從聯系的觀點看教學難點的類型*

鐘志華

(南通大學理學院 226019)

聯系的觀點是如此基本，以至于常常被人們所忽視.雷鈉特·N·凱恩、杰弗里·凱恩在《創設聯結：教學與人腦》一書中指出：學習的本質就在于找出所學知識與學習者已經知道和看重的東西之間是如何相關的，以及信息和經驗之間是怎樣聯系的.[1]《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出，世界上一切事物都是相互聯系的.學生不應該就事論事地學習數學，不應該孤立地學習數學，不應該局限地學習數學，而應該在普遍聯系中學習數學.在數學學習中要深刻體會數學知識之間、數學與其他學科之間以及數學與生活之間的聯系.……要善于把學到的數學知識建成網狀的知識體系，從而提高學生對數學的整體認識和宏觀把握，提高學生的數學素養.[2]美國數學課程標準也非常重視“聯系”，它認為要使學生了解和掌握知識之間的聯系十分重要，這是數學教學中必須強調的一項重大任務.學生有了這種了解和掌握，他就能領會數學是一個有機的整體而不是一堆孤立、凌亂的東西；他對事物的考察就能從多方面去進行，思維就會更加活躍，解決問題的手法就會更加靈活多樣，數學能力就能得到提高.[3]可見，聯系觀點不僅是我國數學課程標準倡導的核心理念，而且在美國等很多發達國家也得到廣泛認同.

因此，在新知識的教學中，教師不僅需要時時注意前后知識之間是否有聯系？有什么聯系？而且還要進一步運用聯系的觀點去分析為什么學生難以發現并建立知識之間的聯系？為什么難以建立非人為的實質性的聯系(奧蘇貝爾語)？即要運用聯系的觀點去分析教學難點的類型、成因及突破策略等.[5]本文運用聯系的觀點分析教學難點的類型.

1 從聯系形成的過程看

按照聯系形成的過程難點可分為：聯系識別中的難點、聯系解構中的難點、聯系建構中的難點、聯系轉換中的難點、聯系表征中的難點等.

1.1 聯系識別中的難點

1.2 聯系解構中的難點

所謂聯系解構，它是分析所研究對象的構成要素、組成成分及其彼此關系的過程.在生活中，我們都有這樣的經驗，當碰到一件比較復雜的對象時常常要對其進行分解或分析，看看它由哪些部分或要素組成，各部分或要素之間有什么關系，…….當我們把所研究的對象分析清楚后再返回去看則會清晰很多，這其實就是解構的思想方法.比如函數這一概念的學習過程中就需要分析函數概念的內涵、三要素、外延(即函數到底包括哪些函數)、性質(研究函數應從哪些方面去進行)、函數概念的理解過程以及函數定義所體現的數學思想(到底是變量思想、對應思想還是關系思想)等，在函數概念的教學中系統、深入解構這些關系常常成為函數教學的難點.又比如對命題的研究需要搞清楚命題的前提與結論，命題的發現、證明及應用過程，命題是簡單命題還是復合命題，命題中有無量詞，命題的功能與適用條件，該命題與其它命題有什么聯系等.如果在這些方面存在困難就可以說是聯系解構中存在困難.

再比如，在解決問題過程中時常要將一個問題分解為若干小問題或將解決問題的過程分解為若干環節，特別是碰到問題中含有多個變元、多個字母時還需要進行分類討論，在這些地方學生往往會出現解構困難.比如“已知△ABC的兩邊a,b是方程：x2-4x+m=0的兩根，且兩邊夾角的余弦是方程5x2-6x-8=0的根，求這個三角形面積的最大值.”這是一道代數、幾何、三角知識的綜合題，學生一看到這樣復雜的問題常常感覺腦子一片空白，但若能將它“拆”成以下4個基本題：(1)若△ABC的兩邊a,b是方程：x2-4x+m=0的兩根，求a,b；(2)cosC是方程方程5x2-6x-8=0的根，求sinC；(3)由(1)、(2)寫出△ABC的面積S和a之間的函數關系式；(4)求S的最大值，那么題目的結構和解題思路也就清楚多了.

