“問題鏈+媒體”，助力數學可視化教學

周躍佳

[摘? 要] 問題是數學的心臟，媒體是數學的眼睛.精心設計問題鏈有利于改善“供血”功能，合理充分利用媒體，能讓數學思維可視化.文章以正弦定理的教學為例設計問題鏈，并運用希沃白板建立“可見”與“抽象”之間的聯系，引領學生在解決問題的過程中獲取知識，在獲取知識的過程中獲得學習經驗.

[關鍵詞] 問題鏈;正弦定理;希沃白板

“問題鏈+媒體”，是思維與技術的結合. 在問題鏈的引導下、師生情感交融的研討中，以媒體促進知識的動態生成.教師應當精心創設問題鏈，引領學生在認知缺口的產生、彌合與完善的過程中，獲得基本活動經驗和解決問題的能力.下面以正弦定理的教學為例，以情境性問題為興趣點、新舊知識的結合為生長點、遞進式探究為成就點、運用性問題為信心點、呼應性問題的解決為自豪點、懸念性問題為升華點，運用希沃白板讓抽象知識直觀化，模糊概念清晰化，只可“意會”不可“言傳”的理論可視化.

[?]教學過程

1. 情境導入、激發興趣（興趣點）

情境性問題：

師：星光璀璨、明月高懸，我們仰望星空，充滿無限的遐想，不禁會問，遙不可及的月亮，離我們究竟有多遠？1671年，兩位法國的天文學家測出了地球與月球之間的距離大約為385400 km.他們是怎么測量出來的呢？檢索我們大腦中的信息，找不到絲毫相關內容，其實這和我們今天這節課的內容有關. （教師運用希沃白板進行情境呈現）

生：期待中.

設計意圖：問題導入，激發學生求知欲望.激起學生產生思考、探索和達到目標的心向，使學生集中注意力于問題的解決中.

2. 復習舊知、發現目標（生長點）

鋪墊性問題：

師：我們今天研究什么呢？三角形.小學就學了三角形，初中還學了三角形，還有什么好研究的呢？注意：“好問題如同某種蘑菇，它們大都成堆地生長.”我們應該再找一找！請大家重拾兒時的記憶，我們一起來認真觀察！如果我們把角A的對邊記作a，把角B的對邊記作b，把角C的對邊記作c. 請問：我們直觀看到的最小的角是哪個角？最短的邊是哪條邊？最大的角是哪個角？最長的邊是哪條邊？第二大的角是哪個角？第二長的邊是哪條邊？這揭示了一個什么規律？

生：大邊對大角，小邊對小角.

設計意圖：尋找知識的生長點，為后面的探究做鋪墊. 經歷了垂直數學化的直觀感受階段，通過希沃白板的可視化操作讓直觀性更強.

過渡性問題：

師：大邊、大角，小邊、小角！這只是直觀的定性描述. 多大？多小？邊和角，究竟有什么準確量化的關系呢？這個問題的提出，我們不得不重新研究三角形.但是怎么研究呢？當我們面臨一個新的問題時，應該轉化為一個老問題，從我們熟悉的問題情境開始研究，于是從我們最熟悉的直角三角形看起，而邊角關系，我們學過正弦、余弦和正切，我們今天就選擇從正弦入手（板書：正弦）.

生：根據正弦函數的定義：=sinA，=sinB.

目標性問題1：

師：它們之間有聯系嗎？（教師板書引導聯系）

生：得到==c.

目標性問題2：

師：那會怎么樣呢？

生：由于sinC=1，所以==.

設計意圖：得出等式==，為引導學生猜想做鋪墊.以直角三角形的研究實現垂直數學化的特例分析，醞釀步入抽象階段.

3. 遞進探究、形成定理（成就點）

師：噢！三角形中居然隱藏著這樣奇妙的關系，我們應該為我們的發現而感到欣喜. 既然我們已經發現了這個成果，那么我們這節課就上到這里，下課！（學生疑惑為什么就下課了）

生：不！這只是在直角三角形中發現的.

過渡性問題：

師：對于一般的三角形，這個關系成立嗎？

教師演示幾何畫板，拉動三角形，使邊和角不斷變化.

學生觀察，看到無論三角形的邊和角怎么變化，上述結論都成立.幾何畫板是探索幾何奧秘的一個重要工具，這里運用它在變化的三角形中探索不變的邊角關系，其動態演示讓抽象的規律變得可見，降低了學生發現普遍規律的難度.

目標性問題3：

師：當△ABC是銳角三角形時，該怎么證明呢？請大家提筆拿尺畫出一個銳角三角形，標上角A，B，C和邊a，b，c，看著這個三角形，我們該怎么證明呢？同學們可能會感覺到無從下手，波利亞先生曾說過“陌生的問題總是要轉化為熟悉的問題去研究”，而我們熟悉的就是剛剛研究過的直角三角形.

啟發性問題：

師：這里沒有直角，我們該怎么辦呢？

生：我們就讓它產生直角.

學生在紙上完成畫圖并拍照上傳，教師點評.

當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高為CD，根據三角函數的定義，=sinA，=sinB，即CD=bsinA，CD=asinB，所以asinB=bsinA，得到=. 同理可得=.

辨析性問題：

師：我們是不是就可以大膽放心地使用了呢？不！當△ABC是鈍角三角形時，等式還成立嗎？

學生作圖分析，教師點評、總結、板書.

當△ABC是鈍角三角形時，不妨設90°

懸念性問題：

師：還有沒有其他方法可以證明正弦定理？（今天的探究作業）

目標性問題：

師：截至目前，我們已經完成了一般三角形的探究，這個結論可以正式地、隆重地進入我們的認知結構中了.

提煉成果：正弦定理（板書“定理”二字）：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.

