邊線上受到一個(gè)均布載荷。因?yàn)檫吔缧?yīng)的影響，比較位移的時(shí)候不考慮施加載荷處的位移情況，比較下一層點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和等效模型對(duì)應(yīng)位置的位移。因?yàn)檩d荷的不對(duì)稱性，同一個(gè)面上位移響應(yīng)也是不同的，所以不再對(duì)比面上的平均位移，而是比較線上平均位移，具體位置如圖4(a)所示。線上平均位移計(jì)算結(jié)果如表5所示。

圖4 載荷及邊界條件

對(duì)比表5中的數(shù)據(jù)，均勻化后實(shí)體模型與點(diǎn)陣離散模型的位移基本吻合，誤差在7%左右，相比于平壓情況誤差有所增加。在一些位移較小的地方，如表5中的X方向位移，相對(duì)誤差較大，但絕對(duì)誤差數(shù)量級(jí)一致。與表3中數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，載荷條件越復(fù)雜，漸近均勻化預(yù)測(cè)的誤差越大。

表5 側(cè)壓載荷下節(jié)點(diǎn)位移平均值

第三種載荷條件：施加一個(gè)400 ℃均勻溫度載荷。為了模擬一個(gè)自由膨脹的過程，邊界條件設(shè)置為約束底面和底面上兩邊的形式。如圖4(b)所示，約束底面Z方向的自由度，約束底面上一條X方向邊線Y方向自由度，約束底面上一條Y方向邊線X方向自由度。均勻溫度載荷下節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果如表6。表6中數(shù)據(jù)為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)頂面上所有節(jié)點(diǎn)位移平均值。

表6 均勻溫度載荷下節(jié)點(diǎn)位移平均值

從表6中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩者的相對(duì)誤差很大。但是，因?yàn)槭褂玫狞c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞在Z方向上的理論熱膨脹系數(shù)為0，Z方向位移很小。將點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞的兩種初始材料修改為AL-5A02和1Cr8Ni9，材料屬性如表1所示，獲得一個(gè)新的等效材料屬性，如表7，并進(jìn)行如圖4(b)相同的仿真分析，均勻溫度載荷下節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果如表8。

表7 單胞等效材料屬性

表8 均勻溫度載荷下節(jié)點(diǎn)位移平均值

由表8中數(shù)據(jù)可以看出，均勻化后的等效模型與點(diǎn)陣離散模型位移吻合良好。比較表6和表8中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，兩次的絕對(duì)誤差均在10-3左右。可以看出，表6中的結(jié)果因?yàn)楸旧頍崤蛎浵禂?shù)較小，導(dǎo)致的結(jié)果相對(duì)誤差較大。

3.4 不同幾何外形

本文使用的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞沿高度方向的熱膨脹系數(shù)具有可設(shè)計(jì)性，采用表2中3種單胞，填充一簡單拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖5所示。分別創(chuàng)建均勻化后的等效模型和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)離散模型，約束底面Z方向自由度、后面Y方向自由度和左端面X方向自由度，施加溫度載荷，比較兩者的位移響應(yīng)。位移計(jì)算結(jié)果如表9所示。表9中數(shù)據(jù)為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)頂面上所有節(jié)點(diǎn)位移平均值。

圖5 點(diǎn)陣填充拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表9中第一行數(shù)據(jù)中，實(shí)體模型與離散模型Z向位移相對(duì)誤差很大，與表6的情況相同，都是因?yàn)辄c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)Z方向的熱膨脹系數(shù)為0。通過對(duì)比表9中數(shù)據(jù)，均勻化后的實(shí)體模型和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)離散模型位移吻合良好。通過比較Z向位移，發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)單方向正、負(fù)熱膨脹系數(shù)的設(shè)計(jì)。

表9 均勻溫度載荷下節(jié)點(diǎn)位移平均值

4 結(jié)論

以雙材料四棱錐結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，針對(duì)一種單方向熱膨脹系數(shù)可設(shè)計(jì)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞，采用漸近均勻化方法計(jì)算點(diǎn)陣單胞的等效彈性模量和熱膨脹系數(shù)。基于此，針對(duì)不同的點(diǎn)陣填充結(jié)構(gòu)分別創(chuàng)建均勻化后等效模型和離散模型，驗(yàn)證在不同幾何、不同邊界和載荷、不同單胞數(shù)目下均勻化方法預(yù)測(cè)的等效性能的準(zhǔn)確性。獲得如下結(jié)論：

1)通過設(shè)計(jì)不同材料組合和幾何構(gòu)型，可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)熱膨脹系數(shù)由正到負(fù)的變化，并采用漸近均勻化方法驗(yàn)證等效熱膨脹系數(shù)的變化；

2)基于漸近均勻化方法計(jì)算的性能與點(diǎn)陣離散結(jié)構(gòu)的吻合情況受點(diǎn)陣單胞數(shù)量的影響，當(dāng)點(diǎn)陣單胞個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，在力載荷和溫度載荷的作用下基于均勻化和離散計(jì)算的位移吻合結(jié)果令人滿意。隨著邊界和載荷條件的復(fù)雜，相比于點(diǎn)陣離散分析結(jié)果，熱彈性漸近均勻化的計(jì)算結(jié)果誤差變大。

3)采用不同截取方式形成的單胞陣列而成的結(jié)構(gòu)，中心大部分并無不同，但結(jié)構(gòu)的邊界卻有所差異，在邊界上存在不完整點(diǎn)陣單胞，降低點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效剛度，使均勻化實(shí)體模型與離散模型在邊界上的位移計(jì)算結(jié)果相差很大。