1.3 聯系建構中的難點

所謂聯系建構，它是將所理解的對象與原有認知結構建立非人為的實質性聯系的過程.聯系建構中的難點通常是由于學習者認知結構不夠完善或缺乏一定的數學思想方法指導.比如許多學生一般對對頂角、余角、補角、鄰補角、直角、同位角、內錯角、同旁內角等具體概念理解并不存在多大困難，但要他們弄清楚這些概念之間的區別與聯系就比較困難，即難以將新概念很好地納入原有的概念網絡而形成概念系，這就是聯系建構過程中的難點，造成這一難點的重要原因是學生沒有很好地掌握分類這一重要數學思想方法；再比如，三角函數眾多公式的學習一直是教學的難點，學生不能很好地理解各公式之間的內在聯系，因而無法將新學習的公式(命題)納入頭腦已有的命題網絡之中，造成這一現象的原因除有學生原有認知結構不夠完善這一因素外，更主要的可能是學生缺乏變換這一數學思想方法，不能從變換這一角度來理解這些公式之間的內在聯系.

1.4 聯系轉換中的難點

聯系轉換就是要識別變化中的“不變性”，其實質是“異中求同”.數學中有許多知識似是而非、似非而是，準確識別數學知識之間的區別與聯系對深化數學理解至關重要.比如初學者在學習相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理時往往只知道它們之間的區別，而不知道它們之間的聯系，而如果能用變換的觀點來認識它們，就會發現相交弦定理是兩直線交點在圓內的情形，而割線定理是兩直線交點在圓外的情形、切割線定理是割線定理的特例、切線長定理又是切割線定理的特例，這樣原來四個彼此孤立的定理通過變換這一數學思想方法巧妙地聯系在一起，從而使學生不僅見樹而且見林.

再比如相交線與平行線這一章有對頂角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；鄰補角互補等性質，初學者對如此眾多的定理常常感覺眼花繚亂，難以捉摸.如果能用變式的觀點來揭示它們之間的內在聯系，那么就會發現兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補這三個定理相互等價，可以彼此相互推導；而對頂角相等則是兩直線平行，內錯角相等這一定理的特例(兩平行線互相重合時的情形)；鄰補角互補又是兩直線平行，同旁內角互補的特例(兩平行線互相重合時的情形)；而所有上述定理又可以看做是“如果一個角的兩邊分別平行于另外一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補”這一定理的特例.可見，如果能善于發現不同命題之間的內在聯系，那么不僅有助于學生準確把握彼此之間的本質與區別，而且有助于促進學習者的深度理解.相反，如果不能很好地揭示它們之間的區別與聯系就容易造成學習的困難.如有學生解“求f(x)=loga(x-1)+2，(a>0,a≠1)所恒過的點.”這道題的困難在于不善于將非標準問題轉化為“求F(x)=logax，(a>0,a≠1)所恒過的點”這一標準問題，因此，雖然學生知道后者的答案，卻想不到將前者轉化為后者.

1.5 聯系表征中的難點

聯系表征是對所理解對象進行數學表征的過程.數學知識最終都要采用數學語言來進行表征，因此如果數學語言表征方面存在困難必然會造成學生數學理解困難.我們經常見到這樣的現象，許多數學知識直觀上理解可能不一定存在困難，但如果用嚴格的數學語言來表征就會出現困難，特別是那些含有特殊的、晦澀的數學名詞、數學短語、較復雜的數學語句等，學生的理解尤為困難.比如學生一般都能認識三角形、圓、橢圓并能用自己的日常語言來進行描述，“三角形就是三條線段連在一起的圖形”“圓就是像太陽那樣圓圓的東西”“橢圓就是扁的圓”，但要學生運用正確的數學語言來定義這些概念卻很困難.這里除了因為學生對這些圖形的本質屬性缺乏深刻認識外，語言表征能力薄弱也是非常重要的原因.

