用“生長(zhǎng)型”理念架構(gòu)專題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐探索
——以“與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題”為例

■陸紅力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。”這就要求我們?cè)谠O(shè)計(jì)課堂活動(dòng)時(shí)，要圍繞知識(shí)主干尋求思維載體，設(shè)計(jì)積極的、有效的思維活動(dòng)。前不久，筆者聽(tīng)了兩節(jié)“與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題”的復(fù)習(xí)課，很有感觸。下面以此課題為例，圍繞“生長(zhǎng)型”理念，將個(gè)人的一些思考進(jìn)行闡述。

一、課題分析

1.教學(xué)目標(biāo)分析。

（1）掌握反比例函數(shù)表達(dá)式中比例系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的基本圖形以及解決與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題的方法。

（2）通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力；通過(guò)圖形變式提升學(xué)生的觀察能力；通過(guò)一題多解、一題多變培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理的能力，滲透數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

（3）通過(guò)對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題的自主探究、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作、創(chuàng)新、自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性發(fā)展。

2.教學(xué)內(nèi)容分析。

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第11 章“反比例函數(shù)”的專題復(fù)習(xí)課，屬于“數(shù)與代數(shù)”的范疇，是反比例函數(shù)知識(shí)的拓展與延伸，也是后面解決函數(shù)與面積問(wèn)題的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課從某種意義上起到了承上啟下的作用。該內(nèi)容對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，形成數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)有著重要的作用。基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用反比例函數(shù)表達(dá)式中比例系數(shù)k的幾何意義解決有關(guān)面積問(wèn)題。

3.學(xué)情分析。

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題”和“反比例函數(shù)”等知識(shí)，積累了一定的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，有一定的聯(lián)想、探究能力。但學(xué)生對(duì)于解決較復(fù)雜的圖形或位置不特殊的圖形的面積有一定的困難，因此，可以將解決較復(fù)雜的圖形或位置不特殊的圖形的面積問(wèn)題確定為本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)。

4.教學(xué)方法。

本節(jié)課面向全體學(xué)生，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)設(shè)計(jì)一系列直指問(wèn)題本質(zhì)的問(wèn)題串，找準(zhǔn)生長(zhǎng)路徑，從不同方向?qū)⑺獜?fù)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)整合與創(chuàng)新應(yīng)用。因此，課堂教學(xué)中所采用的教學(xué)方法以啟發(fā)法、談話法、討論法、練習(xí)法為主。

二、“生長(zhǎng)型”理念下的價(jià)值判斷

“生長(zhǎng)型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課的情懷源于生命，立意基于生長(zhǎng)，本質(zhì)體現(xiàn)發(fā)展，它的價(jià)值就在于尊重生命，放飛思維，收獲素養(yǎng)。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，不僅僅是多講幾道題，讓學(xué)生多做幾道練習(xí)，而是要更多地考慮學(xué)生的主動(dòng)參與、自主探究、情感向往，要以學(xué)生的發(fā)展為目的。教師可以選取與教學(xué)內(nèi)容相近或相鄰的知識(shí)，選準(zhǔn)一條復(fù)習(xí)的主干，采用“變式圖形”的生長(zhǎng)路徑，用這一新視角將教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合、整體構(gòu)建；可以選擇動(dòng)態(tài)性材料，引導(dǎo)學(xué)生從思考靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)問(wèn)題，發(fā)散學(xué)生的思維；還可以設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生結(jié)合自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)編制不同的問(wèn)題，提高學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中又一次成長(zhǎng)。

三、價(jià)值判斷下的活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：模型建構(gòu)。

圖1

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)的求法和用坐標(biāo)求矩形面積的方法，為本節(jié)課的探究教學(xué)提供了基礎(chǔ)和有效的教學(xué)資源。

預(yù)設(shè)生成：這是本節(jié)課的起點(diǎn)，起點(diǎn)很低，絕大部分學(xué)生都能解答。

設(shè)計(jì)意圖：由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，由特殊到一般，體會(huì)用字母代替數(shù)值的方法，感受解題方法與結(jié)論的不變性。

預(yù)設(shè)生成：如果學(xué)生說(shuō)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，

問(wèn)題3：如圖2，在問(wèn)題2 的條件下，若將點(diǎn)C移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求此時(shí)△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行特殊化處理，形成如圖2所示的三角形，此類三角形也是反比例函數(shù)中常見(jiàn)的具有面積不變性的圖形。以上問(wèn)題的設(shè)計(jì)，一方面是讓學(xué)生了解圖形的變式過(guò)程，另一方面是加深學(xué)生對(duì)這個(gè)特殊圖形的認(rèn)識(shí)。學(xué)生不但要認(rèn)識(shí)它的特殊性，還要認(rèn)識(shí)它的用處。教師教學(xué)時(shí)可與問(wèn)題1中的矩形一起作為基本圖形。

活動(dòng)2：模型應(yīng)用。

問(wèn)題4：如圖3，若點(diǎn)C在y軸上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，△ABC的面積會(huì)發(fā)生改變嗎？

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：圖形由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)發(fā)展，更利于揭示問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)特殊到一般的轉(zhuǎn)化，感受圖形與圖形之間的神奇變化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

預(yù)設(shè)生成：當(dāng)點(diǎn)C在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)△ABC的底AB與AB邊上的高都保持不變，所以△ABC的面積保持不變，始終與△ABO的面積相等，為

