通過代數運算研究數列建立數列模型解決問題

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在處理現實中的變化問題(例如存款利率、購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等)時，通常采用按時序間隔一定時間記錄數據的方法收集數據.如果將第n次記錄的數據表示為an，那么就得到了一個數列：a1，a2，a3，…，an，….以函數的觀點看，因為每一次記錄的數據都是唯一確定的，所以我們可把時間作為自變量進行數學建模，得出相應的函數模型以刻畫變化規律.所以，數列是一類特殊的函數.與函數的研究內容、過程和方法類似，高中階段對數列的研究也是以“背景——概念(定義、表示、分類)——性質——特例”為基本架構，其中“特例”是指等差數列、等比數列這兩類有明確的現實背景、可以給出精確的規律表達、在解決實際問題和數學問題中有重要應用價值的數列，對它們的研究按照“背景——概念——表示——性質——求和公式——應用”的路徑展開.其中，數列求和是數列這一對象的獨特研究內容，不僅與現實生產生活聯系緊密，自古以來都是人們感興趣的話題，求和過程中需要的代數變形技巧對人的智力具有挑戰性，因此非常引人入勝，而且其中蘊含著差分、微積分等基本思想，從而使數列成為研究函數問題的一個有力工具.在研究方法上，一列數中蘊含的規律一般是從具體到抽象，通過運算發現規律，通過代數推理證明規律，因而具有鮮明的代數特點.數列的學習能有效提升學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等素養.下面根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱“課程標準”)的要求，討論數學學科核心素養立意的數列教材與教學問題.

1 課程定位

課程標準認為，數列是一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應用.本單元的學習，可以幫助學生通過對日常生活中實際問題的分析,了解數列的概念；探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律，建立通項公式和前n項和公式；能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用；了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系，感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性.本單元課程內容包括：數列概念、等差數列、等比數列、數學歸納法.

分析上述表述可以發現，課程標準特別強調數列的函數屬性，不僅強調它是一類特殊的函數，而且要求把等差數列、等比數列分別和一次函數、指數函數聯系起來，由此感受數列與函數的共性和差異.事實上，對于任意一個函數y=f(x)，x∈A，只要N?A，那么f(1)，f(2)，f(3)，……就是一個數列.不過，數列的研究內容和方法還是有自己的特性.例如，對于函數的研究，對應關系、圖象與性質是主題，研究方法上強調數形結合，幾何直觀是非常重要的手段；而數列的研究中，通項公式(相應于函數的解析式)、求和公式是重點，更強調通過代數運算解決問題，其中數列的迭代問題是非常重要的.

如何理解“數列是研究其他類型函數的基本工具”？確切地說，在研究函數的變化規律時，一般是通過離散的形式(數列)，用數列的極限研究函數，這一點在高等數學中才能表現清楚.另外，如前所述，研究一個現實中的變化問題，往往要從處理這個變化過程中的數據入手，這些數據一定都是離散的，處理數據要用數列這個工具.

與函數的研究類似，對數列的研究，也是在了解數列的一般概念基礎上，著重對有規律的、在現實中有大量應用的數列——等差數列、等比數列展開研究.

2 本單元內容與要求

1.數列概念

通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數列是一種特殊函數.

2.等差數列

(1)通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義.

(2)探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系.

(3)能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題.

(4)體會等差數列與一元一次函數的關系.

3.等比數列

(1)通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義.

(2)探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系.

(3)能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題.

(4)體會等比數列與指數函數的關系.

4.*數學歸納法

了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題.

從課程標準的內容和要求中可以發現，對數列的研究，重點在等差數列和等比數列，當然要在了解數列的一般概念和表示的基礎上.課程標準規定的等差數列、等比數列內容和要求是同構的，因此兩者的教材結構、學習過程具有很強的可類比性.這兩類數列是最基本而有用的，對它們的概念、取值規律與應用的研究，將為學生研究其他類型的數列提供工具——我們往往通過代數變形將其他類型的數列化歸為等差或等比數列.“等差”、“等比”的規律具有非常豐富的表現形式，理解并能運用這些規律解決問題，需要有比較強的代數思維、推理和運算能力.

等差數列、等比數列的許多結論，例如通項公式、前n項和公式等，都是通過不完全歸納法得出的，其正確性需要利用數學歸納法進行證明.數學歸納法本質上是把一個涉及無窮的問題轉化為一個遞推關系命題P(n)?P(n+1)，通過具體例子讓學生明白第二步要證明的是一個新命題：以P(n)為條件，推出P(n+1)，這是重點，也是難點.

