高中生數學基本活動經驗與數學建模核心素養的關系研究

唐費穎

(上海市民星中學 200438)

1 問題提出

黨的十九大報告指出：“要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人.”[1]為將立德樹人根本任務落到實處，教育部組織研究提出學生發展核心素養體系和學業質量標準，修訂課程方案和課程標準.《普通高中數學課程標準(2017年版)》將數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[2]列為數學學科核心素養，并將數學建模活動與數學探究活動與函數、幾何與代數、概率與統計并列為高中數學課程內容的四條主線，貫穿必修、選擇性必修和選修課程.[3]

上海市新編的《普通高中教科書·數學》(主編：李大潛、王建磐，上海教育出版社)將數學建模單列——必修第四冊、選擇性必修第三冊——供各個年級靈活選擇性使用，以期通過建模情景及案例等數學學習活動，讓學生在學習和應用數學知識的過程中發展數學建模核心素養.教材主編之一的復旦大學李大潛院士指出：“數學建模.這是中學教材中的一個全新事物.它重點不在知識的傳授，而在實踐、體驗與感悟.”[4]

《普通高中數學課程標準(2017年版)》課程目標中指出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”)；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”).[5]“四基”之一的基本活動經驗，是指學生通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗.這里有兩個關鍵詞體現了其核心要義：一是“活動”，一是“親身經歷”.[6]

數學建模是基于學生的經驗，密切聯系學生自身生活和學習實際，體現對數學知識的綜合應用的實踐性課程，它比其他任何數學課程都更強調學生對實際活動過程的親歷和體驗.而傳統的數學教育歷來重視“雙基”——基礎知識、基本技能，且有關數學基本活動經驗與數學建模核心素養養成的實證研究以及應該如何開展數學基本活動的研究成果少之又少，本研究試圖從實證的角度，完善一套數學基本活動經驗的評價標準，并以案例校學生為例，揭示基于這一標準下的數學基本活動經驗與數學建模學業成績的關系，為數學教師引導與案例校相似水平學生開展數學建模活動提供實證依據.

2 研究對象與研究方法

2.1 研究對象

本調查以上海市民星中學2018級(2020年高中畢業)高三年級中的78名學生作為被試，被試學生高中三年均在案例校就讀且都參加了2019—2020學年由上海市楊浦區教育學院組織的基礎考、一模考、二模考，他們的平時數學課堂活動數據齊全且研究中需用到的三次區統考數學建模部分成績有信度和效度保證.上海市民星中學創建于1995年，是一所坐落于楊浦區中原地區的公立普通高級中學，現有高一高二高三三個年級，每個年級4個班.近年來，學校確立“向美而行，以美育人”的核心辦學理念，師生共同踐行“自強不息，超越自我”的學校精神內核，研究教學、發憤圖強.

2.2 研究方法

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.[7]為使對學生高中階段數學建模核心素養的評價更具信度、效度，本研究以被試學生高三階段參加區統一命題閱卷的數學基礎考、一模考、二模考中的實際應用題得分為依據，三次測試實際應用題分值均為14分，折合成百分制后再取平均值，作為該生數學建模核心素養折合分.數學基本活動經驗的衡量分為兩部分，即被試學生的“活動經歷與體驗”與“活動結果與收獲”共同構成基本活動經驗綜合分.

本研究把數學建模核心素養折合分、基本活動經驗綜合分分別作為因變量(Y)和自變量(X)，利用SPSSAU(SPSS在線分析)“相關分析”和“回歸分析”功能發現它們之間的關系、建立回歸方程，揭示基本活動經驗對數學建模核心素養的作用規律.本研究還在專家咨詢的基礎上進行“AHP層次分析”，確定基本活動經驗一級指標及二級指標的權重，與“回歸分析”的結果相比較，分析原因、總結規律，為開展好數學建模活動提供新鮮有效的經驗.

