基于非正交波形的超奈奎斯特采樣*

馬 冰 ，白 勇

(1.海南政法職業學院，海南 海口 571100；2.海南大學 信息與通信工程學院，海南 海口 570228)

0 引言

頻譜資源緊張是目前的無線和有線通信技術面臨的主要挑戰之一。特別是在未來6G 傳輸系統，用戶需求和移動終端的不斷增長，人們對頻譜效率的要求越來越高。在未來萬物互聯的時代，亟需新的物理層技術來提高頻譜效率。超奈奎斯特(Faster-Than-Nyquist，FTN)傳輸通過壓縮相鄰脈沖之間的發送間隔來提高頻譜效率。FTN傳輸技術是Mazo 則在1975 年首次提出的[1-2]。Liveris 等第二次發現FTN[3]并提出了較為實用的FTN 方案，利用升余弦脈沖替代sinc 脈沖[2]。Rusek 等將Mazo 限從時域的FTN 推廣到時頻二維的FTN，提出了多載波的FTN[4-5]。FTN 在過去的幾十年內得到了快速的發展，已成為提高頻譜效率的重要技術，廣泛應用于5G 蜂窩微波無線回程[6]、beyond 5G 無線通信[7]、可見光通信[8]、光纖通信和衛星通信。但是，升余弦等傳統的正交波形的時頻聚集特性較差，拖尾衰減慢，導致接收端的最大后驗概率(Maximum A Posteriori，MAP)均衡復雜度一般也較高，這導致正交波形不能很好適應FTN 傳輸。因此，本文研究了基于非正交波形的FTN 新技術。

在FTN 系統中，波形條件可以放寬，選擇適合FTN傳輸的新波形。現在關于FTN 的研究大都是基于復數域正交的成形脈沖，例如sinc 脈沖、升余弦脈沖。復數域非正交脈沖波形的能量聚集特性好，拖尾衰減快，接收端的均衡復雜度一般較低，比較適合FTN 傳輸。常見的復數域非正交的脈沖有：擴展高斯脈沖(Extended Gaussian Functions，EGF)脈沖[9-10]、全向正交變換算法(Isotropic Orthogonal Transform Algorithm，IOTA)脈沖、高斯脈沖等。IOTA 脈沖是EG 脈沖的特例。在FTN 均衡方面，本文采用Ungerboeck 模型[11-12]替換了傳統的Forney 模型[13]。

本文的主要貢獻是用非正交的新波形替換傳統FTN中的正交波形，研究了基于非正交波形的FTN 編碼調制新技術。對于單載波FTN，由于非正交波形具有良好的時域聚集特性，因此其對應的FTN 均衡在保證誤碼性能的前提下能夠大幅度降低復雜度。

1 超奈奎斯特系統模型

1.1 發送端模型

單載波FTN 發送端模型如圖1 所示。信源un經過信道編碼、交織、星座映射得到星座點符號an。an經過FTN 調制得到發送信號sa(t)，即：

圖1 超奈奎斯特發送端模型

其中，τ 表示FTN 系統的壓縮因子，Ts表示Nyquist 符號周期，p(t)表示成形脈沖，N表示符號個數。τ改變了 相鄰成形脈沖之間的發送間隔即改變了符號周期。當τ<1時，在相同時間段內發射機可以發送更多的成形脈沖。

發送信號sa(t)對應的功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)[14]為：

1.2 接收端模型

接收信號r(t)=sa(t)+n(t)，其中n(t)表示白噪聲過程。接收信號在t=kτTs時刻進行采樣，則接收信號的第k 個采樣值為：

最優性能的接收機即如圖2 所示的Turbo 迭代接收機。由于系數{pl}具有對稱特性，擯棄傳統的Forney 模型[13]對應的MAP 算法，采用Ungerboeck 模型[11-12]對應的MAP 算法，其轉移概率為：

圖2 超奈奎斯特的均衡示意圖

2 成形脈沖

在FTN 系統設計中，將成形脈沖因素考慮進來。

2.1 復數域非正交成形脈沖

其中，β表示滾降因子。圖3 中“Rcos”代 表升余弦成形脈沖的波形。

圖3 升余弦、高斯、EGF 的時域波形對比

其中，σ 表征 能量分 布因子，σ>0。EGF 成形脈 沖[13-14]pE(t)為：

2.2 功率帶寬與干擾強度

當對成形脈沖進行±ζTs的截斷時，脈沖時域的截斷必然導致脈沖的頻譜展寬。本文用功率帶寬替代傳統的絕對帶寬。國際電信聯盟在ITU-R SM.1541-3 中定義了99.5%功率帶寬。為留出更多的余量，本文采用99.99%功率帶寬。在后續的分析中ζ=3，Ts=1。高斯脈沖(σ=0.56)、EGF 脈沖(σ=0.56，υ0=0.707)、升余弦脈沖(β=0.3)具有近似相等的99.99%功率帶寬W 如表1 所示，表中“×2”表示雙邊帶。定義干噪比[15](Interference-to-Noise Rate，INR)：

