數學課堂教學應“順勢而導”①

余業兵 張曉斌 范美卿 龍萬明

(1.西南大學附屬中學校 400700；2.重慶市教育科學研究院 400015；3.重慶市育才中學校 400050)

1 問題的提出

數學課堂教學是一個動態生成的過程，它具有生成性、開放性以及多變性.課堂教學中的生成源于教師的預設，是學生的已有知識儲備、數學活動經驗、數學思維經驗、即時的情感態度等對教師預設問題綜合作用的結果.這種動態的結果有的是按教師預設的目標穩步推進的，也有的是即時的、無序的、不斷變化的、不可完全預設的.那么我們如何把握這種動態課堂，以取得更好的教學效果呢？筆者認為，教師應對教學的素材包括即時產生的素材“順勢而導”，順應數學，順應學生，隨數學知識發生發展的規律和學生的思維設計或者適時調整自身的教學設計，靈活調控，順勢引導，這樣的課堂方能收到好的效果.

2 什么是課堂教學中的“順勢而導”

在瑞士結構心理學家皮亞杰看來，“人生而理性，人都有一種理解世界如何運作并找出它們存在的次序、結構和可預測性的內在需要.這種個體對世界的理解和他們的經驗之間的認知平衡狀態叫做趨力(equilibration)”[1].面對新知識，如果用已有知識經驗可以理解，則用同化方式；否則采用順應的方式，即調整已有的認知經驗，“從而與認知系統所擁有的知識和思考方式相一致”[2]，以達到一個更高水平的平衡.人的認知發展本質就是個體面對新的刺激信息，通過不斷的同化和順應，從較低水平的平衡到不平衡再到更高水平的平衡的不斷適應的過程.

根據皮亞杰平衡化建構理論，課堂教學動態過程是這樣的：學生先是處于一個從較低水平的平衡狀態，教師通過引導不斷給予學生新的刺激信息，在學生實現同化和順應的過程中，不斷達到更高水平的平衡狀態.為更好把握這種過程，促進學生認知水平更好發展和課堂效益最大化，教師給予的新刺激就必須順應學生的已有知識結構，考慮其當前對新刺激的同化與順應的能力水平.這樣的引導本質是教師對教學諸要素的一種順應，我們把課堂教學中這種順應引導叫做“順勢而導”.也就是說，課堂教學中教師要善于借助學生“學”的力量來發揮教師“導”的更大力量，即所謂“借力發力”.

3 數學課堂教學應順什么“勢”而導

章建躍博士說過：“數學教學應做到取勢、明道、優術.”[3]那么，就數學課堂教學而言，教師的引導應該取什么“勢”呢？這里的規律又都有哪些呢？我們通過案例就順什么“勢”，怎么“導”提出自己的一些思考與想法.

3.1 數學課堂教學要順“數學知識發生發展之勢”而導

一方面，數學知識往往是以核心概念及其產生的子概念等構成的知識群而存在的，這些知識的生成具有數學特有的生長規律；另一方面，每一個數學知識都在相應的知識體系中占有一定位置，具有相應作用，它的生成具有其體系內的邏輯規律.這就要求我們教師在課堂引導時順應這種規律，只有這樣，學生獲得的知識才是邏輯嚴密的有機整體，過程中的感悟與思維才更有序.

案例1“條件事件與積事件”教學片段

問題1已知試驗Ω：“拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次”，已知事件A為“第一次出現正面”， 事件B為“第二次出現正面”，事件C=A∩B.求事件A、B、C的概率并用圖形來表示它們的關系，你發現了什么規律？

師：這就是說，兩個事件積的概率等于概率之積.

變式若事件D：“至少有一次出現正面”，求概率P(C·D).

追問1對任意兩個隨機事件一定有積的概率等于概率的積嗎？

師：那P(A·B)與P(A)、P(B)到底有什么關系呢？ 請看后面的問題.

追問2設事件E: “在第一次出現正面的條件下，第二次出現正面”, 求概率P(E).

師：你算出的結果與事件C一樣，那么它們真的一樣嗎？

生3：…….(思考中，迷惘，有同學手舉很高的，老師堅持等待一會兒)

師：說得非常好，結果總數變了，說明什么變了？

生3：前提條件變了，事件C的前提是這次試驗Ω：“拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次”，事件E的前提是事件A.

