基于滾輪式伸縮的被動激光跟蹤測量系統搭建及其誤差分析與補償

張夢華，張記云，任偉鵬，耿萬佳，婁志峰，范光照

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116000)

0 引言

在我國發展雙循環的新發展格局下，工業機器人等高端制造裝備國產化勢在必行，在各行業使用密度也逐漸增加，因此對工業機器人的空間位置精度的測量裝置的要求也不斷提高[1]。激光跟蹤儀作為一種突破測量空間局限的儀器，也逐漸廣泛應用于工業機器人精度校正中。激光跟蹤儀基于球坐標測量原理，由兩角度測量模塊組成，測量空間中兩個角度與一個斜距表示被測點空間坐標。Cotne[2]利用基于網格測量方法從多方位測量一組固定目標位置建立了激光跟蹤儀的運動學模型來校正激光跟蹤儀誤差。張亞娟[3]設計了單站式激光跟蹤儀，對影響測量精度的機械結構誤差進行了分析并提出標定的模型。ASME89.4.19[4]提出“雙面測試方法”對跟蹤儀進行精度校準，并闡述跟蹤站兩軸離軸量對測量結果的影響。激光跟蹤儀采用主動跟蹤的方式，具有復雜的跟蹤控制系統，研制成本過高。范光照[5]提出了研制被動式激光跟蹤球桿儀，本課題組設計了伸縮導軌取代了復雜的跟蹤系統，由被測目標牽引伸縮導軌實現被動跟蹤，基于多體系統誤差理論建立了被動式激光跟蹤球桿儀的誤差模型，并提出單項誤差標定方法[6-8]。但上述對被動式激光跟蹤系統的研究中，裝置伸縮部件采用層層壘疊的導軌組成，重量較大，且忽略光的偏移對系統測量精度的影響。

本文搭建了滾輪式被動激光跟蹤測量系統，采用滾輪滑軌伸縮運動方式，對目標點實現被動跟蹤測量，并對其主要誤差源進行全面的分析，分步對各誤差參數提出標定方法，最后通過比對驗證補償模型能有效提高系統空間定位精度。

1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統測量原理及誤差補償模型

1.1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統測量原理及坐標系的建立

本文提出的滾輪式被動激光跟蹤測量系統，包括精密二維轉臺、滾輪滑軌伸縮機構、光柵測距裝置以及滾輪滑軌直線度測量模塊。精密二維轉臺兩軸正交，滾輪滑軌伸縮機構通過轉臺兩軸交點。如圖1所示，此裝置基于球坐標測量原理，采集精密二維轉臺俯仰軸、方位軸兩角度編碼器得到兩角度位置信息，滾輪滑軌進行徑向伸縮運動時采集貼于滾輪滑軌側面的光柵尺(雷尼紹RGH24)得出長度位置信息，增加一束通過轉臺兩軸交點的基準光(光軸)配合伸縮滑軌末端的光電位置傳感器輸出伸縮機構運動直線度誤差。當測量目標點的位置時，滾輪滑軌末端的標準鋼球吸附于被測物體上，當被測物運動時，帶動標準鋼球向俯仰、方位以及徑向伸縮運動，標準鋼球球心在三維球坐標系統中的坐標位置可表示目標點的位置。本文采用滾輪滑軌的伸縮運動方式，運動平滑，滑桿為碳纖維材料，重量小。采用光柵測距模塊測量滾輪滑軌徑向伸縮長度，簡化了結構，成本較低，經濟效益高。

基于多體系統誤差理論對系統誤差建模，首先需建立滾輪式被動激光跟蹤測量系統的坐標系。滾輪式被動激光跟蹤測量系統可由基座、方位軸、俯仰軸、滾輪滑軌伸縮機構四體連接組成，如圖1所示建立坐標系，以方位軸為Z軸，方向背離地面向上，以方位角為0°時的俯仰軸的理論位置為X軸，通過右手定則確定Y軸，三軸交點即為原點。假設標準球球心在系統球坐標中位置為(φ,θ,R)，將其轉換到笛卡爾直角坐標系中，則標準球球心在笛卡爾坐標系中的位置如式(1)：

