基于現象教學的還原原則探究

顧衛清

[摘? 要] 文章以橢圓的方程作為一個數學現象，由學生自主生成還原橢圓“三定義”并加以應用，同時對還原原則進行歸類，讓學生成為課堂的主人.

[關鍵詞] 現象教學;還原原則;橢圓定義

如果將學過的知識，當知識教，學生成了知識的接受者;當能力教，學生成了解題的熟練工;當現象教，學生成了能動者、創造者.

華羅庚先生曾經說過這樣類似的話：“退，足夠地退，退到最基本而不失去重要性的地方. ”下面筆者將橢圓的定義作為出發點，以橢圓的復習課為案例，來說明現象教學中的還原原則.

[?]教學設計片段

1. 橢圓“三定義”

師：請問：當你看到+=1時，你有什么聯想？

生：是橢圓.

生：是橢圓方程.

生：是焦點在x軸上的橢圓方程.

生：就是橢圓的標準方程.

……

師：同學們說得都有道理！那你能說說它是怎么來的嗎？

生：它是我們將橢圓置于坐標系中，代數化產生的.

師：如何代數化，可否詳細解說一下？

生：建系、設點、找限制條件、代入、化簡產生.

師：第一步建系有什么要求？隨意建系即可？

生：建系其實沒什么要求，只要建系設置得當，就會使得我們得到的方程較為簡便. 上述給的方程就是以橢圓的兩焦點所在的直線為x軸，兩焦點所在線段的中垂線為y軸，而最終產生的方程.

師：嗯，說得非常好！今天我們來瞧瞧其限制條件是從哪里來的.

生：根據橢圓的定義得到的. 平面內到兩個定點F，F的距離之和等于常數（大于

F

F）的點的軌跡. （展示橢圓的第一定義）

師：我們重溫一下當初利用橢圓的第一定義產生橢圓標準方程的過程. （PPT展示如下過程）

PF+PF=2a，得+=2a.

將這個方程移項后兩邊進行平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，即a2-cx=a.

兩邊再進行平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

因為a2-c2>0，所以可設a2-c2=b2（b>0），于是得到b2x2+a2y2=a2b2，即+=1（a>b>0）.

師：所以之前給的+=1就是同學們說的橢圓方程嗎？

生：當a2>b2時，是焦點在x軸上的橢圓方程;當a2

師：在方程推導過程中，我們將a2-cx=a變形為=. 你能解釋這個方程的幾何意義嗎？

生：這個等式表明，橢圓上任意一點到一個焦點的距離與它到相應準線的距離之比是一個常數，這個常數就是離心率. 也就是我們橢圓第二定義的由來. （展示橢圓的第二定義）

師：我們繼續看+=1.

下面師生合作，做如下變形：

b2x2+a2y2=a2b2，

a2y2=a2b2-b2x2=b2（a2-x2）.

當x≠±a時，=-，即·=-.

于是發現此橢圓上任意一點（除去左、右頂點）與左、右兩頂點所在直線的斜率乘積為定值-.

若做如下變形：

b2x2+a2y2=a2b2，

b2x2=a2b2-a2y2=a2（b2-y2），

當y≠±b時，·=-.

于是又發現此橢圓上任意一點（除去上、下頂點）與上、下兩頂點所在直線的斜率乘積為定值-.

以上兩種類型中任何一種情形，都可以令我們反其道而行之，進而生成是否會有平面內到兩個定點的斜率乘積為一個常數的點的軌跡的念頭，即產生橢圓的第三定義，接下來則是進行理論的論證，學生可自行完成驗證. （展示橢圓的第三定義）

上述這樣兩種情況下的定值都是 -，是巧合還是一種必然，如果學生深入發現，可以進一步進行推廣，于是生成了橢圓上任意一點與原點對稱的兩點所在直線的斜率的乘積是定值的念頭，進而論證即可.

橢圓的第一定義：平面內與兩個頂點F，F的距離之和等于常數（大于

F

F）的點的軌跡叫作橢圓. 這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

橢圓的第二定義（統一定義）：平面內到一個定點F的距離與到一條定直線l（點F不在直線l上）距離的比等于一個常數e（0

橢圓的第三定義：平面內到兩個定點的斜率乘積為一個常數（該常數記e2-1∈（-1，0））的點的軌跡. （未含兩定點）

設計意圖：通過給出現象+=1，讓學生對這個現象進行解釋，用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，而學生本身對橢圓及方程已有一定的了解，“所見即所思”，學生發現它是橢圓的方程，進而追溯橢圓方程的由來. 整個復習過程以學生為主體，充分地調動了學生的積極性，打開學生思維的空間，直面現象.

2. 例題精析

例1：已知橢圓+=1的右焦點為F，A（6，6）為定點，P是橢圓上任意一點，求PA-PF的最小值. （橢圓的第一定義）

設計1：此題用代數的方法，設點P 的坐標，用兩點之間的距離公式來解題，顯然將問題復雜化了，很難解答此題. 而用幾何法，將PF的長度用第一定義進行轉化，設E是橢圓的左焦點，則PA-PF=PA-（2a-PE）=PA+PE-8，利用兩點之間線段最短的公理，可得到PA+PE≥AE==10，故PA-PE的最小值是2.

此分析雖能讓學生理解其解答過程，但對解答中將-PF轉化為PE，學生雖能接受，但屬于被告知，學生的思維未得到很好的發展.

設計2：把這個題目直接給學生，教師則一副“事不關己高高掛起”的樣子：事情擺在這兒，你說該怎么辦吧.