3 建立指標體系與收集數據

3.1 用指標與建立體系

閱讀相關文獻后，結合案例校學生數學活動開展情況，建立了高中數學基本活動經驗指標體系，分為活動經歷與體驗、活動結果與收獲兩個一級指標.前者是對學生參與數學活動的過程性評價，包括辨識、調用、反思、聚合4個二級指標，數據來源于任課教師評價；后者是對學生積累活動經驗的結果性評價，歸納為概念與命題、思想與方法、價值與精神3個二級指標[9]，數據來源于學生的測評問卷.

3.1.1 基本活動經驗的活動經歷與體驗指標

(1)辨識.準確辨析和識別數學問題中所包含的數學概念、規則或方法并合理再現；準確理解問題的條件和假設；將簡單的真實情境轉化為數學問題并準確加以表征或陳述.

(2)調用.準確運用數學概念、事實、原理、性質或方法等有序開展推理或運算，形成解決常規問題的模型，并獲得數學結論的過程；從圖表中提取數學信息，進行數據分析.

(3)反思.對數學問題的解答過程和結論加以檢驗、判定和評價，建立知識之間的聯系；將基于真實情境的問題的解答和結論回到問題情境中進行闡釋或明確其在問題情境中的實際意義.

(4)聚合.在解決新情境問題時，綜合地經歷以下過程：能學習、辨識數學知識或提煉數學問題并合理運用數學語言加以表述；在問題情境或限制條件約束的基礎上擬定方案，靈活運用策略、數據、模型及相關的數學技能、思想方法，或者創新地設計或運用新方法獲得結論；能評判結論的正確性、合理性或解釋結論的局限性等.[9]

3.1.2 基本活動經驗的活動結果與收獲指標

(1)概念與命題.主要從活動過程中在數與運算、方程與代數、圖形與幾何、函數與分析、數據整理與統計概率這些方面所形成的知識與技能的角度評價.

(2)思想與方法.主要從活動過程中形成的集合思想、對應思想、算法思想、概率思想、統計思想、化歸思想、數形結合、分類討論、分解與組合等數學基本思想以及坐標法、參數法、邏輯劃分與等價轉換等數學基本方法角度評價.[10]

(3)價值與精神.主要從活動過程中形成的創新意識、科學精神，對數學文化的了解以及積極參與到解決數學問題的活動中去的角度評價.

3.2 確定指標權重

本研究在確定基本活動經驗指標權重時，把它表示為有序的遞階層次結構，通過專家咨詢，確定指標權重.研究過程中共咨詢了6位專家，包括中學正高級教師1名、中學高級教師2名、中學一級教師3名，專家各自對指標間的重要性進行排序，得出均值后利用SPSSAU“AHP層次分析”功能，得出各指標權重(表1).

表1 基本活動經驗評價指標體系與權重

3.3 制定評價標準及開發評價工具

本研究以專家咨詢結果及文獻資料并結合實際情況，明確了活動經歷與體驗的4個二級指標的評價標準(表2)，并開發了活動收獲與結果的3個二級指標的測評問卷.

表2 基本活動經驗的活動經歷與體驗評價標準

續表

3.3.1 基本活動經驗的活動經歷與體驗評價標準

3.3.2 基本活動經驗的活動結果與收獲水平測評工具

活動經歷與體驗是對學生活動過程的主觀評價，而活動結果與收獲是活動后的內化、轉化、升華，通過測評問卷的形式來獲取數據.測量工具以與高中數學內容相關的單選題(4選1)形式出現，20題，滿分100分；回答正確得5分，回答錯誤得0分；測題在課堂上作為數學練習要求學生在40分鐘內完成.使用SPSSAU對測題進行了信度分析，克朗巴哈系數(Cronbachα系數)為0.847，表明該測試有非常好的信度.

