探究度：教學設計中一個重要課題*——以“正方體截面的探究”為例

任偉芳

(浙江省寧波市教育局教研室 315100)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)把數學探究活動編入必修課程五個主題中，與數學建模活動一起建議安排6課時，在必修課程中要求學生完成一個課題的探究活動[1]，凸顯了數學探究活動的重要性.但從探究教學現狀調研中發現，一線數學教師在探究教學設計中普遍存在著沒有教學實踐經驗、理論資料缺乏、示范課例較少等現象.為此近日某市直屬在教壇新秀評審時把“正方體截面的探究”作為上課課題，在實踐中對數學探究活動教學進行大膽的嘗試.在課堂教學中發現設計探究教學時除了要考慮教學目標和教材內容等要素外，學生的探究度也是教師教學設計所要思考的一個重要課題，學生自主與教師指導的“度”的把握是影響達成探究學習目標的直接因素.本文就探究度這一課題在量化分析、課堂實踐和教學建議等方面作了有益的探索，敬請批評指正.

1 探究度分析

所謂探究度是指學生進行自主探究的程度，探究度越高就意味教師指導得越少.國外學者認為探究學習有五個基本特征，即問題、證據、解釋、評價和發表，同時為這5個基本特征設定了量化的探究度等級[2].結合有關文獻和探究教學實踐，筆者提出了數學探究過程的6個維度，分別是:1問題提出；2猜測結論；3擬定方案；4論證結論；5反思評價；6表達交流.其中前五個維度是探究學習基本過程的隱形量化，可以衡量學生自主探究的參與程度，第6個維度是貫穿探究全過程所反應出來的顯性要素.每個維度按照學生自主探究程度由低到高設定三個水平等級，由此相對應分別是跟隨者、模仿者和探索者的角色.如表1.

表1 學生數學探究度的水平劃分

2 同課異構的探究教學

探究內容選自《標準》第123頁案例11《正方體截面的探究》，用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？授課對象為某校高三年級的普通班和創新班學生.

2.1 普通班教學

片段1 源自生活，問題提出

一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內部)叫做幾何體的截面.生活中我們會遇到很多截面問題，比如用刀去切正方體的面包，它的截面是什么圖形？怎樣來研究截面問題呢？

片段2 直觀感知，猜測結論

問題1用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？

說明：為了使學生能夠直觀感知，需要操作確認.教師預先做了一個幾何畫板正方體截面的動畫，依次拖動三個動點，觀察截面的形狀發生了怎樣的變化.

片段3 操作確認，擬定方案

問題2如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

問題3除了截面是三角形和四邊形，你還能截出哪些多邊形？為什么？

問題4根據“一平面與兩平行平面相交，交線平行”的定理，及正方體的六個面相對面平行的特性，你可以得出哪些結論？

說明：通過師生討論可以總結得到如圖1所示的截面圖形.

圖1

為了研究截面的形狀先擬定解決問題的方案，譬如要證明截面是銳角三角形，先擬定證明截面三角形的三個角都是銳角，就會聯想到用余弦定理來解決問題的方案.

片段4 合作交流，論證結論

圖2

問題5請大家按照四人組成小組進行討論，如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形，請說明理由.

說明：能截出銳角三角形，截不出直角三角形和鈍角三角形.

證明：設截出的三棱錐的三條側棱DN、DM、DL的長分別為a、b、c.由余弦定理得

因此∠LNM為銳角，同理另二個角也為銳角.所以只能截出銳角三角形.

圖3

問題6怎樣截能截出最大截面的三角形？

片段5 課堂小結，反思評價

問題7請您談談本節課探究的收獲，探究正方體截面您經歷了怎樣的過程？

說明：通過對正方體截面形狀的探索，引導學生在交流、思考的過程中增強發現和提出問題的意識，在想象、解釋的過程中提高分析和解決問題的能力，使學生積累數學探究活動經驗，發展直觀想象素養.數學探究活動一般流程，如圖4所示.