活動：學生把它當作一個數學現象進行考察，注意不同學生的觀察會有不同的發現，每個學生發現的都是他心里所能認識的. 說一句直白的話：你只能看見你想看見的東西. 也就是說，觀察都有目的性. 理性的人帶著目的去觀察，他能發現與目的相符或不相符的結論;懵懂的人觀察沒有目的性，所獲很少也很膚淺.

欲求最小值，猜想點P的位置應該具有某種特殊性，然后通過考察容易發現，橢圓上的四個頂點并非是符合最小值的點P，故心理萌生出點P的位置不在其“特殊位置”的想法，可又與初始的想法背道而馳，產生認知沖突，一下子激發學生解決問題的好奇心，并迫使他們對除四個頂點位置以外的點進行考察. 因為這些位置的一般性，要研究其大小，可度量進行比對. 通過度量，發現最小值時的位置，而在該位置又感覺其并非有特殊性，與思維中固有的特殊位置確認違背，更讓人匪夷所思. 因為度量出來的結果，能讓人更具有理性，此刻理性已經戰勝感性，不得不認可此位置的點P，但內心深處總還是有些不甘心，故而將重心移至探究此位置點P的特殊性，直至發現延長AP后是過左焦點的，內心才得以安定、釋然.

也可根據學生能力的情況，對學生進行如下引導：

師：請你大膽猜一下，這個點P在什么位置？

生：……

（若能猜其位置則可直接讓學生進行驗證，若學生不好猜或者很難猜，則進行如下點撥）

師：如果借助刻度值量一量，或者借用圓規，看看是否能找到最小值時的位置.

學生活動：找到點P的位置. （此處也可以通過幾何畫板進行展示）

師：你對點P的這個位置有什么想法？

生：這個位置應該具有某種特殊性，應該不是在一個無特點的位置. （思考片刻）發現延長AP后是過左焦點的.

師：請同學自行對此猜想進行論證.

設計意圖：學生把它當作一個數學現象進行考察，借用刻度尺或圓規，甚至幾何畫板找到最小值時的點P的位置，然后尋其位置的特殊性，即延長AP經過左焦點，后進行邏輯論證. 整個過程都是以學生自主探究為主，其過程是：數學現象—觀察試驗—猜測想象—邏輯論證.

回到問題本身，能更好地產生自我思維過程，所謂的解題方法是實際需要的，思想也是可以在思考過程中自然產生的，體驗與觀念也就形成了習慣，形成了本能.

[?]教學反思

在教學中，還原原則實際上是尋找知識上的先行組織者、活動上的最近發展區. 知識的生長與素養的提高均基于個人原有的基礎，學習就必須建立在原有的基礎之上——這就是還原原則的本質. 結合課例，將還原原則歸納為以下三類.

（1）演繹式. 如果還原到上位的數學知識，則新知識的生成是演繹式的，需要個人較高的數學素養來保證生成的流暢性. 如對橢圓的三定義的復習，這是學生在之前已對橢圓有了全面學習，有了一定基礎，而今給出的現象，不同的學生著眼的角度不一定相同，從而演繹成不同的概念.

（2）歸納式. 如果能還原到最基本的生活經驗或下位的數學知識，則新知識的生成是歸納式的，更符合于人的自然本能. 如例題的處理，就是對數學現象進行觀察試驗，從而猜測想象，歸納最值時的位置，從而再進行邏輯論證.

（3）聯結式. 如果還原到并列知識上，則新知識的生成是聯結式的，需要個人的類比與想象能力.

三者必居其一，具體用哪一種，要根據教學內容以及學生的實際情況而定. 如例題的類比想象，我們可以聯想到解析幾何中遇到如圖2所示的情況：A（2，2）和點F（1，0）為定點，點P為y軸上一動點，問：當點P運動到y軸上何處時，PA+PF取得最小值？此題主要就是運用對稱性將PF轉化為左側對應線段，從而將PA+PF的最值的題目轉化為兩點之間線段最短的知識點.

[?]結束語

解題過程中我們把每一步結果都當作一個現象，對它進行分析. 解題者始終占據主體地位去進行探究，而不是想著“我有哪些知識”或者“我是否曾經解過類似的題目”——這兩句來自波利亞的“怎樣解題表”. 我們的說法看似與大師有所抵觸，實際上并不是. 因為在做“分析”的時候，我們自然要用到已有的認知體系，調動以往所熟悉的解題經驗，因此知識和經驗仍然是我們行動的力量之源，但那屬于術語操作層面，是形而向下的.

當作“現象”和當作“知識”究竟有沒有區別？當我們面對數學題時，幾乎沒有區別. 因為別人給我們的都是“可解”的題目，或都在我們知識所覆蓋的范圍之內. 而當我們面對世界時，情形就不一樣了. 那時問題是否“可解”都不知道;需要哪些條件、可能會有哪些結論，都不明確. 如果沒有一個客觀冷靜的立場，沒有穩定的自信心，就會茫然不知所措.

因此在數學課上把題目當作“知識”還是當作“現象”，可以說沒有區別;在課堂之外面對未知的世界時，區別就非常明顯了. 書呆子和能人，平庸的學者和天才的科學家，也許就是解題時的觀念使人慢慢形成的.

當我們將“知識”當“現象”教，學生將數學題也看成是一個數學“現象”時，學生成了能動的創造者，能積極主動地面對問題、思考問題、解決問題，數學課堂就成了富有生機的課堂，學生也就成了課堂的主人.