食餌具有非線性收獲率的捕食系統的穩定性

馮 倩， 張 睿

(蘭州交通大學 數理學院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

十九世紀二十年代，美國生態學家Lotka[1]和意大利數學家Volterra[2]提出了捕食者-食餌模型(Lotka-Volterra模型)，其形式為：

(1)

其中，x(t)和y(t)表示食餌和捕食者的種群密度，a表示食餌的內稟增長率，b表示捕食者掠食食餌的能力，c表示食餌對捕食者的供養能力，k表示捕食者的死亡率.

此后，國內外許多學者對系統(1)進行改進并作出了更加廣泛的研究，其中收獲率是影響種群系統的一個重要因素，學者們不但要考慮如何使生物資源盡可能大的滿足人類生活需求，還要考慮怎么讓生物種群保持可持續發展.因此，對具有收獲率的捕食系統的研究是極其重要的.1981年Brauer等[3]研究了一類帶有常數收獲率的捕食者-食餌模型，討論了平衡點和極限環的存在性.1986年，梁肇軍[4]討論了食餌種群具有常數收獲率的Volterra模型：

(2)

其中，a10表示食餌的內稟增長率，a12表示捕食者掠食食餌的能力，a21表示食餌對捕食者的供養能力，a20表示捕食者的死亡率，a11和a22分別表示x和y的種內作用系數，h表示食餌的常數收獲率.a10，a11，a12，a20，a21，a22均為正常數.文獻[4]討論了系統(2)平衡點的類型、平衡點的穩定性和極限環的存在性.

具有線性收獲率的捕食系統也被學者們廣泛關注，并作出進一步的研究[5-7].敬石心等[8]討論了具有線性收獲率和擴散因素的捕食者-食餌模型：

(3)

其中，b，b1，b2，a21，a12均大于零，E為捕獲努力量，種群x1，x2在同一斑塊Ⅰ中，y1種群限制在斑塊Ⅱ中，x1種群可以在兩個斑塊間擴散，擴散率為D1，D2.文獻[8]討論了收獲和擴……