圖4

2.2 創新班教學

為了促使學生數學探究度從水平二向水平三提高，將學生從學習模仿者逐步培養成為知識的探索者.采用本原性問題驅動下的探究型教學，即選取正方體截面中的本原性問題為引子，模擬數學家做數學研究的情境，經歷數學問題發現、分析和解決的過程，回歸教學的本真.上課前一周發下《課前自主探究作業》給學生，全班分成五個小組，要求小組長課前組織半個小時小組集中討論交流時間.把學生自主探究放在上課之前，確保有足夠的探究時間，提高探究質量，課堂上以展示探究成果為主.

活動一：問題驅動，課前探究

課前自主探究作業：思考并完成表2中的探究任務，請提出新問題，并加以證明.

表2 用平面截正方體截面的形狀

活動二：展示交流，猜證結論

由學生代表上講臺展示(部分探究結論整理如下)：

探究1：截面有沒有可能是直角三角形？

說明：截面不可能是直角三角形.

探究2：截出的截面不能是正五邊形？

證明(反證法)：假設截出截面是正五邊形D1EFGH，如圖5.

圖5

由面面平行的性質定理可知，EF∥D1H,D1E∥GH，而正五邊形不存在對邊平行的性質，故矛盾.所以截面是正五邊形不存在.

探究3：截面有沒有可能是正六邊形？

說明：截面有可能是正六邊形，選取棱的中點依次相連構成正六邊形.

探究4：截面有可能是直角梯形嗎？

圖6

證明：不妨假設∠QMN=∠MNP=90°.

由正方體可知CB⊥面

ABFE,BF⊥面ABCD，

因為MN?面ABFE，

所以CB⊥MN；

又因為CB∩NP=P,

CB,NP?面ABCD，

所以MN⊥面ABCD，MN∥BF；

因為MN?面BCGF,BF?面BCGF，

所以MN∥面BCGF；

因為MN?面NPQM，

面NPQM∩面BCGF=QP，

所以MN∥QP.這與截面是梯形相矛盾.

所以截面不可能是直角梯形.

探究5：任意一個平面截正方體，怎樣截使得截面的面積最大？

圖7

圖8

1=DM+MC=GM-GD+EF·cosα

故T=1-(EFcosα)(EFsinα)

②當截面形狀為五邊形時，如圖9，固定E,F，顯然截面過頂點C1時面積會盡可能大，此時是情況①的一種特殊情形(C,M,N共點)，故截面為五邊形時不會取到最大值.

圖9

活動三：小結收獲，繼續探究

小結：用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的圖形?因為正方體有六個面，截面與六個面最多產生六條交線，所以截面形狀可以是銳角三角形，四邊形(平行四邊形，梯形)，五邊形和六邊形，不存在六邊形以上的截面.

探究6：類比平面截正方體探究過程，您還想繼續提出怎樣的新問題？

說明：學生提出了如下新問題并進行部分論證：平面截正三棱柱，截面是什么圖形？

新問題1：用一個截面截該正三棱柱，截面的形狀有哪幾種可能？

新問題2：平面截正三棱柱，如果截面是三角形可以截出任意的三角形嗎？

說明：存在正三角形截面，截面平行于底面.存在一般的等腰三角形，截面的一條交線與底面平行.可截得鈍角三角形截面.