圖1 滾輪式被動激光跟蹤測量系統測量原理圖

(1)

1.2 滾輪式被動激光跟蹤測量系統主要誤差源分析

裝置各零部件存在制造、裝配誤差，分析其主要誤差源，如圖2所示，主要存在方位軸與俯仰軸的離軸量Δy，不垂直度α；光軸與俯仰軸離軸量Δz、不垂直度β；光軸與方位軸離軸量Δx。另外由于滾輪滑軌變形使滑軌運動過程中存在X、Z兩方向的直線度誤差δx、δz。

圖2 滾輪式被動激光跟蹤測量系統軸系幾何誤差

1.3 滾輪式被動激光跟蹤測量系統誤差補償模型

滾輪式被動激光跟蹤測量系統工作過程可看成方位軸繞基座旋轉φ，接著方位轉臺上部的俯仰軸旋轉θ，最后與俯仰轉臺連接的伸縮滑軌徑向移動R，即理想情況下，基座坐標系繞Z軸旋轉φ，再繞X軸旋轉θ，最后沿Y軸平移R到滾輪滑軌標準鋼球坐標系中。其中R由伸縮滑軌結構基長R0與光柵尺Ra讀數相加。由多體系統誤差建模理論[9]可知，在此運動過程中滾輪滑軌末端即標準球球心坐標系到基座坐標系的理想轉換矩陣如下：

(2)

當僅考慮上節所述靜態幾何誤差時，誤差矩陣如下：

(3)

設標準球球頭中心在基座坐標系中實際坐標為P03=[XPYPZP1]，在球頭坐標系中的坐標為TP=[0 0 0 1],則標準球球心在基座坐標系中實際坐標為：

P03=T01E01T12E12T23E23TP

(4)

由于誤差值較小，將兩個及兩個以上誤差項乘積忽略，則系統標準球球心在基座坐標系中實際坐標為：

(5)

2 誤差模型參數的測量

2.1 Δy測量

測量方位軸與俯仰軸離軸量Δy時，在俯仰轉臺側面放置一平面反射鏡，萬分表垂直接觸鏡面，在平面鏡繞俯仰軸與方位軸旋轉180°前后位置記錄萬分表示數變化，變化量即為方位軸與俯仰軸離軸量Δy的二倍。測量裝置如圖3所示，為減小平面鏡安裝姿態對測量結果的影響，測量前需調整平面鏡使與通過方位軸以及旋轉軸的平面平行，如圖3(a)使用高精度光電自準直儀對準平面鏡，調整平面鏡姿態使繞方位軸以及俯仰軸旋轉180°前后光電自準直儀讀數不變，即可認為平面鏡平行于方位軸以及俯仰軸。如圖3(b),接著萬分表垂直接觸鏡面，記錄此時萬分表讀數，然后俯仰軸以及方位軸準確旋轉180°(測角誤差校正后)后記錄萬分表讀數，兩次讀數差即為離軸量Δy的二倍。測量數據如表1所示，5次測量數據取平均得Δy=102.9 μm。

圖3 Δy測量原理圖

表1 Δy測量結果

2.2 α測量

如圖4所示為方位軸與俯仰軸不垂直度α標定原理裝置圖，兩面平面反射鏡鏡面垂直放置于俯仰軸兩端。首先調整兩面平面反射鏡使鏡面垂直與俯仰軸，利用高精度光電自準直儀照射鏡面，調整平面反射鏡姿態使其繞俯仰軸旋轉一周內光電自準直儀讀數不變，即可說明此平面反射鏡與俯仰軸垂直，同理調整另一側平面反射鏡。然后保證調整后的平面反射鏡姿態不變，使其繞方位軸準確旋轉180度，記錄旋轉前后高精度光電自準直儀示數差，即為方位軸與俯仰軸不垂直度α的兩倍。測量數據如表2所示，5次測量數據取平均得垂直度α為91.9″。