設計意圖：引導學生提出猜想，分析問題并解決問題，逐步探究并歸納出正弦定理.完成數學化的抽象（一般化）階段和嚴謹階段.引導學生經歷數學活動的一般過程，教會學生像數學家那樣去思維.

4. 實際應用、鞏固定理（信心點）

師：正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系.它能幫助我們解決哪些問題呢？

解三角形的概念：一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.

應用性問題1：解三角形.

（1）在△ABC中，已知B=60°，C=75°，a=8，則b等于（? ）

A. 4 B. 4

C. 4 D. 2

（2）在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=，則角B等于（? ）

A. 150°B. 60°

C. 45° D. 30°

用“易課堂”發布習題，學生在平板上作答，及時統計作答情況，并作點評.練習反饋的交互性能激勵學生主動思考，把科學性、趣味性和教育性融于一體.

應用性問題2：我們利用正弦定理，可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

媒體運用：師生共同分析正弦定理，教師板書展演，在白板上畫一個三角形，利用“克隆”功能，反復使用.

分析正弦定理可知：（1）已知三角形任意兩角及一邊，由三角形內角和定理可以計算出三角形的另一個角，并由正弦定理計算出三角形的另外兩邊;（2）如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，應用正弦定理，可以計算出另一邊的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和角.

設計意圖：通過習題，引領學生體會定理的應用價值，從而強化對定理的理解，同時用題組的方式，學生通過練習，發現其中的聯系和區別，可以更進一步地提高分析問題和解決問題的能力.

懸念性問題：如果已知兩邊及其夾角，不能用正弦定理解決，該怎么解決呢？我們期待下一課：余弦定理. （發現一個“蘑菇”）

設計意圖：緊接著本堂課的研究主線，提出該問題，此問題不能通過正弦定理解決，引發學生認知沖突，為下一節“余弦定理”埋下伏筆.

5. 問題解決、首尾呼應（自豪點）

呼應性問題：

師：兩位法國天文學家是怎么測量地球與月球的距離的？引導學生利用正弦定理解決這個問題.

生：這個問題屬于知道兩角及一邊，可以用正弦定理順利解決. 教師帶領學生分析解決.

師：我們根據測量需要將選取的線段AB叫作基線. 當然，隨著科學技術的發展，現在還有一些更加先進與準確的測量距離的方法.

設計意圖：進一步提高學生通過觀察分析問題，并解決問題的能力，引導學生學會將實際問題轉化為數學問題，用數學方法解決實際問題.

6. 課堂總結，設置懸念（升華點）

（1）知識點總結.

（2）思想和方法總結.

（3）設置懸念：①還有沒有別的方法證明正弦定理？②知道兩邊及其夾角該如何解三角形？

設計意圖：學生自己回顧和總結，可以提高學生的歸納總結能力，激發學生持續研究的內驅力.

7. 板書設計、拍照保存（記憶點）

利用平板電腦拍攝板書，保存. 課堂結束時，微信掃描二維碼，可以獲取本堂課的課件，不需要再用傳統的U盤拷貝資料.

[?]教學思考

問題鏈讓數學思維得以深化，媒體技術讓數學思維可視化，“問題鏈+媒體”實現“言傳”與“意會”之間的深度互通. 我們要讓問題鏈遵循學生的認知規律、合乎知識生成的邏輯、瞄準教學重點和難點，讓媒體技術服務于問題鏈的直觀呈現.

1. 問題鏈的設計

數學教學的問題鏈設計應遵循學生的認知規律. 設計問題鏈之前，需要研究學生認知結構的過去、現在和將來，過去學習了什么？現在正在學什么？需要什么過渡和鋪墊，才能更好地完成即將學習的內容？需要臺階式地提問，分解研究難點，還是一步到位，提高學生對問題的整體研究能力？這些都是在設計問題鏈時需要研究的問題.

數學教學的問題鏈設計要合乎知識生成的邏輯. 知識的產生和發展具有一定的邏輯規律，沿著知識邏輯設計問題鏈，有利于催產知識，形成邏輯主線，使脈絡清晰，助力學生思維發展.

數學教學的問題鏈設計應當瞄準教學重點和難點. 設計問題鏈的目的是為了解決教學的中心問題，課堂教學應當圍繞重點設計目標性問題，瞄準難點設計啟發性問題，通過一個個問題的連鎖解答，從而突出重點、突破難點.

2. 媒體的使用

本堂課從直角三角形向一般三角形研究的過渡，提出了過渡性問題，利用幾何畫板動態展示三角形的邊和角在變化過程中不變的規律，引導學生直觀感受邊角關系的同時獲得好奇心和求知欲. 對于預設與生成的不確定性，教師需要在課前預設學生可能得到關于問題的多種解決辦法，通過希沃白板的蒙層功能，靈活調整課堂上答案出示的先后順序，使其符合學生的認知特點和知識自然生成的規律. 對于一個問題的連鎖解答，借助“克隆”功能，實時復制需要重復利用的公式，不需要再運用公式編輯器進行編輯. 既保持了授課界面的干凈整潔，又促進了知識的動態生成.對于應用性問題的解決，利用希沃白板的投屏功能將學生操作同屏到教師端和大屏幕，實時反饋和點評，實現資源共享和思維共享. 課堂作業定時發布和提交功能設定了學生的作答時間，同步了全體學生的思維進程，增強了課堂緊迫感. 隨機點名功能彌補了教師點名的隨意性和由于教師的主觀性造成的點名不均勻. 同時提高了學生的警惕性，督促他們保持主動思考的積極性.

“問題鏈+媒體”教學，體現了教師的教育智慧，在合適的時間，抓住合適的契機，用媒體輔助學生對問題鏈的直觀體驗，助力高中數學可視化的質感教學.