利用結構基因法研究非線性周期性板結構的等效力學性能

賈貽然， 韓靈芝， 雷金成， 劉子順

(西安交通大學 航天航空學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室，國際應用力學中心，西安 710049)

1 引 言

近年來隨著工程技術的飛快發展，人們對結構的比強度[1]、比剛度及抗疲勞性[2]提出了更高的要求，研究人員通過選取不同的原材料或者合理的結構來設計力學性能更好的復合材料。如橡膠類的超彈性材料[3]，具有良好的柔軟性、延展性[4]和高彈性[5,6]等優異性能，廣泛應用于復合材料的設計中[7]。復合材料的內部結構與其力學性能關系密切，當結構特征尺寸遠大于微觀尺度時，可以在宏觀尺度上使用均質材料代替非均質材料，通過微觀尺度求解實際模型的等效力學性能是雙尺度研究的關鍵問題。采用結構基因法求解實際周期性結構等效力學性能的優勢在于通過在微觀尺度上分析各相材料，在結構基因和實際模型的等效均質模型之間進行交互，可以減少大量建模時間和計算時間。

求解等效力學性能的方法是基于均勻化的思想發展而來，即尋找一種均勻材料代替原來的非均勻材料。目前，學者們已經提出了多種求解復合材料等效力學性能的模型及方法，主要包括代表性體積單元法(RVE)[8,9]、間接均勻化法[10,11]、二尺度展開法[12,13]及多級別有限元法(FE2)[14,15]等。本文方法主要是基于代表性體積單元法(RVE)和多級別有限元法(FE2)發展而來的。(1) RVE法的主要思想為直接平均思想，通過在周期性結構中提取代表性體積單元，施加拉伸和剪切等加載，得到不同加載情況下的應力場和應變場，場量對體積進行直接平均計算得出等效應力和等效應變，通過兩者之間的關系求解出均質板的等效剛度矩陣。(2) FE2法求解的中心思想為在宏觀尺度上每一個高斯積分點處關聯一個微觀模型。通過宏觀模型求解微觀模型時，將高斯積分點處的應變作為邊界條件，研究微觀模型的局部變形。從微觀尺度向宏觀尺度的轉變是通過微觀模型的應力場和應變場均勻化實現的。

本文通過將RVE法和FE2法結合起來，可以預測非線性周期性復合板結構的等效力學性能，概念清晰，易于理解。本文將這種方法命名為結構基因法，就像將生物基因定義為控制生物生長發育的基本單位，把基因一詞擴展到非生物學領域，將周期性結構中包含整體結構中的所有組成成分和形狀的基本構件塊稱為結構基因[16,17]。

2 計算理論

在微觀力學的研究中，實際周期性板結構的研究可以分為對等效二維均質板結構和多相微觀結構兩部分的研究。兩尺度分離如圖1所示，域Ω表示宏觀尺度模型，域ω表示結構基因。利用微觀結構的等效力學行為來表示宏觀結構中相對應連續點的行為，這就是多尺度問題的中心思想。

圖1 周期性異質復合材料宏觀模型和微觀模型的概念

(1)

基于更新的拉格朗日公式，在分析中需要不斷修改參考構型，當前構型(t+dt)是基于參考構型(t)計算得到的。在商業有限元軟件ABAQUS中，通常使用應變率的形式定義材料的本構關系，應變率計算可表示為

(2)

在邊界?Ωu(狄利克雷邊界)上的邊界條件可以通過式(3)定義。

(3)

在邊界?Ωq(紐曼邊界)上的邊界條件可以通過式(4)定義,

(4)

虛功可以通過式(5)表達,

(5)

式中∶表示張量雙點積運算,δ分別表示微小應變和微小位移，λ為拉格朗日乘子，一般等于1。可認為式(5)是與平衡方程等效的積分弱形式。

(6)

(7)

在本文的假設中，如果結構基因存在非線彈性相，則模型整體的應力應變關系為非線性，所以可以將宏觀模型等效為非線彈性模型，材料行為可表示為

(8)

通過施加周期性邊界條件假定結構基因處于整體模型中。施加的周期性邊界條件需要使得相鄰結構基因滿足下列連續性邊界條件，一為相鄰結構基因連續且產生變形后不可分離，二為結構基因相對面或相對邊上相對應的節點變形的位移相同。滿足上述兩個邊界條件才會假定結構基因位于一個完整的周期性連續體中。在結構基因邊界上引入的周期性邊界條件可表示為

(9)

在雙尺度分析中，非線性問題的結構基因可以通過式(10)迭代的形式表達。

(10)

該模型中包含兩個基本假設。

假設1 通過微觀力學分析時，在ξ=x/X?1時有效(x為微觀模型長度，X為宏觀模型長度)。通過微觀尺度求解的等效力學性能獨立于宏觀尺度下的加載情況及幾何形狀，是材料的內在屬性。

