剪切和扭轉工況下微納米薄壁蜂窩的等效剪切模量計算

賀 丹， 劉海洋

(1.沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136；2.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

1 引 言

微尺寸蜂窩[1]在微機電系統(MEMS)中具有顯著的應用優勢，可用于制備微型電極[2]、微型能量存儲和轉換設備[3]、微傳感器[4]和超級電容[5]等。為保證構件滿足強度、剛度、耐久性和可靠性等指標，對蜂窩的力學性能進行預測十分必要。

Gibson等[6]基于梁理論，給出了一種蜂窩芯層面內和面外等效模量簡便的計算方法，但在推導過程中并未考慮壁板伸縮變形對面內剛度的影響，導致了蜂窩芯層材料彈性剛度矩陣奇異[7]。富明慧等[7,8]將此影響加以考慮，對Gibson的結論作出修正，克服了剛度矩陣奇異的缺陷。Becker[9,10]考慮了面板對芯層的約束效應，并將蜂窩胞壁等效為薄板，以各胞壁應變場為未知量，通過能量法求解了不同芯層高度蜂窩的等效模量，發現面板的存在會使得蜂窩芯層的等效模量隨芯層高度變化而改變，芯層等效模量與高度之間具有非線性函數關系，此現象稱為高度效應。Li等[11,12]則認為等效模量不僅和尺寸有關，還和受力狀態有關，采用三角級數來模擬蜂窩胞壁位移場，研究了蜂窩等效模量的計算方法，并討論了等效模量與芯層高度之間的關系。

當蜂窩的壁厚處于微納米量級時，材料的尺度效應[13-16]可能會對蜂窩的力學性能產生影響。尺度效應是指當材料的尺寸進入微納米尺度時，其強度和剛度隨材料尺寸變化而變化的現象。這種現象難以通過經典連續介質力學理論進行解釋，因此研究者提出了諸如應變梯度[13]和偶應力[16-20]等理論，在這些理論的本構方程中，存在若干個和材料尺寸相關的尺度參數，從而具備了描述尺度效應的能力。Yang等[21]提出了一種修正偶應力理論，其中僅包含一個材料尺寸參數，十分便于工程應用。基于這種理論，已有大量關于微納米板和梁結構的研究工作見諸報道[22-25]。Zhu等[26-28]基于修正偶應力理論，研究了不考慮面板約束的微尺寸六邊形、三角形和正方形蜂窩芯層面內外五個獨立彈性參數的計算方法。張春浩等[29]基于該理論建立了芯層Y模型，并給出了考慮尺度效應的蜂窩面內等效模量計算方法，討論了蜂窩壁厚對其等效模量的影響，得出微尺寸蜂窩芯層等效模量將隨壁厚尺寸減小而增大的結論。

綜上所述，文獻[6，8]未考慮高度效應、受力形式和尺度效應；Becker[9,10]未考慮受力形式和尺度效應；Li等[11,12]未考慮尺度效應；而文獻[26-29]則僅考慮了尺度效應。因此，本文綜合考慮蜂窩受力形式、尺度效應以及面板約束引起的高度效應，分別給出了剪切和扭轉工況下的六邊形微尺寸蜂窩等效剪切模量的計算過程，并討論了蜂窩芯層高度和胞壁厚度對等效剪切模量的影響。

2 蜂窩胞壁的應變能

依據Yang等[21]提出的修正偶應力理論，三維彈性體的應變能定義為

(1)

(2)

位移矢量ui與轉角矢量θi之間的關系為

(3)

(4)

式中lm為材料尺寸參數，λ和μ為Lame常數，其與彈性模量E，泊松比v之間的關系為

λ=Ev/[(1+v)(1-2v)] ，μ=E/[2(1+v)]

(5)

