著眼于優(yōu)化解題教學的高三數(shù)學復習教學實踐研究

錢怡

[摘? 要] 高效的解題教學孕育著高效的復習成效，提升學生的解題能力才能使復習的效率最大化. 研究者通過多個典型例題的剖析來談優(yōu)化解題教學，提升復習有效性的根本方法.

[關(guān)鍵詞] 解題教學;教材;復習

波利亞曾說：“掌握數(shù)學就要善于解題.”數(shù)學教學中“問題”和“解”占據(jù)著主要地位，從本質(zhì)上來說，解題才是數(shù)學的心臟，善于解題才是真正學好了數(shù)學. 而善于解題并不在于解題數(shù)量的多少，而在于解題質(zhì)量的高低. 高三數(shù)學復習中，解題教學是一個重要組成部分，可以這樣說，高效的解題教學孕育著高效的復習成效，提升學生的解題能力才能使高三復習的效率最大化. 那么如何優(yōu)化解題教學，提升復習有效性呢？本人在多年的教學實踐中，著意對此方面進行研究和反思，并收到了良好的效果. 下面從以下三個方面談談自身的一些做法.

[?]挖掘教材資源，重視思維的發(fā)散

“源于教材且高于教材”是歷年來高考試題設(shè)計的方向，事實上，高考命題往往“萬變不離其宗”，命題者在高考命題時也總是遵循依綱扣本的原則. 由于此處的“宗”與“本”自然指向教材，這就要求高三數(shù)學解題教學需要回歸教材，關(guān)注到雙基的落實，以發(fā)散學生的思維. 當然，這里“回歸教材”并非簡單地歸納和梳理教材知識，而是要求教師充分挖掘教材資源進行延伸和拓展，引領(lǐng)質(zhì)的飛躍，讓學生對高考試題內(nèi)容和層次有一個深刻的認識，孕育發(fā)散性思維[1].

例1：已知雙曲線過點（4，），漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的標準方程是________.

分析：本題是一道高考試題，其原型是一道教材習題：已知雙曲線過點（-5，3），且其離心率e=，試求出該雙曲線的標準方程. 由于例1的解法眾多，教師在引導學生運用多種手段挖掘知識點的策略后，明晰題目的結(jié)構(gòu)與方法，有效突破思維障礙，形成以下多種多樣的解題方法.

解法1：以焦點位置設(shè)求方程

首先，作圖易判斷得出點（4，）位于第一象限，并落于漸近線y=x的下側(cè)，基于此，即可得出雙曲線焦點在x軸上;接著，設(shè)雙曲線的標準方程是-=1，可得其對應的漸近線方程是y=±x，從已知條件出發(fā)則有=;然后，將點（4，）的坐標代入得出-=1;最后，解以上兩個含有a和b的方程組，得出a=2，b=1，最終得出雙曲線的標準方程為-y2=1.

解法2：以漸近線方程設(shè)求方程

從漸近線方程y=±x入手，即可設(shè)雙曲線方程為y2-=k，代入坐標（4，），可得k=-1，得出所求方程為-y2=1.

解法3：直接設(shè)求方程

設(shè)待求方程為-=1或-=1，代入坐標（4，），并結(jié)合漸近線方程易求出a和b，并檢驗后舍去其一，最后得出雙曲線的標準方程為-y2=1.

評析：例1中考查的知識根植于教材，同時在解題策略的選擇上也是多樣的. 縱觀上述解題方法，可以看出并非每個解法都是最優(yōu)解法，在師生的共同探討下一致認為解法2的解法彰顯了雙曲線的本質(zhì)特征，是三種解法中的最優(yōu)解法. 這里的解題教學給了我們以下啟示：教材具有較強的示范性，它是揭示解題思路和方法的載體，只有利用好教材的教學功能，才能為解題奠定良好的基礎(chǔ). 此處筆者更想闡述的是高三復習中大部分試題都是“類題”，在解題教學中，教師應有意識地引導學生以模塊化的思維去總結(jié)、歸納和提煉得出“類題”的解題流程，形成解題的基本活動經(jīng)驗.

[?]變式教材例題、習題，關(guān)注知識的拓展

高三復習時，知識密度大且題型多，若時常以題海戰(zhàn)術(shù)進行教學，在這樣的單一形式下，學生極易感到枯燥、乏味，從而喪失學習積極性. 教材中的例題、習題相對固定，倘若利用其潛在的價值進行變式訓練，則可以減輕學生的課業(yè)負擔，實現(xiàn)做“透”習題，而并非做“遍”習題，使學生樂思、樂學、樂研，實現(xiàn)真正意義上的高質(zhì)量復習.

1. 從特殊到一般

例2：已知等差數(shù)列{a}的首項為a，其公差是d;等差數(shù)列{b}的首項為b，其公差是e. 若c=a+b（n≥1），且c=4，c=8，試求出數(shù)列{c}的通項公式.

分析：本題同樣是教材中的一道習題，本題的價值在于等差數(shù)列通項公式的熟練掌握. 學生在解題中能體會到編者的意圖，并探求得出c=4n. 教學中，教師還可追問學生能否得出什么結(jié)論？這種意識下，讓學生親自經(jīng)歷“解題—概括—內(nèi)化”的過程，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論：一個等差數(shù)列與另一等差數(shù)列的和數(shù)列是等差數(shù)列，即等差數(shù)列{a}和{b}的和數(shù)列{a+b}同樣是等差數(shù)列.