表3 基本活動經驗的活動收獲與結果各指標測題

3.4 采集數據

2020年6月，從案例校教務處獲取被試的78名學生數學參加區基礎考、一模考、二模考成績，三次考試滿分均為150分，基礎考第18題、一模二模第19題均為實際應用題，分值14分，將每位學生該題的得分*100/14,取三次的平均值作為該生數學建模核心素養折合分.同時，數學任課教師對學生高中三年數學活動經歷與體驗評分，評分信度為0.767，信度質量良好.當月，對案例校學生進行活動收獲和結果指標的測評問卷，被試學生的問卷均收回且有效.取每位學生活動經歷與體驗與活動收獲和結果的算術平均數作為該生的數學基本活動經驗綜合分，與學生的數學建模核心素養折合分進行相關分析，同時將數學建模核心素養折合分與二級指標進一步細化分析.利用Excel公式求平均值、標準差、最大值、最小值功能，案例校數學基本活動經驗綜合分平均分為61.59，其中活動經歷與體驗平均分56.51，活動收獲與結果平均分64.63；數學建模核心素養折合分平均分37.07.各指標中，“概念與命題”均分得分相對較高、標準差相對較小，分別為84.29、18.83；“聚合”均分最低，為51.7.

表4 案例校數學基本活動經驗測評數據描述統計

4 調研結果

4.1 數學基本活動經驗與數學建模核心素養的相關分析

使用皮爾遜相關法研究數學基本活動經驗綜合分與數學建模核心素養折合分之間的相關關系.數學基本活動經驗綜合分與數學建模核心素養折合分之間的相關系數為0.955，并且呈現出0.01水平的顯著性，說明數學基本活動經驗與數學建模核心素養之間有著顯著的正相關關系.

4.2 數學基本活動經驗與數學建模核心素養的回歸分析

以數學基本活動經驗綜合分為自變量、數學建模核心素養折合分為因變量作散點圖，從散點圖可以看出數學基本活動經驗綜合分越高、數學建模核心素養折合分越高，而且兩變量間呈現非常明顯的線性關系.

圖1 數學基本活動經驗綜合分和數學建模核心素養折合分的關系擬合曲線

AVOVA表顯示F值為786.241，P值為0.000，小于0.01，說明該模型是有統計意義的.模型的決定系數R2為0.912，調整后的決定系數為0.911，決定系數的取值接近1，可以認為該模型解釋效果好.

系數表給出了回歸方程中的常數項、回歸系數估計值和檢驗結果.由此寫出回歸方程：數學建模核心素養折合分=-42.127+1.286*數學基本活動經驗綜合分

分析結果說明，數學基本活動經驗綜合分可以解釋數學建模核心素養折合分91.2%的變化原因.數學基本活動經驗綜合分每增加1分，數學建模核心素養折合分可提高1.286分.

4.3 各指標對數學建模核心素養影響的強度分析

4.3.1 一級指標對數學建模核心素養影響的強度分析

利用SPSSAU多元線性回歸功能確定數學活動經歷與體驗、數學活動收獲與結果兩個一級指標對數學建模核心素養的作用強度，回歸參數如下.

表5 活動經歷與體驗、活動收獲與結果與數學建模核心素養的多元線性回歸分析參數

標準化系數說明，活動經歷與體驗比活動收獲與結果對數學建模核心素養的影響強度更大，前者的作用強度約為后者的4.3倍.在活動收獲與結果保持不變的前提下，活動經歷與體驗每提高1分，數學建模核心素養提高1.055分；在活動經歷與體驗不變的前提下，活動收獲與結果每提高1分，數學建模核心素養提高0.242分.因此，通過學生親身經歷、親自感悟獲得的活動經歷與體驗比直接從書本、從教師那獲得結論更重要，專家咨詢的結論亦是如此.

4.3.2 各二級指標對數學建模核心素養影響的強度分析

以活動經歷與體驗的4個二級指標為自變量，以數學建模核心素養折合分為因變量，利用SPSSAU進行多元線性回歸分析，研究4個二級指標對數學建模核心素養的影響強度.同樣地，以活動收獲與結果的3個二級指標為自變量，得到如表7的回歸結果.