在推導微尺寸蜂窩等效模量的過程中，可將蜂窩各胞壁簡化為微尺寸薄板，其位移場可取為[30]

u1=us(x,y)-z[?w(x,y)/?x]

u2=vs(x,y)-z[?w(x,y)/?y]

u3=w(x,y)

(6)

設板厚為t，并將式(1)應變能U拆分為由應力和應變耦合得到的U1，以及偶應力和曲率耦合得到的U2，則U=U1+U2，綜合式(2～6)，得到U1和U2的表達式分別為

(7)

(8)

式中D為板的彎曲剛度，εs x和εs y為中性面的拉伸應變，即

εs x=us,x，εs y=vs,y

(9)

因此，當微尺寸板的位移場〈us,vs,w〉為已知時，板的應變能便可通過式(7，8)求得。

3 微納米薄壁蜂窩等效模型

考慮一個典型的六邊形蜂窩特征單元REV[11]，如圖1所示，其中斜胞壁長度為L，厚度為t；直胞壁長度為h，厚度為t′=2t，斜胞壁與水平線夾角為θ，各胞壁垂直紙面方向長度為b。考慮到結構對稱性，可只分析圖2所示1/8 REV以簡化問題。1/8 REV可視為由厚度均為t及z方向長度均為b/2的三塊薄板組成，其中板EFHG和ABDC的第三方向長度為h/2，板CDFE的第三方向長度為L。

圖1 蜂窩特征單元

圖2 1/8蜂窩特征單元

根據能量均勻化理論，圖1虛線所圍均勻體的總勢能應與蜂窩特征單元總勢能相等，即

(10)

(11)

(12)

4 不同工況下微納米薄壁蜂窩的等效剪切模量計算

4.1 剪切工況

假設在蜂窩面板施加面內剪切初應變γX Y，如圖3所示，由于面板與蜂窩芯層為固接，且面板剛度遠大于芯層，因此芯層將隨面板發生剪切變形，斜胞壁將因端點水平位移不同而產生線應變εs,

圖3 蜂窩REV剪切變形

(13)

變形后的結構無法滿足平衡方程，因此應力將在芯層上重新分布，從而產生如圖4所示的附加位移場，直至達到平衡位置。應力的重分布將極大降低蜂窩剛度，使得等效剪切模量對高度敏感[11,12]。

圖4 剪切工況下1/8 REV各壁板附加位移

考慮到蜂窩芯層的邊界形式和變形特點，板EFGH的附加位移函數可取為[11]

(m=2i-1)(14)

式中a0，ai和bi為待定參數，N為三角級數展開項數，理論上N需取至無窮，但實際取前10項便可保證計算精度，故本文N取10。

對于板CDFE，附加位移函數可取為[11]

us=a0(2/b)x

(15)

除附加位移場產生的線應變以外，板CDFE沿局部坐標y2的線應變εy還應包括式(13)基礎應變εs,

εy=εs-?vs/?y

(16)

對于板ABDC，附加位移函數可選為[11]

(17)

(18)

(19)

由于應力重新分布過程中外力做功為0，故系統總勢能與總應變能相等，即

πint=U1+U2

(20)

根據最小勢能原理，真實位移使系統總勢能取極值，故系統總勢能對待定參數的偏導等于0，即

(21)

4.2 扭轉工況

假設在蜂窩面板施加矢量方向與面板平行的扭轉切應變βX，REV會產生切應變γX Y

(22)

式中βX ′ Y=βX/(h+lsin ?)。板CDFE因邊EF和邊CD水平位移不同而產生線應變，其中邊EC的線應變為

εs=(UE-UC)cosθ/L=-γX Ysinθcosθ

(23)

在局部坐標系x2-C-y2中，線應變沿x2方向線性分布[10]，且在邊EC取得最大值，因此有

εs(x)=-ακ(b/2-x)

(24)