假設2 如果在微觀結構中存在非線性材料相，該復合材料為非線性周期性復合材料，不可以通過簡單的等效剛度矩陣或者等效柔度矩陣來描述其等效力學性能[18,19]。

3 有限元求解

在商業有限元軟件ABAQUS中，有很多種方法來描述所使用的材料屬性，對于超彈性材料來說，本文可以直接賦予本構模型參數，還可以編寫UMAT或輸入通過實驗獲取的一系列名義應力和名義應變數據。在本文的計算中，將ABAQUS假定為試驗平臺，對結構基因進行單軸拉伸試驗，通過平均化的思想求解加載過程中每一個分析步下的名義應力和名義應變數據[20]。通過結構基因法求解非線性復合周期性板結構等效力學性能的具體流程如圖2所示。

圖2 求解等效力學性能的流程

求解流程主要是基于商業軟件ABAQUS及二次開發腳本Python實現的，假設結構基因中各相材料均為各向同性材料，且在x向和y向分布相同，則將結構基因沿x向和y向周期性排布之后構成的周期性復合板結構可以在宏觀尺度上等效為各向同性均質板。在ABAQUS中，可以將試驗名義應力和名義應變數據擬合成超彈性材料本構模型，本文的方法充分利用該功能，將ABAQUS作為黑箱，擬合出穩定又精確的應變能函數。

具體操作步驟如下。

(1) 在ABAQUS中建立結構基因部件，為結構基因中每一相賦予材料屬性并合理劃分網格。

(2) 運行二次開發語言Python編寫的前處理腳本，從流程圖可以看出，主要包括施加周期性邊界條件、施加位移及約束剛體位移。周期性邊界條件的施加主要為在周期性排布方向上面和邊的每一個節點保存為獨立的集，分別通過約束方程施加多點約束。在模擬單軸拉伸試驗時，需要在ABAQUS中建立多個分析步，并在每一個分析步設置合理的位移值，以保證總的拉伸值符合實際模型的實際變形。在ABAQUS中對結構基因進行單軸拉伸時，還需要約束其剛體位移。

(3) 在ABAQUS中進行求解，處理非線性問題時，容易出現不收斂的情況，所以需要監控計算時的分析步數量。運行二次開發語言Python編寫的后處理腳本，主要通過處理計算結果文件，得出每一個分析步下的名義應力和名義應變數據。

(4) 建立與實際模型尺寸相當的均質板模型，將上一步得出的一系列名義應力和名義應變數據作為材料屬性輸入到模型中，并通過這些數據擬合出合理的本構模型。ABAQUS可以自動評估擬合出的本構是否穩定，如果超彈性模型不穩定，可以根據實際模型的變形選擇另一種本構模型或者修改第二步設置的分析步數量和每一個分析步下的拉伸值，來獲取更多的名義應變和名義應力數據,在ABAQUS中重新評估擬合出的本構模型是否穩定。

(5) 在宏觀均質板中添加載荷，研究模型的宏觀響應。如果需要研究局部問題，可以將高斯積分點處的應變作為邊界條件賦予微觀模型，來觀察局部變形。

在通過結構基因法研究兩尺度交互問題時，有幾個注意事項。

(1) 單軸拉伸時結構基因的收斂問題。為了獲取更多的數據，可以通過修改網格、設置不同的求解器等方法來改善模型的收斂問題。

(2) 驗證通過名義應力和名義應變數據擬合的本構模型穩定性問題。通過增加分析步的量及降低每一個分析步設置的位移量來保證獲取足夠多的樣本數據，測試擬合出穩定的本構方程。

4 數值計算模型

4.1 實際模型與等效模型對比

考慮一種周期性排布的復合板結構，基體是普通的超彈性橡膠材料，增強體為線彈性材料。本文已經提出一個假設，如果結構基因中存在非線性相，整體結構可視為非線性結構。基體材料選用的模型為Mooney-Rivlin模型，本構方程如式(11)所示，系數值為C10=3.2,C01=0.8,D1=0，增強體為線彈性材料，材料屬性為E=68.3 MPa,μ=0.3。

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(11)

本算例中，實際研究的周期性板結構如圖3所示，結構基因的尺寸為1 mm×1 mm×1 mm的立方塊，其中增強體的半徑為0.3 mm，增強體的體積率為0.283。

圖3 周期性復合板結構及其結構基因

首先將結構基因和立方橡膠塊在ABAQUS中模擬單軸拉伸實驗，設定多個分析步，獲取每個分析步下的名義應力和名義應變數據。因為存在超彈性橡膠材料，為了避免不收斂現象并實時監控計算進程，可以把每一個分析步下的位移增量值設置為較小的值。研究結構基因及立方橡膠塊的原因為觀察兩者之間名義應力及名義應變曲線變化趨勢是否一致，從而初步判斷結構基因法對于非線性問題計算的準確性。