師：事件A都已經發生了還說明了什么？

生3：事件A成了必然事件.

師：很好，事件C和事件E發生的前提條件不同，事件A的隨機性也不同.(即時做出表格)

不同點條件事件E積事件C發生前提這次試驗事件A事件A必然事件隨機事件

追問3你能用圖形表達這種區別嗎？

生3：條件事件是A∩B在A(條件)中占的比例，而積事件是A∩B在全集中所占的比例.

設計意圖通過嘗試發現積事件的概率和事件概率的積引發學生的探究欲，再進一步把條件事件和積事件做充分的比較學習，使學生在充分體會概念內部邏輯關系的同時，鍛煉其發現問題和分析問題的能力，落實邏輯推理核心素養的培養.

案例評述“條件概率”這個概念一直是學生學習的一個難點和易錯點，這里教師借助“條件概率”和“積事件的概率”的區別與聯系(片段中側重了區別，聯系限于篇幅未在文中給出)，在引導中充分順應條件概率概念產生發展的過程及其在概念體系中的邏輯關系，也就是順應了數學知識發生發展之“勢”，學生學起來也就不那么困難了.

3.2 數學課堂教學要順“學生當前認知結構之勢”而導

教育心理學家奧蘇貝爾認為：“學習過程是在原有的認知結構的基礎上，形成新的認知結構的過程.”[4]根據這一理論，學生原有的認知結構對于新的學習是一個極其關鍵的因素，這就要求教師的引導應充分考慮學生已有的認知結構，既不能把問題設置得過于簡單，表面上課堂很熱鬧，而實際上學生的思維并未得到充分的鍛煉；也不能設置得過難，讓學生夠不著，學生思維根本不能到達；更不能重復學生已經會了的發現.順應學生的認知結構一般說來應包括兩個方面:一是順應學生已有的知識結構，即教師的引導應充分考慮學生以往所學的相關知識對新學知識可能出現的認識與理解；二是順應學生的已有活動經驗，即教師的引導要考慮學生對類似問題曾經有過的類似數學活動經驗可能產生的類比遷移.

案例2“平面向量的實際背景及基本概念”教學片段

?向量集中的特殊元素

問題3向量集當中，有沒有特殊的元素呢？

實數集向量集特殊元素0零向量1單位向量

追問1在實數集中，有沒有特殊的元素？那么向量呢？

?向量與向量的關系

問題4我們研究了向量集中的兩種特殊元素，那么向量與向量之間有沒有什么特殊關系呢？

活動2如圖正方形ABCD與正方形CDEF，利用圖中的線段作出向量，你能發現兩個向量之間的一些特殊關系嗎？(兩分鐘獨立思考，然后兩分鐘小組討論)

關系兩條線段兩個向量相等長度相等長度相等方向相同平行所在的兩直線沒有公共點方向相同或相反(也叫共線)

設計意圖通過類比學生熟悉的實數中的特殊元素啟迪學生思維，引導學生自己發現向量集中的特殊向量；在基于學生非常熟悉的兩條幾何線段特殊位置關系的基礎上設置開放性問題，引導學生自己發現向量中的特殊關系，積累了通過類比研究數學新對象的活動經驗，促進了學生“四能”的提升.

案例評述這里教師借助了學生非常熟悉的兩類已經學過的量(數量與幾何線段)進行類比學習，由于借助了學生已有的知識結構和研究經驗(研究實數和幾何線段的經驗)進行引導，這種順應使得新知的獲得不僅是學生主動思維的結果，更是為學生如何研究一種新的量提供了一個很好的范例.

3.3 數學課堂教學要順“學生實時思維活動之勢”而導

課堂教學中數學知識在學生頭腦中的加工過程往往異常復雜，學生的思維也會隨著教師的思維、同伴的思維、數學家的思維(或顯或隱存于數學知識背后)不斷變化，具有不可完全預見性，時不時會出現一些超出教師預設的意外.這就要求教師引導的重點應是在順應學生思維活動的前提下“提供適時和恰當的支持，提升思維的深度.”[5]一般說來，這種順應“學生思維活動”的引導需做到以下三點：一是要選好思維引導的切入點，通常是選取學生思維不易到達的地方進行引導，保持思維的復雜性和完整性；二是要善于利用學生已經解決過的問題，用其結果或用其方法或用其思維經驗，引導時要多用“元認知提示語”，比如“我們前面在分析一個函數時一般會分析它的什么？對于這個函數我們又該怎樣去分析它呢？”；三是要讓課堂節奏慢下來，留給學生思考的空間，要通過引導讓學生的思維深入下去，切忌引導問題設計太細、梯度太小而禁錮了學生的思考或用講解掩蓋了學生的思考，使學生掉入“學得多，悟得少”的誤區.

