“悲傷雙曲線”

孫曉紅

[摘? 要] 解析幾何的思想和方法是用代數方法（即方程）研究平面幾何圖形性質的，雙曲線的漸近線需要學生從雙曲線的標準方程中發現、探究和證明，這也是本章的重點和難點. 通過本節課的學習，教師應教給學生解決解析幾何問題的思想和方法，以及用歸納、猜想、證明的思維過程發現問題、解決問題的能力.

[關鍵詞] 解析幾何;雙曲線;漸近線

[?] 說教材

本節課學習的內容是“雙曲線的幾何性質”.

1. 本節教材的地位和作用

這節課是人教版普通高中課程標準實驗教科書選修2-1第二章第三節“雙曲線”第二課時，是學習圓錐曲線的重要組成部分，通過本節學習能進一步鞏固圓錐曲線的思想體系和學習方法. 學生已經學習了橢圓的幾何性質，很容易類比出雙曲線的幾何性質，包括范圍、對稱性、頂點、焦點和離心率等，但雙曲線的漸近線是雙曲線所獨有的性質，如何讓學生發現這個性質，并利用數學邏輯推理嚴格證明，對培養學生邏輯推理能力以及發現問題、獨立思考問題、解決問題的能力，對培養學生的探索精神及創新能力，具有極其重要的作用.

2. 說核心素養目標的落實

根據2017年高中數學課程標準，本節課可以培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養能力. 核心素養目標的落實情況如下：

（1）數學抽象. 解析幾何的思想和方法是數形結合，主要研究兩大問題：一是由曲線得到方程;二是利用方程研究曲線的幾何性質. 學生在學習本節課之前已經學習了雙曲線的標準方程，由此標準方程概括出曲線的圖形特征，達到數與形的完美契合.

（2）邏輯推理. 學生利用類比推理，根據橢圓幾何性質的推導方法，得出了雙曲線的幾何性質;通過變換雙曲線標準方程的形式，猜想出漸近線的存在，并用距離公式演繹論證，培養學生的數學邏輯推理能力，為日后的科學發現和創新研究打下堅實的基礎.

（3）數學運算. 解析幾何學習的內容主要是通過圓錐曲線培養學生的數學運算能力. 通過探究雙曲線的幾何性質，學生可以掌握數學式子化簡、變形的技巧，掌握解決方程消元和求不等式中參數取值范圍的方法，掌握復雜運算的計算方法和易錯步驟，為培養數學運算核心素養奠定基礎.

3. 說教學重點和難點

基于以上分析，我們確定本節課的重點是雙曲線漸近線的推導證明過程，難點是發現雙曲線的漸近線. 這節課的思維歷程正好是“認知沖突—大膽猜想—推理論證—實踐應用”，這對于培養學生科學發現、邏輯思維和創新實踐能力具有極其重要的作用！

4. 說教學準備

教師：準備多媒體教學課件、下載歌曲《悲傷雙曲線》.

學生：復習橢圓的幾何性質，回憶其發現和推導的過程.

[?] 說教法

本節課利用多媒體輔助教學，教師設置一個又一個的認知沖突，啟發誘導學生自己發現雙曲線漸近線的存在，并進行推理證明. 同時，采用類比的教學方式，讓學生自己推導雙曲線的其他性質，培養學生自主探究和科學論證的能力.

[?] 說學法

學生采用自主學習和小組合作交流的學習方式，借助原有的知識結構進行類比分析，得出雙曲線的性質;通過思考、討論、交流，突破認知沖突，完善思維的批判性和完整性，本節課從始至終學生進行一場激烈的思維體操訓練.

[?] 說教學過程

1. 思想的引領與知識的回顧

問題1：解析幾何研究的基本問題是什么？

設計意圖：解析幾何的思想是數形結合，即用代數的方法（方程）研究平面幾何圖形. 主要研究兩大問題，一是由圖形得到曲線方程;二是利用方程研究圖形的性質. 把它設計為開篇第一大問題，是希望這一主題思想貫穿整節課的始終. 同時，也讓這種思想在學生頭腦中根深蒂固，指導學生學習解析幾何問題，并為下一個問題做好鋪墊.

問題2：橢圓的幾何性質都有哪些？你能否類比橢圓的研究方法，研究雙曲線的幾何性質？

設計意圖：不僅回顧知識，還回顧知識的產生過程，為研究雙曲線的對稱性、范圍、頂點、焦點和離心率等性質做好了充分的準備. 在此過程中，學生學會利用類比推理發現問題和解決問題. 講解此內容時教師首先需要強調的是以上性質都是由方程推導出來的，不能僅憑圖像直觀感受，還要用代數方法嚴格論證，這也與本節的思想相契合;其次是圓錐曲線的頂點是曲線與對稱軸的交點，從圖像和方程兩方面驗證，發現雙曲線只有兩個頂點，學習后面的拋物線學生自然就知道它為什么只有一個頂點了. 教師在課堂說的每一句話、每一個手勢、甚至每一個眼神的暗示都要有自己的目的，為后續內容鋪平道路，這樣課堂也就鮮活了起來，教師和學生容易產生共鳴.

2. 第一次認知沖突

問題3：能否利用上述性質畫出雙曲線-=1的圖像？

做法：讓學生到黑板上畫雙曲線-=1的圖像，學生只會畫出曲線的大致形狀，但曲線向上、向右的變化趨勢無法確定. 學生納悶.