表1 成形脈沖的99.99%功率帶寬

定義干擾強度因子[15]：

當γ>1，FTN 經歷強干擾。FTN 系統經歷的干擾隨著τ 的減小而增大。當τ≤0.46 時，3 種成形脈沖對應的FTN 系統都將經歷強干擾。

3 仿真結果分析

式(4)中的MAP 均衡的復雜度為O(ML)。為了提升頻譜效率，需要減小τ，對應的L 也將增大。L 較大導致MAP均衡復雜度太高。在復雜度和誤碼性能都在可接受的范圍內，FTN 均衡實際采用L′個抽頭，均衡復雜度為O(ML′)，且L′≤L。

3.1 相同波形的超奈奎斯特性能比較

仿真參數如下：τ=0.6，1/2 碼率的(7，5)8卷積碼，調制階數為4。兩種成形脈沖在不同抽頭個數對應的誤碼性能如圖4、圖5 所示。在圖中，C4 表示L′=4，其他標識類推；ID1 和ID5 表示迭代次數分別為1 和5。

圖5 實際抽頭個數L′對均衡的性能的影響(EGF)

在圖4 中，對于升余弦脈沖，當迭代次數為5 時，L′=6 和L′=3 對應的誤碼性能相差1 dB；L′=6 和L′=4 的誤碼性能相差0.3dB。L′=4 的MAP均衡，在大幅度降低復雜度的同時，誤碼性能損失很小。當不進行迭代時，降低抽頭個數對誤碼性能影響較大，最大有4 dB 差異。

圖4 實際抽頭個數L′對均衡的性能的影響(升余弦)

在圖5 中，對 于EGF脈沖，5 次迭代，L′=2 和L′=4對應的誤碼性能相當。不迭代時，誤碼性能為10-5時，L′=2 和L′=4 對應的信噪比相差大約0.8 dB。

抽頭數L′在保證誤碼性能同時大幅度降低均衡復雜度。減小抽頭個數，則式(3)變為：

其中，M

其中，Ps表示發送信號的功率。根據上述分析可以看出，忽略抽頭就是將干擾視作噪聲。這將導致信噪比降低，降低的百分比為：

可以看出，當抽頭pl數值較小和信噪比較高時，抽頭降低的信噪比可以忽略不計。

對于同一種成形脈沖，以高斯脈沖為例，隨著τ 減小，干擾將逐漸增大，干擾從弱干擾過度到強干擾。如圖6 所示，τ=0.4 時，系統經歷強干擾。誤比特性能為10-5時，與較弱干擾時(τ=0.5～0.9)FTN 系統的誤碼性能相比，強干擾的FTN 系統的誤碼性能有4.5 dB 的損失。當系統經歷強干擾時，需要尋找更強的信道編碼增強系統的抗干擾性能。

圖6 基于高斯脈沖的系統誤碼性能

3.2 不同波形的超奈奎斯特性能比較

選擇99.99%功率帶寬近似相等的波形，如表1 所示。基于3 種成形脈沖的FTN 編碼調制性能如圖7 所示，其對應的星座映射為4QAM。在高信噪比下，EGF、高斯成形脈沖相比于升余弦成形脈沖能夠帶來顯著的性能增益。當干擾為非強干擾時，以τ=0.6 為例，當誤碼率為10-5時，EGF、高斯成形脈沖相比于升余弦成型分別有1.9 dB 和1.6 dB 的性能增益。而此時基于EGF、高斯成形脈沖的均衡復雜度(O(42))是基于升余弦脈沖均衡復雜度(O(44))的1/16。當干擾為強干擾時，以τ=0.4 為例，當誤碼率為10-5時，EGF、高斯成形脈沖相比于升余弦成形分別有4 dB 和3.5 dB 性能增益。而此時基于EGF、高斯成形脈沖的均衡復雜度(O(5×43))是基于升余弦脈沖均衡復雜度(O(20×45))的1/64。可見，選擇合適的非正交成形脈沖，不僅能夠顯著減少干擾對系統誤碼性能的影響，而且能夠明顯降低譯碼復雜度。τ 從0.6 減小至0.4 時，FTN 系統的干擾因子γ 從0.58 增大至1.4，此時非正交成形脈沖相比于正交脈沖之間的信噪比增益越大。

圖7 3 種波形下的FTN 性能(τ=0.6，0.4)

4 結論

本文研究了基于非正交的高斯和擴展高斯(EGF)脈沖成形的FTN 編碼調制新技術，并與傳統的正交波形FTN 進行了對比分析。當τ=0.4 時，在誤碼率為10-5條件下，基于EGF 和高斯成形脈沖的新技術相比于傳統升余弦的FTN 技術分別有4 dB 和3.5 dB 的成形增益。由于非正交波形具有良好的時域聚集特性，時域抽頭數少，新技術的MAP 均衡復雜度大大減少，可比升余弦FTN 有一個數量級意義上的降低。