圖4分別為模擬單軸拉伸實驗下，獲取的幾種不同情況下的名義應力和名義應變數據的擬合曲線。在計算非線性問題時，非常容易出現不收斂的現象，當劃分網格數量較少時，拉伸到一定長度就會因為計算不收斂而中斷計算，獲取的名義應力和名義應變數據較少。當網格劃分較合理時，拉伸長度較大，獲取的數據更多。在本節中，同時也對 1 mm×1 mm×1 mm的均質橡膠立方塊進行單軸拉伸。將三種情況下的計算結果繪制于圖4，可以看出，超彈性基體材料和線彈性增強體材料所構成復合材料的曲線變化趨勢和均質超彈性材料的曲線變化趨勢一致。

圖4 模擬單軸拉伸實驗下的應力應變曲線

在ABAQUS中評估上述數據，可以發現通過這些數據擬合出的本構模型是較為穩定的。將上述求解出的本構模型賦予等效均質板作為其材料屬性，通過三點彎曲實驗對實際周期性板結構和擬合出的不同等效均質板進行機械性能的研究，對實際計算結果和等效計算結果進行對比，分析結構基因法求解的準確性。等效理論選取的本構模型主要為Mooney-Rivlin模型、Neo Hooken模型、Ogden 模型和Yeoh模型。本文分別列出實際模型和上述三種等效模型的計算結果，并進行對比分析，主要提取計算結果為三點彎曲實驗下實際板和等效均質板的最大應力。圖5為模擬三點彎曲實驗下實際模型位移云圖，圖6為模擬三點彎曲實驗下等效均質模型位移云圖。

圖5 實際模型的位移云圖

圖6 等效均質模型的位移云圖

圖7分別給出了實際周期性板結構和等效的不同本構模型均質板在受到不同載荷時三點彎曲實驗下的最大應力。通過數據分析可知，隨著載荷的增大，板最大應力也逐漸增大，在變形較大時，實際模型和等效均質模型的計算結果差值略大，但在可接受的范圍內。通過將四種本構模型進行對比，可以發現Neo Hooken模型和Ogden模型的計算結果更為準確，Mooney-Rivlin模型誤差略大，是因為Mooney-Rivlin模型只考慮線性部分的應變能量。在變形較大(應變>0.45)，且只有單軸拉伸試驗數據時，選擇多項式模型和Ogden模型計算更易收斂，計算效率和精度更高。通過計算，不同載荷下實際周期性板結構和等效均質板結構上最大應力的差值均低于10%，證明通過結構基因法求解非線性周期性板結構等效力學性能較為精確。

圖7 不同本構模型中受壓載荷與板上最大應力曲線

4.2 實驗模型與等效模型對比

為了進一步驗證結構基因法的合理性，對不同體積分數的球形顆粒增強超彈性橡膠復合材料進行單軸拉伸實驗，與實驗值和理論值進行對比。結構基因是中心為球形的立方體塊，結構基因的尺寸為1 mm×1 mm×1 mm的立方體，基體材料選用Yeoh本構模型，本構方程如式(12)所示，系數采用文獻[21]純橡膠實驗數據擬合得到的參數，具體值為C10=0.2313,C20=-0.004686,C30=0.0003787，增強體顆粒為線彈性材料，材料參數為E=2100 MPa,μ=0.3。體積分數分別為1.69%,3.33%和 6.44%。

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3

(12)

對三個不同體積分數的結構基因在ABAQUS中模擬單軸拉伸實驗，設定多個分析步，獲取每個分析步下的名義應力和名義應變數據。將結構基因法的模擬值與文獻[21]的理論值和實驗值進行對比，如圖8所示，在顆粒體積分數較小時，模擬值與實驗和理論結果吻合較好；當顆粒體積分數較大，變形載荷較小時，結果吻合較好，但是隨著變形載荷的增大，出現了模擬結果和理論結果大于實驗結果的情況，主要是因為在模擬計算中，沒有考慮大變形引起的界面脫粘的情況，而且在變形較大時(大于100%)，網格畸變也會對結果造成很大的誤差。但是總體來說，結構基因法能夠準確表征橡膠類材料大變形時的應力應變響應。

圖8 顆粒增強橡膠復合材料模擬值、實驗值和理論值的比較

結果證明了本文提出的方法用于研究超彈性復合材料力學性能的可靠性和可行性，計算方法簡單，具有一定的工程實用價值。

5 結 論

本文提出了一種用來求解非線性周期性板結構等效力學性能的結構基因法。該方法基于代表性體積單元法(RVE)和多級別有限元法(FE2)發展而來。考慮在周期性板結構中存在超彈性材料相時，結構整體的等效力學性能無法僅通過彈性模量與泊松比獲得，本方法可以便捷地求取非線性周期性板結構的等效切線剛度并實現變形的模擬。本方法將ABAQUS作為黑箱，對提取出的結構基因進行多分析步單軸拉伸實驗，用求解出的一系列名義應力和名義應變數據擬合出合適的本構模型，作為等效模型的等效力學性能。將等效切線剛度看作微觀模型和宏觀模型之間的橋梁，通過結構基因法進行雙尺度交互，可以節省大量建模時間和計算時間，并節省測試的成本，提高計算速度及精度。

6 附 錄

本文詳細計算的Python腳本將發布在http: //icam.xjtu.edu.cn.