案例3“函數的單調性與導數”教學片段

?在上第一個班時遇到了一點意外

環節1概念的直觀感知與粗略猜想的提出

問題1求出下列函數的導函數并寫出單調區間.

追問1可導函數在某一個區間上的單調性與它的導函數有什么關系？

生：導函數大于零，則函數為增函數；反之，為減函數.

環節2概念的理性思考與辨析完備

問題2你能從幾何圖形的角度對這個猜想做出幾何解釋嗎？

生1：可導函數在某個區間上為增函數，從圖像上看，切線的斜率大于零，故導函數大于零.

(教師用幾何畫板動態演示)

師：很好，這就是我們今天要學習的“函數的單調性與導數的關系”.下面我們一起對它做一般性表述：

一般地，函數f(x)在某個區間D上可導，如果在區間D上f′(x)>0，那么函數f(x)在區間D上為增函數；如果在區間D上f′(x)<0，那么函數f(x)在區間D上為減函數.

師：也就是說“可導函數f(x)在區間D上f′(x)恒大于0”對于“f(x)在區間D上為增函數”來說是充分的.下面我們來看它的應用.

一個學生突然站起來說：老師，我有一個不成熟的想法，它有充要條件嗎？

師：有的，這是大學我們要研究的內容，高中階段不做要求.

生：哦…….(一副不甘心的樣子)

課后反思此處的教學處理總覺得不妥，學生思維既然能達到，為什么不順勢把充要條件講了，況且高考、自招均要考查單調性的逆向問題，那是需要f′(x)≥0的，更重要的是講了學生會對概念理解更深刻，既然講了利大于弊，干脆就講吧.教學不要機械地忠于教材，因為教材也不一定就絕對合理.

?在第二個班我們把教學設計改動了一下

環節1概念的直觀感知與粗略猜想的提出

問題1求出下列函數的導函數并寫出單調區間.(對題目做了調整)

追問1可導函數在某一個區間上的單調性與它的導函數有什么關系？

生：導函數大于零，則函數為增函數；反之，為減函數.

環節2概念的理性思考與辨析完備

問題2你能從幾何圖形的角度對這個猜想做出幾何解釋嗎？

生1：可導函數在某個區間上為增函數，從圖像上看，切線的斜率大于零，故導函數大于零.

追問1可導函數f(x)在區間D上f′(x)恒大于0，f(x)在區間D上一定為增函數嗎？

生1：一定為增函數，減函數切線的斜率應該是負的吧.

師：很好，這就是我們今天要學習的函數的單調性與導數的關系.下面我們一起對它做一般性表述：

一般地，函數f(x)在某個區間D上可導，如果在區間D上f′(x)>0，那么函數f(x)在區間D上為增函數；如果在區間D上f′(x)<0，那么函數f(x)在區間D上為減函數.

師：對于教材上的這個知識，老師有些疑問…….

追問2可導函數f(x)在區間D上為增函數，一定需要f′(x)恒大于0嗎？

生2：不一定，如f(x)=x3的導函數就是大于等于零的.

師：很好！也就是說“可導函數f(x)在區間D上f′(x)恒大于0”對于“f(x)在區間D上為增函數”來說僅僅是充分的.

生2：是的，它不必要.

師：老師還有一問題：

追問3可導函數f(x)在區間D上為增函數，f′(x)一定是恒大于等于0嗎？

生2：一定，因為小于零的話就是減函數了.

師：這個問題改為“可導函數f(x)在區間D上為增函數，一定需要f′(x)恒大于等于0嗎？”答案還是一定的嗎？

生2：…….

師：請坐下，有知道的嗎？

生2：老師，你繞我，前面不是講了嗎？大于0也可以啊.