變題：已知數(shù)列{a}為等差數(shù)列，若a+1，a+3，a+5構(gòu)成公比是q的等比數(shù)列，則q的值為________.

分析：對于變題，常規(guī)解法是設(shè)公差d，將條件化歸為公差為d的方程，求得公差d，最后求出公比q. 此變題最顯著的特征就是需要猜想，{a}是等差數(shù)列，1，3，5也是等差數(shù)列，則根據(jù)例2所得結(jié)論，可得a+1，a+3，a+5不僅是公比為q的等比數(shù)列，也是等差數(shù)列，即是常數(shù)列，經(jīng)過猜想后，可得q=1. 而這里的猜想真正的源頭在于以上的歸納和提煉，由此得出這樣的簡潔解法，從而以最快的方式觸及問題的本質(zhì).

2. 一題多變

例3：若x≠0，則ex>1+x.

分析：本題選自教材，編者安排本題的目的是引導學生構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-x-1（x≠0），再通過導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進而證明f（x）>f（0），最終得出答案，一旦解題中想清楚以上思路，問題即可迎刃而解. 本題的探究價值豐富，需要教師在更深層次的應用下才能充分發(fā)揮其應有的價值. 于是有了如下變式訓練.

變題：設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-x）-ax2.

（1）若a=，試求出f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當x≥0，f（x）≥0時，求a的取值范圍.

由以上變題探究，易得出以下結(jié)論.

結(jié)論1：若x∈R，則ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立;

結(jié)論2：若x>-1，則ln（x+1）≤x，當且僅當x=0時等號成立.

評析：充分發(fā)揮教材例題、習題的魅力，讓學生所學知識和方法“源于課本，審視課本”，從而培養(yǎng)學生思維的變通性，提升高三數(shù)學復習的有效性[2].

[?]確立解題視角，優(yōu)化解題方法

在一輪復習中，學生已經(jīng)認識和掌握了多種解題策略和數(shù)學規(guī)律，而二輪復習中我們同樣可以看到不少學生亂用解題方法，甚至是找不到解決問題的方向. 所以，在二輪復習的解題教學中，我們需要適時引導、及時梳理、有效整合，帶領(lǐng)學生總結(jié)、歸納和提煉典型問題的解題思路，以幫助學生確立正確的解題視角，參悟數(shù)學解題的“門道”. 就這樣，長久的訓練下就會讓學生學會主動歸納和提煉，讓優(yōu)化解題方法成為學生的本能，這樣考試中就能真正做到心中有數(shù)，快速選擇最優(yōu)解題方法.

例4：如圖1，已知過村莊A有AB和AC兩條公路，且其夾角為60°，規(guī)劃要求這兩條公路間的區(qū)域中建立一個工廠P，在公路AB邊建倉庫M，公路AC邊建倉庫N（兩個倉庫均異于村莊A），并要求PM=PN=MN=2千米. 那么該如何設(shè)計，才能使得工廠的噪音對村莊的影響最小呢？

解題視角：①三角函數(shù)法;②基本不等式法;③坐標法;④平面幾何法（詳解略）.

評析：以上視角各有優(yōu)劣：三角函數(shù)法是一種很好的通性通法，通過正弦、余弦定理探尋邊角關(guān)系，這里的解題關(guān)鍵在于設(shè)角建立已知與未知關(guān)系間的橋梁，從而找尋到簡單科學的思考角度，完成解題;基本不等式法也是高中數(shù)學中的一種重要方法，就是借助三角關(guān)系建立二元等式，并利用基本不等式探求最值，本題中關(guān)鍵點是如何得出二元關(guān)系;坐標法可以計算化思維，從而有效降低思維難度，而在本題的解決中效果并不明顯，因此，如何運用，何時運用坐標法是需要深入思考和總結(jié)的問題;平面幾何法可以強化圖形觀念，通過讀、思、辯來接近問題本質(zhì)，從而提升能力，然這一方法的獲取有賴于直覺思維，很多學生在解題時不易想到，由此可見，“恰當”的直覺思維是使用良好解題方法的關(guān)鍵所在.

總之，在高三備考復習的解題教學應遵循解決問題的根本大法，也就是精心選擇典型問題，善于把握解題過程，不放過任何一個“有價值”的機會，引導學生在積極嘗試、深入探究和反復琢磨中積累更多、更有效的經(jīng)驗，獲得更多優(yōu)化的解題路徑，這才是數(shù)學教與學的本質(zhì)特征[3]. 在這樣有效的思維訓練中，打開學生的思維，實現(xiàn)數(shù)學能力的生長，提升復習效能，最終提高學生的高考成績.

參考文獻：

[1]? 高建國，唐玉琴. 新課程理念下高三數(shù)學復習中的幾點做法[J]. 中學數(shù)學雜志，2009（9）.

[2]? 孫瑩. 讓數(shù)學課堂在“變式”中生成精彩——從習題的“變身”淺談變式教學[J]. 數(shù)學教學研究，2015（8）.

[3]? 趙玉輝. 高三數(shù)學概念復習的有效性策略淺析[J]. 數(shù)學學習與研究，2015（17）.