3 本單元的內容理解與教學思考

3.1 研究路徑的構建

與函數的整體架構完全類似，本單元包括數列的一般概念和特殊的數列兩部分，按照研究一個數學對象的基本套路展開，即:

數列的事實——數列的概念(定義、表示、分類)——數列的性質.

其中，數列的表示有通項公式、圖象、表格、列舉、遞推公式等等，遞推公式體現了數列的迭代特點，是一種重要形式.

等差數列與等比數列的研究路徑是：

事實——概念——通項公式——性質——前n項和公式——應用.

等差數列的性質本質上是自然數及其運算的性質，特別是“平均數”，其特例是等差中項；等比數列的性質本質上是指數冪及其運算的性質，其特例是等比中項.具體的將在后面闡釋.

3.2 研究數列這個數學對象的一般觀念是“運算”

代數學的根源在于運算，運算是發現和證明數列所蘊含規律的基本手段.例如，三角形數、正方形數、五邊形數、……的規律.

三角形數

正方形數

五邊形數

以運算的方式對這些多邊形數進行表達，規律就非常明顯.

三角形數：1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…

其中蘊含的規律是a1=1，an=an-1+n(n>1，n∈N)；

正方形數：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…

其中蘊含的規律是a1=1，an=an-1+(2n-1) (n>1，n∈N)；

五邊形數：1，1+4，1+4+7，1+4+7+10，…

其中蘊含的規律是a1=1，an=an-1+(3n-2) (n>1，n∈N)；

……

由此可以容易地得到任意的k邊形數的排列規律：

a1=1，an=an-1+(k-2)n-(k-3) (n>1，n∈N).

分析“等差數列”這個詞可以發現，“等差”是先通過減法運算發現“差相等”，然后再用嚴謹的數學語言表達這個規律而形成的；同樣，“等比數列”中的“等比”也是通過除法運算發現“比相等”，再用嚴謹的數學語言表達這個規律而形成的.

等差數列、等比數列的性質，基本而重要的是數列的項與項之間確定的關系，可以拓展到項與和、和與和的關系，本質上是“運算中的不變性、規律性”，所以發現這種關系要依靠代數運算.

3.3 如何幫助學生建立數列的基本概念

建立數列的一般概念，其困難在于想到在數列的項與序號之間建立聯系.數列中的每一項都有特定的位置，同樣的一些數，順序變了就是不同的數列.因此給定一個序號(即“數列中的第幾位”)就有唯一確定的數與之對應，這表明“數列是一類特殊的函數”.

為了引導學生理解數列的上述本質特征，人教A版先引入數學符號(hi或si)表示數列中的數，再揭示下標i的數學含義：下標i表示數列中的數按一定順序排列時的位置，或者說第i個位置的數只能是hi，這就從數學的角度說明了數列中的數是不能交換位置的，從而明確具體實例的本質特征——“具有確定順序的一列數”，然后順理成章地抽象出數列的一般形式{an}，并用符號表示為an=f(n)，從而與函數概念建立聯系.以下是人教A版構建的數列概念形成過程：

1.具體實例的分析

用數學的方式分析3個實例(生活、科學、數學)，分別得出“具有確定順序的一列數”的結論，在此過程中讓學生通過模仿熟悉這樣的表達方式.

2.給出定義

歸納具體實例的共同特征，給出定義，并明確相關概念(項、首項)，給出記號a1，a2，…，an，簡記為{an}.

3.用函數的觀點進行再認識

明確序號與項之間的對應關系an=f(n) 以及如何從一個函數中“導出”一個數列.

4.數列的表示

通項公式、表格、圖象、遞推公式等.

數列的表示中，遞推公式反映了數列中項之間的迭代關系，是非常重要的表示形式.另外，數列的前n項和公式Sn與通項公式an之間存在的關系在研究數列問題時具有特別的作用，是用構造法進行代數證明的主要依據.

5.數列的分類

與其他數學對象類似，數列也有不同的分類標準，例如遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列，有限數列和無窮數列等.

3.4 關于等差數列

1.如何引導學生抽象等差數列的本質特征

用數學的方式觀察一類事物，在空間形式上，一般從物體的組成元素(以點、直線、平面為基本元素)及其形狀和位置關系入手；在數量關系上，一般通過運算發現其共性、規律性，進而得出本質特征.