圖4 α測量原理圖

表2 α測量數據圖

2.3 δx、δz的測量

滾輪滑軌徑向伸縮運動時，由于滑輪與滑桿之間間隙以及滑桿自重的影響使伸縮機構運動過程中在二維平面內產生晃動，因此增加一束基準光(光軸)，光軸理論上通過俯仰軸與水平軸軸心，并通過牽引桿內照射到安裝于伸縮滑軌末端的PSD上。當伸縮機構做徑向伸縮運動時在二維平面內產生晃動時，以光軸為基準，兩方向的偏差δx、δz可由PSD光電位置傳感器讀出，從而得出滾輪滑軌機構運動直線度并進行補償。

2.4 R0、Δx及Δz的辨識

2.4.1 R0、Δx及Δz的辨識原理

滾輪滑軌結構初始長度即基長R0定義為：標準球球心到光軸出射點的最短距離。光柵測距裝置測量的為相對位移，而滾輪滑軌伸縮機構絕對長度為俯仰軸與方位軸軸心到標準球球心的距離，即絕對長度等于初始長度R0與光柵尺讀數的相對位移之和。

圖5 R0、Δx及Δz的辨識原理圖

如圖5所示，高精度二維線性模組兩軸正交，以辨識R0、Δz為例，由高精度二維線性模組帶動裝置僅沿豎直方向移動，設實際光軸與理想光軸存在偏差Δz即OF0，在高精度二維線性模組豎直運動方向上確定一初始位置，由于確定的初值位置伸縮滑軌伸出長度較短，可忽略伸縮滑軌變形，認為伸縮滑軌結構F0M0與光軸F0G0位于同一直線；當線性模組帶動標準鋼球沿豎直軸運動H時，伸縮滑軌繞O點轉動θ，此時光軸運動至F1G1，由于伸縮滑軌伸長較長，存在變形，所以標準球頭運動至M1，則M0M1=H，設初始位置與水平面存在夾角ε，則由幾何位置關系解三角形OK0K1可得：

H={(R0+R1+Δztanε)2+

(6)

2.4.2 R0、Δz的標定實驗

如圖6所示，實驗過程中，首先調整高精度二維線性模組豎直軸與水平軸垂直；其次調整轉臺基座底部旋鈕使線性模組帶動裝置沿水平軸運動過程中二維轉臺俯仰角度示數不變，即可說明轉臺方位軸與線性模組豎直軸平行；接著在伸縮滑軌伸出長度最短處對光柵尺清零；然后運動至初始位置M0，記錄二維轉臺俯仰角讀數θ，已知光柵尺讀數R1=0.037 mm；最后由線性模組帶動標準鋼球沿豎直軸從初始位置開始以間隔10 mm采集各點數據直至運動到線性模組豎直軸坐標150 mm處。記錄豎直方向運動距離H、光柵尺讀數R2、PSD示數z向變化量δz以及俯仰角度變化量θ。如表3，由多組離散數據根據式(6)進行最小二乘擬合得到：R0=1002.1510 mm，Δx=-0.7091 mm。

圖6 測量實物圖

表3 R0、Δz擬合數據表

2.4.3Δx的標定實驗

光軸與方位軸離軸量Δx的辨識與Δz辨識同理，只需使線性模組帶動標準鋼球沿水平軸運動即可。幾何關系表達式為：

(7)

線性模組帶動標準鋼球沿水平軸從初始位置開始以間隔10 mm采集各點數據直至運動到線性模組水平軸坐標150 mm處,記錄水平方向運動距離H、光柵尺讀數R2、PSD示數x向變化量δx以及方位角度變化量φ，已知R0=1002.151 mm，如表4所示由多組離散數據利用式(7)進行最小二乘擬合，得到：Δx=-0.7544 mm。