表6 活動經歷與體驗的4個二級指標與數學建模核心素養的多元線性回歸分析參數

表7 活動收獲與結果的3個二級指標與數學建模核心素養的多元線性回歸分析參數

表中，標準系數越大，說明自變量對因變量的影響強度越大.活動經歷與體驗的4個二級指標的影響強度由大到小如下：辨識>調用>聚合>反思，與專家咨詢后設置的指標權重(聚合>調用>反思>辨識)并不吻合.案例校的實際情況可能是部分學生在閱讀數學文本時就遇到了困難，不能從文本中提取精髓而無法或錯誤地開展后續的運算或推理步驟；而專家則是從成功實施數學建模或開展探究活動的關鍵環節或主要步驟的角度進行排序，更符合一般情況.

活動收獲與結果的3個二級指標的影響強度由大到小如下：思想與方法>價值與精神>概念與命題，與專家咨詢后設置的指標權重一致.其中，“概念與命題”對數學建模核心素養折合分影響最小，且在回歸模型中的顯著程度為0.659，大于0.05，回歸不顯著，可認為：“概念與命題”是數學核心素養中最基礎的部分，數學建模核心素養綜合性強，建模是綜合應用數學知識的過程，雖然學生在“概念與命題”部分的均分最高、標準差最小，但只“有”而不會用數學知識是不能真正解決實際問題的.“思想與方法”的作用最為顯著，即領會了數學思想、掌握了數學方法與否，數學建模核心素養呈現出較大差異，“思想與方法”的均分在各項二級指標中處于末端，可以將“思想與方法”作為聯系數學知識的紐帶，以此為橋梁提高數學建模核心素養.

5 結論與討論

5.1 重視數學活動，活動經驗更有助于數學建模素養的累積

正如荷蘭數學家弗賴登塔爾強調“數學學習是一種活動”，本研究結果表明：數學基本活動經驗綜合分可以解釋數學建模核心素養折合分91.2%的變化原因；兩個一級指標中，活動經歷與體驗比活動收獲與結果對數學建模核心素養的影響強度更大.對于上海新教材數學建模部分的教學，不能穿新鞋走老路，僅依靠學生看書、教師講解的方法來實施；而是通過創設情境、問題解決等方式設計系列化的數學活動，充分調動學生的積極性，主動投入到數學建模實踐活動中去，在體驗中感悟、反思，積累解決數學問題的經驗.

5.2 依據學生水平，循序漸進發展數學建模核心素養

從數據分析中看出，活動經歷與體驗的4個二級指標對數學建模核心素養的影響強度“辨識>調用>聚合>反思”異于專家咨詢后設置的指標權重“聚合>調用>反思>辨識”.這說明案例校學生數學建模水平還處于初級階段，盡管數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，但由于其綜合性強，培養學生數學建模核心素養不是一蹴而就的、而應循序漸進.建議對于案例校層次的學生，教師可以將“辨識、調用、反思、聚合”拆分開滲透到平時的概念、定理、公式教學中，既降低難度、又處處體現數學建模的精神；對于數學建模的案例亦需精挑細選、逐步深入，使學生在體驗中積累素養.

5.3 全面發展“四基”，共同支撐起數學學科核心素養的養成

從數據分析中看出，活動收獲與結果的3個二級指標中，“思想與方法”對數學建模核心素養的影響強度最顯著，而學生擅長的“概念與命題”回歸卻不顯著.僅憑扎實的數學基礎、熟練的基本技能已不能滿足發展數學學科核心素養的要求，數學建模更需要學生需具備“怎么思維和認知”的策略性知識即元認知，需要數學的思維方式、思想觀念、精神文化等深度學習來實現.這既說明“四基”發展的不平衡、也顯示出了“四基”發展的巨大潛力，教師必須轉變觀念，將數學基礎知識、基本技能與基本思想、基本活動經驗真正作為一個整體，共同支撐起數學學科核心素養的養成.