一個數列{an}具有“等差”的特性，是指其相鄰兩項之間具有確定的關系，即an+1-an=d對任意n∈N+都成立，其中d是一個定值.如果寫為an+1=an+d，那么就和自然數系的結構具有本質的一致性.自然數系中，n+1稱為n的后繼數，數列{an}中，an+1是an的后繼項.因此，等差數列的“原型”就是自然數列.這個觀點的意義是：在研究等差數列時，可以從對自然數的研究中得到啟發.

人教A版構建的等差數列概念形成過程如下：

第一步，通過“北京天壇圜丘壇地面從內到外各圈的石板數9，18，27，36，45，54，63，72，81”等具體實例，設置“思考”欄目：

在代數的學習中，我們總是通過運算來發現規律.例如，在指數函數的學習中，我們通過運算發現了A，B兩地旅游人數的變化規律.類似地，你能通過運算發現以上數列的取值規律嗎？

把學生的思維引到“運算”，通過運算發現數列的取值規律或相鄰兩項之間的關系.

學生比較自然地想到數列9，18，27，36，45，54，63，72，81蘊含的規律是“18=9+9，27=18+9，…，81=72+9”，教科書把表達方式改成“18-9=9，27-18=9，…，81-72=9”，并在“邊空”中提示：“改變表達方式使數列的取值規律更突出了”，再用字母代替得到a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9， 從而使“規律”有了一般性，由此得出取值規律：從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.

第二步，再以“數列②～④是否也有這樣的規律？”引導學生自己驗證.

第三步，在學生充分感知等差數列本質特征的基礎上，抽象出等差數列的定義.

第四步，通過迭代的方法得出等差數列的通項公式.

第五步，與一次函數建立聯系.

上述過程比較完整地反應了建構一個數學對象的整體架構，其中的關鍵是對典型的背景材料進行結構辨析，從中發現這一類數列的代數結構——an+1=an+d(n∈N+，d為定值)，從而實現了具有創新性的意義建構.這個過程如果教師直接講解，學生聽懂沒有什么困難，但如果要讓學生獨立完成意義建構而得出相應的代數結構，則是有較大困難的，因為其中需要有較強的代數思維，要調用自然數系結構方面的認知經驗(事實上，自然數系的結構是“+1”運算，這是一種常識，而“常識往往被人遺忘”，所以調動這樣的經驗并不是一件容易的事情).當然，我們提倡讓學生在問題引領下開展意義建構，獨立發現代數結構，這樣才能有效地培養學生的數學思維方式，發展學生的數學抽象、邏輯推理等素養.

2.關于等差數列的性質

以往的教科書沒有專門對“等差數列的性質”展開研究，其原因不太清楚，可能是等差數列的性質太“簡單”，也可能是研究某些具體的等差數列更有價值.但我們認為，對一個數學對象的完整研究應該包括“性質”.

那么，“等差數列的性質”所研究的問題是什么呢？從系統觀出發，一個對象的性質首先表現在其要素之間的關系上.所以，“等差數列的項與項之間的關系”就是等差數列性質的研究主題.

等差數列的定義已經給出了相鄰兩項之間的關系，是研究性質的出發點.可以提出的問題是：

(1)等差數列{an}中，相鄰三項有什么關系？相鄰四項呢？……可以得到2ak=ak-1+ak+1，ak+ak+3=ak+1+ak+2等；

(2)把“相鄰”改為“等距”，如

am，ap，an滿足p-m=n-p，有2ap=am+an；

am，ap，aq，an滿足q-m=n-p，有am+an=ap+aq；

特別地，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；等等.

研究這些問題，可以增強學生對“等差”含義的理解，同時也為推導前n項和公式埋下伏筆.可以發現，這些性質是以數列的項為基本對象，通過運算發現規律、得出性質.如果與前n項和公式聯系，還可以發現更多的性質.

3.關于等差數列的前n項和

我們知道，推導等差數列前n項和公式中，發現“倒序求和”這個巧妙的方法是關鍵.問題是，如何才能使“發現”做到自然而然呢？我們認為，這應該從分析“倒序求和”的本質入手.

對于等差數列{an}，因為a1+an=a2+an-1=…=an+a1，用兩種方式表示Sn：

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

將①②兩邊分別相加，得

=n(a1+an).