式中κ=βX ′ Y為板的扭轉曲率，α=sinθcosθ。

圖5變形后的結構同樣無法滿足平衡方程，因此應力將重新分布，各胞壁將產生附加位移場，如圖6所示，對于板EFHG，根據邊界條件和位移形式選取的附加位移函數為[11]

圖5 1/8 REV扭轉變形

圖6 扭轉工況下1/8 REV各壁板附加位移

(25)

對于板CDFE，附加位移函數可取為[11]

(26)

考慮式(23)基礎應變εs(x)，板CDFE的y1方向應變應為基礎應變和附加位移產生的應變之和,

(27)

對于板ABDC，附加位移函數可取為[11]

(28)

將式(25～28)代入式(2)，并將得到的應變分量和曲率分量代入式(7，8)，得到每塊板的應變能，進而得到1/8 REV應力與應變耦合應變能U1以及偶應力與曲率耦合應變能U2，如式(29，30)所示。

(29)

(30)

5 算例分析

可以看出，剪切和扭轉工況的等效剪切模量具有相同的上界，隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現為逐漸減小后趨于不變，即體現出高度效應現象。這是由于面板與芯層存在較強的位移耦合[9]，當芯層高度較低時，耦合效應使芯層具有較大剛度，隨著芯層高度增大，耦合效應逐漸減弱，當芯層高度超出一定范圍時，面板對芯層的約束可以忽略不計，故等效剪切模量最終表現為不隨芯層高度變化的直線。而Zhu[26]在建立模型時未將這種位移耦合加以考慮，因此所得等效剪切模量結果是不隨芯層高度變化的直線，與Li經典理論結果差異較大。t取值越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減的速度越快，即蜂窩胞元尺寸較小時，其剛度對芯層高度的變化更為敏感。還可以看出，本文基于修正偶應力理論的計算結果總是大于Li基于經典理論的結果，且隨著胞壁厚度的降低，二者間的差異愈發明顯，即捕捉到了所謂的尺度效應。觀察兩種工況下等效剪切模量隨芯層高度的衰減速度可發現，本文得到的等效剪切模量衰減速度小于Li的衰減速度。隨著蜂窩胞壁厚度增加，尺度效應逐漸不明顯，兩組解之間衰減速度的差異也逐漸消失。因此，對于宏觀尺度蜂窩而言，高度效應對等效模量的影響是非常顯著的；而當蜂窩壁厚進入微納米量級時，由于尺度效應的存在，芯層的剛度變強，從而降低了面板約束和高度效應對結構等效模量的影響。換言之，當尺度效應變得顯著時，等效模量對芯層高度的敏感性將有所下降。比較圖7和圖8的衰減趨勢，可以看出扭轉工況時的等效剪切模量衰減速度低于剪切工況時的衰減速度，這是由于兩種工況的不同應力分布方式導致的[11]。

圖7 剪切工況下蜂窩等效剪切模量

圖8 扭轉工況下蜂窩等效剪切模量

圖9 偶應力理論與經典理論等效剪切模量比值(b =200 μm)

6 結 論

(1) 當芯層高度趨近于零時，剪切和扭轉工況的等效剪切模量具有相同的上界。隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現為逐漸減小后趨于不變，即體現出高度效應現象。在這個過程中，扭轉工況下的等效模量衰減速度低于剪切工況，最終兩種工況會收斂于-不同的下界。

(2) 當蜂窩胞壁的厚度進入微納米尺度時，本文給出的等效剪切模量總是大于經典理論的解，即描述了尺度效應。胞壁厚度越小，尺度效應越明顯；而當厚度t遠大于尺度參數時，尺度效應消失，此時本方法預測的模量與經典理論一致。

(3) 對于經典理論而言，蜂窩胞元尺寸越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減至最小值的速度越快。而基于修正偶應力理論所得等效剪切模量的衰減速度明顯低于經典理論，即當尺度效應變得顯著時，等效模量對芯層高度的敏感性將有所下降，這種現象會隨胞壁厚度增大而逐漸消失。