又比如函數的單調性、對稱性、凹凸性以及極限等概念從直觀上學生一般很容易就能理解，但用嚴格的數學語言來表征就很困難.這也是為什么在初中階段雖然出現了y隨著x的增大而增大(減小)、圖形關于原點(y軸)對稱等術語，而不出現單調性、奇偶性等概念，就是考慮到初中學生理解這些形式化的數學概念存在困難.另外，數學語言表征的困難還體現在數學語言的轉換上，如果數學語言轉換能力薄弱也會造成理解困難，比如許多學生一見到文字題就感到害怕，究其根由是學生不善于將文字語言轉化為圖形語言或符號語言；又比如有些學生雖然能對數學概念倒背如流，但若問他們到底是什么意思卻一問三不知，造成這一現象的主要原因是學生未能將新知識轉換成自己的內部語言(即表象型語言)或者難以用自己的語言正確地表達出來.

2 從聯系的表現形式看

按照聯系的表現形式教學難點可分為聯系斷裂型難點、聯系跳躍型難點、聯系隱蔽型難點、聯系復雜型難點、聯系模糊型難點、聯系錯位型難點、聯系沖突型難點(也稱疑點)等類型.

2.1 聯系斷裂型難點

所謂聯系斷裂型難點就是我們通常所說的“忘記”.其實質是知識之間沒有形成連通的網絡，亦即由于新舊知識之間非人為的、實質性聯系的斷裂而影響知識的正確運用和順暢遷移.所謂非人為的聯系是指新知識與原有認知結構中有關觀念建立合理的或合乎邏輯的聯系；實質性聯系是指新的代表觀念與學習者認知結構中已有的表象、有意義的符號、概念或命題的聯系.這種聯系要求學習者心理內部對知識的表征(或所賦予意義)與知識的客觀意義應建立一種合理的或合乎邏輯的“等價關系”，否則，必然會出現知識“斷鏈”.如很多學生記不住三角函數公式，其根本原因是只單純地死背公式，而未能建立起公式與單位圓、象限角之間的聯系.建構主義認為，學生建構知識的基本方式是同化和順應.同化是指學習者把外在信息納入到已有的認知結構，以豐富和加強已有的思維傾向和行為模式，使原有的知識體系得到擴大；順應是指學習者已有的認知結構與新的外在信息產生沖突，引發原有認知結構的重組和調整，從而建立新的認知結構.同化是認知結構的量變，而順應則是認知結構的質變.知識斷鏈，一方面可能是由于新知識未能歸入到原有認知結構，另一方面可能是雖然學習了新知識，但未能使原有認知結構得到重組和改善，因而致使學習形式化，知識表面化.比如許多學生在學習對數函數的定義時對底數a為什么必須大于0且不等于1常常感到困難，這主要就是對數函數與指數函數之間的聯系斷裂所致.