追問4可導函數f(x)在區間D上f′(x)恒大于等于0，f(x)在區間D上一定為增函數嗎？

生3：不一定，如f(x)=e的導函數就是恒等于零的，但它不是增函數.

師：很好，既然可以等于零，又不能恒等于零，怎樣的情況才可以呢？

生3：是不是可以這樣理解，只要等于零的點是單個的就行？

師：非常好！我們可以這樣說，可導函數f(x)在區間D上f′(x)恒大于等于0，只要等于零的點是離散的，函數f(x)在區間D上一定為增函數.這里“離散”應該怎樣理解呢？

生3：就是不能構成一條連續的線段，那樣就會恒等于零了.

師：很好，于是我們可以得到一個有用的結論：

結論一般地，函數f(x)在某個區間D上可導，如果在區間D上f′(x)≥0，同時f′(x)=0的點是離散的，那么函數f(x)在區間D上為增函數.(減函數留給學生自己說)

設計意圖由于高中階段不要求掌握可導函數f(x)在某個區間D上單調的充要條件(涉及到子區間的概念學生無法理解)，實際應用時僅僅知道充分條件顯然是不夠的，我們在這里引導學生通過不斷質疑和辨析，雖然沒有給出充要條件，卻得到一個非常有用的結論.

案例評述教學中的一些意外是學生即時思維的結果，有時我們加以利用，選取適當的切入點順勢導之，不但可以加深對知識的理解，還可以保持學生思維的復雜性與完整性.本例改動后的設計順應了學生的思維，對教材內容進行了適度加工與拓展，在學生思維不易到達的地方提供了合理的支持，正是順應了學生實時的思維活動，取得不錯的效果也就順理成章了.

3.4 數學課堂教學要順“學生即時心理狀態之勢”而導

在數學教學中，我們體會到，凡是能積極、主動地參與獲取知識過程的學生，他們學習數學的興趣濃厚，求知愿望強烈，數學素養會得到較快發展.而在課堂教學中，伴隨著數學知識、教師思維、同伴的思維的動態作用，學生的心理狀態也在即時地發生著“化學反應”，實驗結果具有不可完全預見性：關注、興趣、期待、喜悅、興奮、迷茫、害怕、恐懼、焦慮、冷淡、抵觸、厭倦等皆有可能出現[6]，如何才能產生比較好的教學效果呢？我們認為，一個善于引導的教師往往能夠根據學生的即時的情緒和心理狀態，創設合適的情境，激發學生的思維，使學生產生濃厚的興趣，讓學生樂在其中，使其產生“興趣—成功—更大的興趣—更大的成功”的良性循環.具體地講，要做到以下三點：一是要借助學生的好奇創設合適的“情境”激發學生思考的熱情；二是要善于借助學生的錯誤制造矛盾沖突激發學生學習的興趣；三是善于制造懸疑激發學生的探究欲；四是要善于在學生犯囧或犯錯時用我們的恰當的語言保護學生的自尊心.

案例4“數系的擴充和復數的概念”教學片段

環節1情境再現與提出問題

問題1能否將10分成兩部分，使得它們的積為40？[7]

師：這是意大利數學家卡爾達諾(1501—1576)提出的一個問題，它可以化歸為求一元二次方程x2-10x+40=0的實數解.它有實數解嗎？

生：負數不能開方，所以無解.

案例評述這里通過歷史情境再現500年前的卡爾達諾說的這兩句話，不單單是為了融入數學文化，更重要的是通過情境制造懸疑激發學生想要弄明白的欲望，“為什么寫出的是兩個怪東西呢？”“為什么良心要受到責備呢？”“為什么他還是要寫出來呢？”學生的心理即刻產生了濃厚的興趣，順應學生這種心理狀態之“勢”而“導”，好的學習效果也就有了情感態度的保障.

4 對動態課堂中“勢”與“導”的一點感悟

課無常“勢”，“導”無定法.由于數學知識發生發展過程的復雜性和人的思維活動的復雜性，數學課堂中的生成總是多種多樣，學生的即時反應也是千變萬化的，這就導致了教師的“導”雖有一些規律可循，但也沒有一種固定的方法可依，這就要求我們只有不斷學習，不斷摸索，不斷反思，才有可能成為一位善于引導的教者.順什么“勢”，如何“導”的話題一直都在發生，也永遠都會發生！