由此得到等差數列{an}的前n項和的公式.分析這個過程可以發現，推導等差數列{an}前n項和公式的核心思想是：

利用等差數列的性質“等差數列{an}中，當m+n=p+q時，am+an=ap+aq”，將不同數求和化歸為相同數求和.

數量關系上看是利用了“平均數”概念：

(2)“倒序求和”所利用的就是等差數列前n項的平均數.

從等差數列的概念和通項公式出發，由Sn=na1+d[1+2+…+(n-1)]，可知等差數列前n項和歸根到底是求1+2+…+n.

在等差數列{an}中，看看a1=1，d=1這一特例，考察一下它與一般等差數列的關系，不難發現：最簡單、最本質的等差數列就是1，2，3，…，n…，這就是等差數列的原型.其他都是它的“變式”——a1代表不同“起點”，d代表不同“步長”.

研究等差數列時，想想自然數列的性質是很有啟發的.從自然數系的結構、問題、方法出發思考等差數列的內容，體現了自然數系的模型作用，體現了返璞歸真的思想，還體現了以簡馭繁的力量.

4.“等差數列前n項和”的教學過程設計

推導等差數列{an}的前n項和公式，就是要用確定等差數列的基本量a1，an，d，n等表示Sn.代數學中的各種公式和定理絕大部分都是用歸納法由具體到抽象、由低次到高次、由一元二元到多元逐步歸納而發現，再通過數學歸納法去論證其正確性.為此，我們先從一個歷史傳說開始.

問題1200多年前，高斯的老師提出了1 + 2 + 3 + … + 100 =？當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯用下面的方法迅速算出了正確答案

(1+100)+(2+99)+…+(50+51)

=101×50=5050.

高斯的算法實際上解決了等差數列

1，2，3，…，n，…

①

前100項的和的問題.

你能說說高斯在求和過程中利用了數列①的什么性質？

師生活動：如果學生不能回答，可以追問.

追問1：設an=n，那么高斯的算法可以怎樣表示？你能說說這個方法的奧妙所在嗎？

將高斯的算法表示為a1+a100=a2+a99=…=a50+a51，聯想到已有的性質，可以歸納出這個方法的奧妙之處是：

利用“等差數列{an}中，當m+n=p+q時，am+an=ap+aq”，使不同數求和轉化成了相同數(即101)求和，從而簡化了運算.

設計意圖：通過問題和追問，引導學生將具體數列的求和問題一般化，幫助學生洞察其中蘊含的代數結構和解決問題的一般性思想方法，形成“利用等差數列的性質推導求和公式”的心向.

追問2：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎？

師生活動：由學生獨立完成.學生可能有不同的方法，教學時要強調“高斯的方法”的含義.

設計意圖：使學生注意到“首尾配對”需要考慮項數的奇偶性.

追問3：你能利用高斯的算法推導出數列①的前n項和公式嗎？

師生活動：由學生仿照高斯的算法，獨立推導公式.這里的困難是要對n進行奇偶討論，可以引導學生從具體到抽象進行分析.在推出公式后，組織全班討論如下問題.

問題2我們發現，在求前n個正整數的和時，要對n分奇、偶進行討論，比較麻煩.能否設法避免討論？

師生活動：通過討論得出，等式的涵義是：把Sn加兩次，而結果是n個(n+1)相加.

追問2：受此啟發，聯系等差數列的性質，你能給出新的推導方法嗎？

師生活動：學生通過自主活動、小組交流，得出“倒序求和”法：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

將上述兩式的兩邊分別相加，可得

2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+

[(n-2)+3]+…+(1+n)

=n(n+1)，

問題3上述方法妙在哪里？這種方法能推廣到求等差數列{an}的前n項和嗎？

師生活動：通過獨立思考、合作交流，得出：

方法的妙處在于將1+2+3+…+n“倒序”為n+(n-1)+(n-2)+…+1，再將兩式相加，得到n個相同的數(即n+1)相加，從而把不同數相加轉化為n個相同數相加.

對于等差數列{an}，因為a1+an=a2+an-1=…=an+a1，完全類似的可得

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

①+②，得

=n(a1+an)．

由此可得等差數列{an}的前n項和的公式.

師生活動：學生通過自主活動，結合通項公式和前n個自然數之和的公式，推出所求公式.

師生活動：由學生獨立完成.