2.2 聯系跳躍型難點

聯系跳躍型難點又稱為抽象性難點.這類難點通常發生在從具體事物中抽象出這類事物的共同特征與本質屬性，或從較低的知識結構向較高知識結構的躍遷階段或思維方式發生明顯變化的階段.比如從大量圓的實例中通過歸納抽象出“到一個定點距離等于定值”這一本質屬性，從大量平行四邊形的實例中通過歸納抽象出“兩組對邊分別平行”這一本質屬性等就屬于第一類難點；而從算術到代數式、從一元一次方程到二元一次方程組、從平面幾何到立體幾何的學習等則屬于第二類難點.第三類難點常發生在學生思維從感性思維到理性思維、從邏輯思維到辯證思維、從正向思維到逆向思維、從綜合思維到分析思維、從定性思維到定量思維等階段.比如在初中階段新知識的引入往往與日常生活、生產實際相聯系，比較形象、直觀，遵循從感性認識逐步過渡到理性認識的規律；而高中不僅涉及集合語言、函數語言等抽象的數學語言，而且對數學思想方法運用的要求比較高，解決問題時常常要綜合運用化歸、分類討論、數形結合等數學思想方法才能解決.由于這類難點或發生在思維或認知發展的關鍵階段，或需要具有較強的抽象概括能力，因此，教師在進行教學時應高度重視這類難點所造成的消極影響，要采取鋪墊、架橋、分解、轉換等方法來化難為易、化繁為簡、化抽象為具體.比如剛學立體幾何的學生往往思維還停留在平面幾何的認識水平，他們觀察立體問題時總習慣于把立體圖形當成平面圖形，比如有學生在求下圖中的線段EF與EG(E、F、G分別為立方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、AB、A1D的中點，)的夾角時，就出現了“因為∠AEF=45°，∠A1EG=45°，所以∠FEG=180°-45°-45°=90°”這樣的錯誤.

圖1

2.3 聯系隱蔽型難點

方法隱蔽型難點在教材中比較普遍，如證明“平行于同一直線的兩條直線互相平行”這一定理時采用的反證法、證明三角形內角和定理時所用的添加輔助性方法、求等比數列前n項和時用的錯位相減法等都屬于方法隱蔽型難點；線索隱蔽型難點主要體現在運用數學思想、數學方法將零散的數學知識整理為完整的知識結構的過程中，比如用函數的觀點把“數”、“式”、“方程”、“不等式”、“數列”等知識串聯在一起就一直是學生代數學習中存在的線索隱蔽型難點.

2.4 聯系復雜型難點

聯系復雜型難點是指由于知識結構或解題過程中聯系縱橫交錯、分支太多或“拐彎”太多等原因所造成的難點.比如在平面幾何入門階段兩角之間各種關系的區別與聯系一直是許多學生的難點，很多學生由于無法理清它們之間的錯綜復雜關系而對平面幾何的學習產生畏懼.如果教師能引導學生梳理出以下關系，那無論對于突破學生的學習難點，還是對于激發學生的學習興趣、提振學生學好數學的信心都很有裨益.

圖2

又比如，在數學問題的解決中，有的需要反復分類、有的會繞很多“彎”.如果在解題時不能恰當地進行分類或在繞彎的過程中迷失方向或斷了線索都有可能造成教學難點.例如“設函數f(x)對于任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時f(x)<0，f(1)=-2.(1)求f(0)；(2)試問在x∈[-3,3]時f(x)是否有最大、最小值？如果有，請求出來，如果沒有，說明理由.”這道題的解決過程就要經歷：(1)求f(0)；(2)根據f(x+y)=f(x)+f(y)及f(0)得到函數f(x)為奇函數；(3)將閉區間上函數的最大值、最小值問題轉化為求函數的單調性區間問題；(4)聯想函數單調性定義將f(x+y)=f(x)+f(y)轉化為f(x+y)-f(x)=f(y)并把x+y與x分別看作是單調性定義中的x1,x2(x1>x2)；(5)由f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)及x>0時f(x)<0得到函數f(x)為單調減函數從而確定最大(小)值在端點處取得；(6)根據f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2求得最小值為f(3)=-6.(7)根據函數是奇函數求得最大值為f(-3)=6等如此復雜的過程，哪一個環節出了問題都會造成解題困難.

