巧用“粗”直線解決一類零點個數問題

[摘? 要] 文章研究了夾在兩條直線之間的條形區域表示的“粗”直線在解決交點（零點或解）的個數問題上的應用，并在此基礎上鍛煉學生的創造性思維.

[關鍵詞] “粗”直線;條形區域;零點個數

有道小學趣味題：畫一條直線，把圖形（如圖1）分成兩個三角形.

答案出乎意料，是畫一條很粗的直線（如圖2）. 結果似乎很滑稽，與其說是數學題，不如說是腦筋急轉彎，但想法確實很新奇，突破了思維定式.

其實在平時教學中經常會遇到一些所謂的“粗”直線，本文通過研究教學過程中遇到的類似問題來一起感受“粗”直線的魅力！

例1：若不等式0≤x2-ax+a≤1有唯一解，則a的值為________.

表面上平淡無奇，不過就是兩個一元二次不等式的交集問題，實際上仔細思考，此題可以化歸為一條“粗”直線0≤y≤1和函數y=x2-ax+a的交點個數問題. 當“粗”直線的上沿與二次函數相切時，恰有一個交點，即不等式有唯一解. 如圖3所示.

略解：x2-ax+a=1有且只有一個根，x2-ax+a-1=0，Δ=a2-4（a-1）=0，解得a=2.

例2：（2011江蘇卷第14題）設集合A=

（x，y）

≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R

，B={（x，y）

2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實數m的取值范圍是____.

為保證A∩B≠，則首先保證A和B都不空，集合A中≤m2，則m≤0或m≥，集合B不空.

通過分析，可以發現集合B表示夾在直線l：x+y=2m+1和直線l：x+y=2m之間的條形區域，它的圖像可以看成是一條“粗”直線.

下面就m≤0或m≥分兩種情況來觀察：

①m≥，集合A中的不等式表示的圖像可以看成是一個圓環，如圖4;

②m≤0，集合A中的不等式表示的圖像可以看成是一個圓面，如圖5.

因為A∩B≠，所以無論是圓環或是圓面，都只需要保證：

圓心到“粗”直線的上沿y=-x+2m+1的距離d≤大圓半徑

m

;

或圓心到“粗”直線的下沿y=-x+2m的距離d≤大圓半徑

m

.

因為d=≤

m

或d=≤

m

，所以2m2-4m+1≤0或m2-4m+2≤0，所以1-≤m≤1+或2-≤m≤2+（特別注意：并集），所以1-≤m≤2+. 又因為m≤0或m≥，所以≤m≤2+.

通過上述例題，我們發現，關于“粗”直線的基本形態實際為夾在兩條直線之間的條形區域，表達形式形如：m≤ax+by≤n等.

例3：（2018南京三模第14題）已知a，b∈R，e為自然對數的底數，若存在b∈[-3e，-e2]，使得函數f（x）=ex-ax-b在[1，3]上存在零點，則a的取值范圍為________.

分析：首先我們把本題分解成以下幾點來思考：

①函數f（x）=ex-ax-b在[1，3]上存在零點，可以看成ex-ax-b=0在[1，3]上有解，即ex=ax+b在[1，3]上有解，也即y=ex和y=ax+b有交點;

②y=ex在[1，3]上的圖像沒問題;

③y=ax+b隨b的變化圖像為夾在y=ax-e2和y=ax-3e之間的帶形區域：e2≤ax-y≤3e，即一條“粗”直線;

④存在b∈[-3e，-e2]即這條“粗”直線中的有一條直線和y=ex有交點即可.

顯然，當a<0時，不滿足題意.

故當a>0時，通過GeoGebra制作的圖像，并通過滑動條，使得a不斷增大，“粗”直線逐漸接近y=ex在[1，3]上的圖像，然后相切，此時，“粗”直線的上沿（y=ax-e2）與曲線相切（如圖6）;

[x][O][y]

圖6

隨后相交，“粗”直線的下沿（y=ax-3e）與y=ex交于點（3，e3）（如圖7）;

隨著a的進一步增大，當“粗”直線的下沿（y=ax-3e）與y=ex交于點（1，e）時（如圖8），“粗”直線開始不再與曲線有交點.

至此a的取值范圍從y=ax-e2與曲線相切開始到y=ax-3e與曲線交于點（1，e）結束，思路清晰明了，層次鮮明，難題迎刃而解.

具體操作如下：

（如圖6）令切點為（t，et），則切線方程為y-et=et（x-t），過（0，-e2），解得t=2，此時直線斜率a=e2;（如圖8）“粗”直線的下沿y=ax-3e過（1，e）解得a=4e，故e2≤a≤4e.

實際解題中，因畫圖的局限性，須比較過（3，e3）和過（1，e）時的a值大小，此處不再詳解.

解題教學是高中數學課尤其是高三教學非常重要的一部分，我們不應以解題為最終目的，而是多注重培養學生知識遷移能力及問題解決能力，在教學過程中促使學生多發現一些美麗的事物、有趣的思想，既能提高學生的學習興趣，也拓展了學生的創造性思維.