設計意圖：通過不斷地推廣、一般化，幫助學生在認識前n個自然數求和的方法及公式的代數結構的基礎上，歸納出倒序求和法和等差數列前n項和公式，并通過對公式的不同推導方法、公式的結構特征和多元聯系表示等探究活動，使學生在獲得公式的同時，體會推導代數公式的基本方法，領悟從具體事例中發現一般規律的數學思想，體驗歸納法在推導代數規律中的普遍意義.

問題4回顧推導等差數列前n項和公式的過程，你認為其中的關鍵是什么？

師生活動：通過討論，得出如下認識：

(1)明確推導等差數列求和公式所要解決的問題是什么對得到推導方法有重要意義；

(2)要強調利用等差數列的定義、通項公式和性質解決問題的重要性；

(3)代數的研究中，歸納是根本大法，要注意用一般性的眼光觀察特殊實例，從中得到解決一般問題的啟發；

(4)“倒序相加”非常巧妙地利用了等差數列的性質，利用前n項的平均數將不同數求和轉化為相同數求和；

(5)代數中，對公式進行適當變形有助于發現蘊含在其中的“奧秘”；

(6)代數和幾何相互為用，可以提高對代數問題的認識深度(如“三角垛”解釋“倒序求和”法)；等等.

3.5 關于等比數列

1.利用研究等差數列的經驗研究等比數列

觀點：等比數列所研究的內容、過程和方法與等差數列是“同構”的，所以從等比數列的概念、性質到前n項和以及應用，都可以讓學生通過類比展開自主學習.從教學站位上看，這里的關鍵還是要基于數學的整體性，在一般觀念的統領下展開研究.具體而言是：通過運算發現規律；通過類比“等差”結構得出“等比”結構；通過歸納發現等比數列的代數結構，得出通項公式、前n項和公式；建立多元聯系表示(特別是比例性質)形成等比數列的認知結構；等等.

(1)從“等差”到“等比”

只要將“如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差”中的“差”換為“比”，就得到了等比數列的定義.

只要將“如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項”中的A換為G，“差”換為“比”，就得到了等比中項的定義.

(2)從減法運算到除法運算

等差數列通項公式的歸納等比數列通項公式的歸納a2-a1=d,a3-a2=d,……an-an-1=d,左右兩側分別依次相加,得到an= a1+(n-1)d.a2a1=q,a3a2=q, ……anan-1=q,左右兩側分別依次相乘,得到an=a1qn-1.

(3)從算術平均到幾何平均

等差數列的性質主要體現在算術平均數的各種性質上，等比數列的性質主要體現在幾何平均數的性質上.

等差數列等比數列a,A,b成等差數列,則2A=a+ba,G,b成等比數列,則G2 =a·b若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則am ·an = ap ·aqan=am+(n-m)dan = am ·qn-m

另外，比例性質在等比數列的研究中也有用武之地：

得a2+a3+a4+…+an

=q(a1+a2+a3+…+an-1),

于是

Sn-a1=q(Sn-an)=q(Sn-a1qn-1),

可得

2.等比數列前n項和公式

首先要明確研究的問題：用等比數列的基本量a1，q，n表示前n項和.

與等差數列前n項和公式的推導類似，等比數列前n項和公式的推導本質上是利用等比數列的定義和性質進行代數變形.

從Sn=a1+a2+a3+…+an=a1(1+q+q2+…+qn-1)可知，數列

1，q，q2，…，qn

是等比數列的“原型”.由

Sn=1+q+q2+…+qn，

qSn=q+q2+…+qn+qn+1，

等式兩邊分別相減可得

除利用比例性質外，還可以有其他方法.例如：

由公式

an+1-bn+1

=(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn)，

令a=1，b=q，即得

3.6 關于數學歸納法

1.數學歸納法的理論基礎

皮亞諾公理：

(1)1是一個正整數；

(2)每個正整數a都有一個后繼數(即a+1)仍是正整數；

(3)1不是任何正整數的后繼數；

(4)若a與b的后繼數相等，則a與b相等；

(5)設S是正整數集合N*的子集，若

①1屬于S；

②當k屬于S時，k的后繼數(即k+1)一定也屬于S，則S=N*.

這幾條公理反映了正整數集合有序性的本質特征，由此可推出：

正整數集合是一個無限的良序集，它的任何非空子集中的元素都可以依大小關系排序，并在其中存在最小數.

第5條也稱為數學歸納法原理，它給出了證明一個集合是正整數集合的一種方法，是數學歸納法的理論基礎.