設(shè)計(jì)意圖：隨著點(diǎn)B位置的變化，圖形也發(fā)生了改變，但是轉(zhuǎn)化為基本圖形的思想方法不變，此設(shè)計(jì)進(jìn)一步提升學(xué)生的化歸能力。

圖4

圖5

問(wèn)題6：請(qǐng)同學(xué)們?cè)俑淖凕c(diǎn)B的位置，提出一個(gè)與面積有關(guān)的問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，把所要研究的圖形串聯(lián)起來(lái)，一方面省時(shí)省力，另一方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

預(yù)設(shè)生成：這個(gè)環(huán)節(jié)，要給予學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生創(chuàng)造性地重新設(shè)計(jì)問(wèn)題，感受學(xué)生的智慧，體會(huì)意外的驚喜。學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生如下想法。

圖6

圖7

想法2：如圖7，將問(wèn)題3中的“AB⊥x軸”換成“△AOB為等腰三角形”，求△ABC的面積。

活動(dòng)3：拓展延伸。

設(shè)計(jì)意圖：這是一道與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題的逆向問(wèn)題，通過(guò)綜合運(yùn)用割補(bǔ)法以及利用反比例函數(shù)中的基本圖形的面積公式求圖形面積的方法，一題多解，培養(yǎng)了學(xué)生的求異思維。

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能會(huì)有以下幾種不同的解法。如果方法不全，教師可設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)。解題結(jié)束后總結(jié)歸納，揭示方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)對(duì)圖形進(jìn)行拆分，找到基本圖形，讓學(xué)生整體上掌握解決這些問(wèn)題的策略。

圖9

圖10

學(xué)生在解決問(wèn)題后，教師要加以引導(dǎo)，歸納解法，揭示本質(zhì)。

四、活動(dòng)設(shè)計(jì)下的教學(xué)思考

1.把握數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷實(shí)踐的過(guò)程，在課堂實(shí)踐過(guò)程中，對(duì)學(xué)生開(kāi)展有價(jià)值的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是這樣的：學(xué)生在實(shí)踐中不斷形成并積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于“生長(zhǎng)型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課，教師應(yīng)在相近或相鄰的知識(shí)銜接點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)上開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，不斷讓學(xué)生在活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，以此來(lái)增強(qiáng)學(xué)生觀察事物、探究規(guī)律和解決問(wèn)題的能力。

本節(jié)課所承載的教學(xué)價(jià)值絕不是讓學(xué)生完成各種情境下與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題的解答。教師不應(yīng)在學(xué)生面前呈現(xiàn)靜態(tài)的情境，讓學(xué)生在一系列不同的情境中茫然且機(jī)械地完成解答。因此，本課例創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，將特殊點(diǎn)變?yōu)橐话泓c(diǎn)，讓定點(diǎn)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)，通過(guò)一系列的變式圖形引出新問(wèn)題，讓學(xué)生面對(duì)問(wèn)題自然地做出選擇，不斷地優(yōu)化自己的想法與做法，在思維過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，增長(zhǎng)智慧，實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值。

2.凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過(guò)自身的實(shí)踐和認(rèn)知活動(dòng)所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學(xué)品質(zhì)和解決問(wèn)題能力的總和。生長(zhǎng)理念不僅僅在于讓學(xué)生獲得一些數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更在于讓學(xué)生通過(guò)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)含的智力價(jià)值和精神價(jià)值，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，開(kāi)展“生長(zhǎng)型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手。

本課例中，教師要關(guān)注并挖掘教學(xué)資源，不斷改變認(rèn)識(shí)的對(duì)象，讓學(xué)生觀察這些圖形的特征，研究圖形的結(jié)構(gòu)，從宏觀到微觀、從整體到局部，來(lái)認(rèn)識(shí)基本圖形的本質(zhì)屬性。教師適時(shí)進(jìn)行方法性指導(dǎo)，通過(guò)整體轉(zhuǎn)化或割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的觀察力。課例中設(shè)計(jì)的開(kāi)放性問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題的能力、自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力以及創(chuàng)新意識(shí)。這些都是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。

3.關(guān)注學(xué)生生命發(fā)展。

用“生長(zhǎng)型”理念架構(gòu)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，是關(guān)注人的生命成長(zhǎng)的過(guò)程，是將知識(shí)生長(zhǎng)與人的生命成長(zhǎng)協(xié)同發(fā)展的教學(xué)理念的具體體現(xiàn)，也是彰顯個(gè)性發(fā)展的過(guò)程，更是體悟知識(shí)生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)的過(guò)程。

本課例從知識(shí)體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)上把握與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，選準(zhǔn)問(wèn)題的起點(diǎn)與終點(diǎn)，通過(guò)變式圖形凸顯生長(zhǎng)過(guò)程，讓這些常見(jiàn)又有用的圖形，沒(méi)有遺憾地、全景式地暴露在學(xué)生的視野中。更重要的是，這些變式圖形是學(xué)生通過(guò)強(qiáng)化條件或弱化條件得來(lái)的，這是更高層次的思維方法，是無(wú)法通過(guò)解決一兩道習(xí)題所能達(dá)到的。這樣的教育是促進(jìn)學(xué)生全面成長(zhǎng)、個(gè)性成長(zhǎng)的過(guò)程，是教育的終極目標(biāo)。