表4 Δx擬合數據表

2.5 β的辨識

2.5.1β的辨識原理

由于系統存在俯仰軸與方位軸之間的不垂直誤差α、俯仰軸與光軸之間的不垂直誤差β、滾輪滑軌直線度誤差δx，使測量時方位角φ產生誤差，如圖7、圖8所示，當線性模組帶動標準鋼球俯仰角度轉過θ時，由于上述三項誤差的存在，方位測角變化量為：

圖7 α、β與Δφ的幾何關系圖

圖8 δx與Δφ的幾何關系圖

Δφ=-arctan(sinαtanθ)+arcsin(sinβsecθ)+

(8)

2.5.2 β標定實驗

與(2.4.2)R0、Δz的實驗過程相同，線性模組豎直軸帶動標準鋼球從初始位置沿豎直方向以10 mm為間隔向上運動，每運動一次分別記錄轉臺方位角變化量Δφ、俯仰角度變化量θ、PSD示數X向變化量δx、光柵尺示數Ra。已知R0=1002.1510 mm，α=91.9″，多組離散數據通過式(8)進行最小二乘擬合，擬合結果為：β=-21.6″。

表5 β擬合數據表

3 誤差模型補償比對驗證

3.1 坐標轉換

已知對于空間中兩不同坐標系之間的復合轉換，可以將其旋轉與平移運動轉換統一表示成4×4的齊次坐標轉換矩陣。而由于不同設備具有不同的坐標系，對于空間內一點在不同的坐標系下具有不同的坐標。當一點在空間內運動時，不同的坐標系下也具有不同的軌跡方程，因此需統一坐標系。下邊簡要介紹空間內一點在兩坐標系之間的坐標轉換。當空間內一點在坐標系C中的坐標為(Xc，Yc，Zc),在坐標系D的坐標中(Xd，Yd，Zd),記坐標系D的原點在坐標系C中的坐標為L(3×1列向量)，由坐標系D的X、Y、Z三軸在坐標系C中的單位方向向量組成姿態矩陣R(3×3階)，則有：

(9)

根據矩陣求逆運算規則，則：

(10)

3.2 比對實驗

(11)

由于線性模組水平軸與豎直軸上測量點由跟蹤測量系統三維坐標決定，因此驗證滾輪式被動激光跟蹤測量系統的空間定位精度時應同時考慮其X、Y、Z三方向的偏移量，即空間定位精度ΔL為：

(12)

由圖9可知，測量線性模組X軸時，補償前后滾輪式被動激光跟蹤測量系統空間定位精度由585 μm提高到149 μm。由圖10可知，測量線性模組Y軸時，補償前后滾輪式被動激光跟蹤測量系統空間定位精度由686 μm提高到152 μm。有效的補償了滾輪式被動激光跟蹤測量系統的誤差。

圖9 沿線性模組X軸運動空間定位精度

圖10 沿線性模組Y軸運動空間定位精度

4 結束語

本文基于球坐標測量原理搭建了一臺滾輪式被動激光跟蹤測量系統，并對其進行了全面的幾何誤差分析，接著基于多體系統誤差理論進行誤差建模。然后對所有誤差參數進行測量或辨識。最后與高精度二維線性模組進行單軸空間精度比對驗證。本文有以下結論：

1)本文搭建的滾輪式被動激光跟蹤測量系統，采用滾輪滑軌的形式實現伸縮運動；采用光柵測距的方式實現徑向伸縮長度測量。全面分析系統主要誤差源，并基于多體系統誤差理論進行誤差建模。

2)搭建了俯仰軸與方位軸的離軸量Δy、不垂直度α的標定裝置，測得離軸量Δy=102.9 μm，α=91.9″。并利用高精度二維線性模組標定出R0=1002.1510 mm，光軸與俯仰軸的離軸量Δz=-0.7091 mm、不垂直度β=-21.6″，光軸與方位軸的離軸量Δx=-0.7544 mm。

3)將滾輪式被動激光跟蹤測量系統與高精度線性模組坐標系統一后進行精度比對，結果表明沿線性模組豎直方向運動空間定位精度由585 μm提高到149 μm，水平方向空間定位精度由686 μm提高到152 μm。提高了其空間定位精度。