2.5 聯系模糊型難點

學習者由于遺忘或對知識的理解不夠深入、不夠全面或對知識之間的內在聯系不夠清晰等原因，常常會造成學習者頭腦中的知識之間聯系出現模糊現象.由這些原因導致的難點稱為聯系模糊型難點.聯系模糊型難點的表現是聯系時有時無、時斷時續，忽隱忽現，它常給人以一種似懂非懂、似是而非的感覺.比如在生活中經常碰到這樣的現象，突然遇見一個以前的熟人，但就是叫不出名字，這其實就是思維模糊型難點的一種表現.又比如“已知f(x)是定義在(-1,1)上的單調減函數，且為奇函數，若實數a滿足f(a-2)+f(4-a2)<0，求a的取值范圍.”許多學生見到這題以后常常一頭霧水，他們認為a的代數式在“f”的里面，怎能得到關于a的直接關系式呢？他們為如何脫去“f”一籌莫展.這些學生為什么做不出這道題呢？其關鍵原因在于對函數單調性的概念理解不全面、不深刻.因為這些學生通常只知道由x1f(x2)去判定函數單調減.殊不知在函數單調的前提下可以由f(x1)>f(x2)?x1

再比如，高中代數第一單元，許多學生學完以后感覺內容既多又雜，十分凌亂，很難理出頭緒.但如果仔細梳理就會發現這一單元從總體上可以分為集合、映射和函數這三大部分.而集合這一部分又包括集合的涵義與表示、集合間的基本關系和集合的基本運算這三小部分；映射這一部分又包括對應、映射與一一映射(對應或映射的特例)等；而函數這一部分又包括函數的概念、函數的三要素(構成函數的要件)、函數的性質(內涵)、函數的類型(外延)、函數的圖像(屬于函數的表示問題)等.而這三大部分之間也有非常密切的聯系：集合是研究映射和函數的基礎和工具，而對應、映射(函數)則是研究集合之間關系的一種方法.在初中階段研究兩個集合之間的關系要么采用整體和定性的研究方法，要么采用運動和變化的觀點來研究，如研究直線的平行與相交、三角形的全等與相似等既可以認為是整體研究方法也可以認為是采用了運動和變化的觀點；而初中函數的研究一般采用的是運動變化的觀點(變量說)，采取的是定性研究的方法(用文字語言描述函數的單調性、奇偶性).而到了高中階段研究兩個集合之間的關系則采用了分析的辦法(通過研究兩個集合中的元素關系來研究這兩個集合之間的關系)，顯然這種研究方法更精細、更嚴密，同時也為運用代數方法研究幾何問題奠定了基礎.理解了這一點，就知道為什么要先研究集合，為什么研究了集合以后馬上要研究映射，為什么研究了映射以后要研究函數的性質和各種基本初等函數等等.

2.6 聯系錯位型難點

2.7 聯系沖突型難點(也稱疑點)

所謂疑點，就是指學生在學習過程中所遺留下來的疑問之處，這種疑問又可以分成兩種：一種是對教材本身尚不很理解所留下的疑問.比如，有些高中學生在學完函數概念以后常常會產生“既然初中已經學過函數概念，為什么高中還要再學？”“初高中函數概念之間到底有什么區別與聯系？”等疑問；另一種是對教材已經理解，但從舊知識的基礎上產生了新的疑問，個別思維能力很強的學生還會提出比較新穎且具創建性的問題.比如，有學生在學了圓與圓的位置關系以后馬上向老師提出質疑，他說：“老師，我覺得圓與圓的位置關系不止五種，比如一個圓從另外一個圓中穿過就不屬于我們課上講的情況.”又比如，在學了等差數列、等比數列以后，就有學生問老師“有既成等差又成等比的數列嗎？”等等.諸如此類問題教師在教學過程中經常會碰到.應該說，學生在學習過程中，有疑問是完全正常的，也完全符合思維邏輯發展的過程，特別對后一種疑問，更應該積極引導，熱情關注，而不應該抱著學生是在故意找茬或想讓老師出洋相這樣一種與學生對立的態度去對待學生的疑問.事實上，學生有疑問，正說明學生在積極思維，教師不僅應該充分認識疑問的潛在價值，如可以澄清學生疑惑、生成新的知識，產生新的發現、促進創新能力培養等；而且應該對提出疑問的學生進行鼓勵，培養他們勇于提問的意識與積極性.