2.數學歸納法是演繹推理還是歸納推理

在形式邏輯中，從“特殊”到“一般”的推理，叫做歸納推理；從“一般”到“特殊”的推理，叫做演繹推理.

演繹推理的一般形式是三段論，即“大前提——小前提——結論”.其中，大前提(M-P)是一個一般性的命題(凡滿足條件M的對象都有性質P)，小前提(S-M)是指某個特殊對象滿足大前提中的條件(對象S滿足M)，結論(S-P)是指這個對象符合大前提中的結論(S有性質P).

用數學歸納法證明一個具體命題P對于全體正整數成立時，大前提正是皮亞諾公理中的數學歸納法原理，這是一個公認的一般性真命題，需要證明的是小前提，即適合具體命題P的正整數集合S滿足大前提中的條件①和②，由此得出結論S=N*，即任意正整數n都滿足命題P.

因此，數學歸納法是按照三段論展開的嚴格的演繹推理，即在確立一般性大前提的基礎上，針對具體命題證明小前提，獲得關于具體命題的結論.

數學歸納法中，第(1)步(證明“n=1時命題P成立”)稱為“奠基”，第(2)步(證明“若n=k時P成立，則n=k+1時P也成立”)稱為“遞推”.第(1)步多為驗證的形式，而第(2)步的實質是證明一個“遞推關系”：

以“n=k時P成立”為前提，推證 “n=k+1時P成立”.

事實上，這是一個新的命題.

3.人教A版對數學歸納法的處理

與以往教材比較，新的人教A版對數學歸納法的處理有較大變化，特別是在兩個步驟的含義、第二步到底要干一件什么事情等問題上，給出了更加具有操作性的講解，其目的是幫助學生更好地理解數學歸納法的本質.

(2)確立思想方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數都成立.

(3)以“多米諾骨牌”為背景，思考使所有多米諾骨牌全部倒下的條件，得出：第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

(4)類比多米諾骨牌問題，回顧猜想an=1的過程：

……

歸納共性，得出推理的一般結構：

以ak=1為條件，結合已知條件推出ak+1=1.(*) 這樣，在a1=1和(*)成立的條件下，就可以由n=1成立，得出n=2成立；由n=2成立，得出n=3成立；……所以，對于任意正整數n，猜想都成立.

(5)給出數學歸納法原理.

(6)通過“思考：數學歸納法的本質是什么？兩步之間有什么關系？”引導學生辨析原理，得出：

記P(n)是一個關于正整數n的命題.把數學歸納法的證明形式改寫為

條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k+1)也為真.

結論：P(n)為真.

接著教科書強調：在數學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當n=n0時結論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：

若P(k)為真，則P(k+1)也為真.

將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0+1)真，……，P(k)真，P(k+1)真,……從而完成證明.

值得指出，人教A版明確“第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k+1)也為真”，并且在用數學歸納法證明具體問題的過程中，先引導學生具體寫出第二步要證明的命題，例如，證明等差數列的通項公式

an=a1+(n-1)d

①

正確性的第二步是證明一個命題：

如果n=k時①式是正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.

這對學生理解數學歸納法的本質具有很好的促進作用.教學時應注意落實這個意圖，先讓學生明確寫出第二步要證明的新命題，分析清楚證明新命題時需要使用的條件(特別是要以“P(k)為真”為關鍵條件)，然后再進行具體推理論證.

4 小結

綜上所述，數列單元要以“運算”為一般觀念，通過運算發現和提出問題，通過運算得出數列的取值規律，通過運算發現解決問題的方法.例如，在明確“數列的性質就是數列各要素、相關要素之間關系”的基礎上，通過運算發現等差數列、等比數列的性質.

在等差數列、等比數列的研究中，通過推導各種各樣的代數公式，利用等差數列、等比數列的性質，特別是靈活運用“平均數”研究“等差”問題，靈活運用“比例性質”研究“等比”問題，可以進一步提升學生的代數推理和數學運算等素養.

數列是一種特殊的函數，要注意引導學生以函數的觀點看數列，體會數學的整體性.等差數列與一次函數、等比數列與指數函數之間存在著密切的聯系，所以教學中要注意讓學生有意識地把數列納入函數的體系中，從函數的觀點看數列的概念，發現和理解數列的性質，認識數列的應用價值等.

另外，要使學生意識到，在數列中推導各種各樣公式的方法是不完全歸納法，這種方法并不嚴密，所得出的公式需要通過數學歸納法進行證明，所以建議把數學歸納法作為必學內容.