畫出雙曲線-=1的圖像

[x 4 5 6 7 8 9 y 0 3 ]

追問：難道我們還有幾何性質沒研究出來？那該怎么辦？

學生回答：回到方程，繼續探究.

設計意圖：通過畫雙曲線，讓學生有了第一次認知沖突，發現研究出來的性質不夠用. 由此，學生才會有了繼續探究的欲望，也為漸近線的出場打好了伏筆.

3. 發現與猜想——第一次高潮

學生活動：通過小組交流討論，教師適當引領，學生從方程的變形中發現：-=-1，可得<，所以-x

問題4：這說明什么？

學生：雙曲線夾在兩條線y=±x之間.

追問1：這兩條直線與雙曲線是什么關系？

學生：是雙曲線的漸近線.

追問2：什么叫漸近線？雙曲線一定有漸近線嗎？我們現在經歷的是什么思維過程？

學生：漸近線是逐漸逼近圓錐曲線的直線. 從方程看，雙曲線一定有漸近線，但現在還只是猜想的過程.

追問3：數學猜想之后需要干什么？

學生：嚴格推理證明.

設計意圖：讓學生自主發現方程的新特點，從而猜想出雙曲線漸近線的存在，大膽猜想并自然過渡到下一階段的證明. 學生親身經歷了“認知障礙—數學發現—大膽預測—嚴格論證”四個階段，本節課達到了第一次高潮！

4. 思維碰撞，頭腦風暴——第二次高潮

問題5：如何用嚴密的代數推理證明y=±x是雙曲線-=1（a>0，b>0）的漸近線？

雙曲線-=1（a>0，b>0）的漸近線：

方案1：考察M到直線的距離

MQ

;

方案2：考察同橫坐標的兩點間距離

MN

;

方案3：考察同縱坐標的兩點間距離

MP

.

追問1：在數學中用什么量描述曲線在無窮遠處，無限接近某條直線的程度？

學生會想到用距離來描述.

追問2：有多少種距離可以描述這種無限逼近的程度？

做法：讓學生分組討論，組內學生進行頭腦風暴，每組展示解決問題的方案;然后，全班同學再進行頭腦風暴，研究出運算量較小的方案是用水平距離或豎直距離來描述直線y=±x與雙曲線-=1（a>0，b>0）的關系.

設計意圖：層層設問，把圖形的直觀表象用數學語言描述出來，再進一步用數學方法加以刻畫. 同時，讓學生自行設計方案，尋找最佳解決方法，既達到了思維的碰撞，也提升了解決問題的能力.

5. 第二次認知沖突

教師活動：教師引領學生證明：當x→ +∞，x-=

→0，并高度概括雙曲線的漸近線對雙曲線形狀與性質所起的巨大作用.

問題6：漸近線對雙曲線如此重要，能否巧妙地畫出雙曲線的漸近線？

教師活動：既然是巧妙地畫就不能生畫，學生如果能想到橢圓的畫法最好，如果想不到，教師就引導學生類比橢圓的畫法，想到橢圓的矩形外框，由此聯系到雙曲線中的矩形對角線正是漸近線，進而引出雙曲線的實軸和虛軸的概念.

如何巧妙地畫出雙曲線的漸近線？

線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫作實半軸長;

線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫作虛半軸長;

設計意圖：這是本節課學生的第二次認知沖突，從圖形的角度設計的認知沖突，與第一次的認知沖突是層層遞進的關系. 首先，這樣的設計可以培養學生數與形的相互轉化和結合的能力;其次，通過類比，讓學生體會圓錐曲線在知識和方法上的和諧統一.

教師活動：請學生重新畫出雙曲線-=1的圖像.

設計意圖：強調畫雙曲線的步驟，與第一次認知沖突遙相呼應.

追問：已知雙曲線的標準方程，如何巧妙地求漸近線方程？

學生只需讓雙曲線方程中的“常數”變為“0”.

設計意圖：從代數方程的角度設計的認知沖突，到此學生對漸近線的數形特征全面掌握，為本節課的課后探究做好鋪墊，也是本節的第三次高潮！

6. 課后探究

問題7：當漸近線方程確定的時候，雙曲線方程是否確定？

設計意圖：承上啟下的作用，為下一節課的內容做好準備.

7. 點睛之筆

學生欣賞歌曲《悲傷雙曲線》，附上歌詞：

悲傷的雙曲線

曲/編：金培達 詞：高雪嵐

如果我是雙曲線

你就是那漸近線

如果我是反比例函數

你就是那坐標軸

雖然我們有緣

能夠生在同一個平面

然而我們又無緣

慢慢長路無交點

為何看不見

等式成立要條件

難道正如書上說的

無限接近不能達到

如果我是雙曲線

你就是那漸近線

如果我是反比例函數

你就是那坐標軸

雖然我們有緣

能夠生在同一個平面

然而我們又無緣

慢慢長路無交點

為何看不見

等式成立要條件

難道正如書上說的

無限接近不能達到

為何看不見

明月也有陰晴圓缺

此事古難全

但愿千里共嬋娟

此事古難全

但愿千里共嬋娟

教師活動：總結雙曲線與漸近線和諧共生的關系，上升到人類情感的高級階段：有共同的奮斗目標，既相互獨立，又彼此遙望，相互扶持，共同成長.

設計意圖：把音樂引入數學課堂，激發學生的數學學習興趣，同時從知識和方法中滲透人文精神，對學生進行感情教育，起到畫龍點睛的作用.

[?] 說板書設計