新問題3：平面截正三棱柱，怎樣截出一個面積最大的三角形？

圖11

3 教學建議

3.1 探究度分析有助于選用恰當的教學方式

弗賴登塔爾認為：“數學教育方式要結合學生的生活現實與數學現實”.生活現實即學生生活中有過的體驗，數學現實就是學生已具備的數學知識與素養[3].兩節同課異構教學方式的選取充分考慮到學生的生活和數學現實.普通班學生采用問題鏈教學方法，即教師結合正方體截面有可能幾種情況來設計問題鏈，在問題的引導下學生完成猜測、分析、論證和反思的探究過程.問題情境由淺入深，學生數學探究度從水平一向水平二發展，促使學生從跟隨者到模仿者角色的轉變.教學流程先從教師啟發引導開始，接著學生自主探究，最后通過四人小組探索出截面圖形特征，在探究過程中使學生體驗問題得到證實后帶來的成功喜悅.而創新班則采用本原性問題驅動下的研究型教學，所謂本原性問題是指促使一個概念、一個原理、一門理論產生的那些原始的問題[3].本原性問題驅動下的探究活動教學設計，關鍵在于本原性問題的選取，最終指向學生的數學核心素養的培育.一般需要引導學生經歷四個探究步驟：首先，研究截面形狀的分類及特征，也就是研究了“是什么”；其次，研究截面所具有的性質，在這個過程中遵循從特殊到一般的認知規律，對這些“特殊”的情形進行大膽猜想，嚴謹論證，也就是解決了“為什么”.第三，回顧探究5的開始階段先猜測三種特殊情形面積的數值，再建立一般情況的函數模型，通過函數單調性求出函數的最值，這為解決空間幾何體任意截面所得面積問題的新思路，也就是得到了“怎么做”.第四，解決問題后，學生又提出平面截正三棱柱(或者圓柱、圓錐等)截面是什么圖形等創新性問題.在新的問題情境下進行繼續探究，也就是提出了“還想做什么”.盡管研究型教學展現出來的問題未見得是歷史上解決這類問題的真實情境，但設計本原性問題驅動教學能誘發學生猜證問題的欲望，通過類比推理提出新的問題，讓學生掌握并運用數學研究的基本途徑與方法.

3.2 探究度量化分析促進教師的精準教學

“教之道在于度”，學生自主與教師指導的“度”的把握需要探究度量化分析，其作用在于實現教學設計精細化：一是促進教師在教學設計時精準地確定探究活動的教學目標.譬如該班級整體學生的探究度學情為1低2高3中4中5中6低，教師在教學設計制定目標時，對1問題提出和6表達交流這二個維度，上課時老師需要特別作針對性指導.教學目標實現并非要在一節課中面面俱到，對于該班級教學中在創設問題情境和多給學生表達與交流機會方面要實施“精準教學”，達成這兩個維度由低級向中級發展的教學目標.二是促進教師進行因材施教.譬如根據探究度量化分析該生為1中2低3中4高5中6高，說明2猜測結論能力相對較弱，因此教師在猜測合理的數學結論時加強方法上的有效引導，設計一些“猜測結論”問題有針對性訓練，告訴該位同學對于數學問題需要大膽猜想，小心求證.三是促進探究分組成員之間探究能力的互補.探究學習往往需要學生分組合作進行探究，教師要優化組合分組，把探究度水平等級不同學生組合在一起進行分組討論，綜合協調教學內容、學生能力水平和探究課時時間三者之間的關系，同時給探究能力不同學生的探究時間也要有所區別．這樣有利于按時完成課程所要求的探究任務.只有在合作探究研究中各取所需、優勢互補、分頭共進，才能使學生探究能力不斷地提高.

3.3 采集分析探究度實現學生的深度學習

“為學而教，教學設計中了解學情永遠是第一位”[4].探究教學設計除了要考慮教學目標、教材內容等這些固有的要素外，還要分析學生的探究度現狀，因此課前探究度調查可以幫助教師選擇適合學生的教學方法.基本策略應先收集再分析，在實踐中采集探究度數據的常用途徑有：學生自評、同學互評、老師點評、問卷調查、個別訪談等，采集有關的6個維度數據后，接著評價每個學生探究度三個水平，再建立個人檔案詳細記錄學生當時探究度數據，最后用六維雷達統計圖或折線統計圖等信息技術手段分析某個學生或整個班級學生探究度的發展變化狀況.為了提高探究度6個維探究度量化數據的準確性，要采用多種途徑采集學生探究度的數據,盡力排除一切干擾因素.學生真實準確的探究度數據是實施因材施教的前提，也是教師教學設計選擇最恰當的教學方法的依據.縱觀上面兩節同課異構教學課例的教學設計，探究方式采用由教師指導下學習型探究還是完全開放研究型教學，如果不準確采集分析學生6維探究度數據，就很難實現學生探究活動的深度學習.

總之，“教為了不教”，自主探究學習能力的培養可以為學生終身學習奠定扎實的基礎．對學生進行探究度水平分析，并不能完全概括數學探究活動的復雜內涵，但其意義和作用深遠，它有助于教師確定合理的教學目標，選擇恰當的教學方法，準確把握學生自主與教師指導的“度”，更有效地培育學生的數學核心素養.通過探究度量化分析在教學設計中的運用，使數學探究活動這朵絢麗多彩之花，成為數學教學百花園中的一枝奇葩．