多層正交異性矩形薄板彎曲振動穩定解析解

曹彩芹， 宋永超

(西安建筑科技大學 理學院，西安 710055)

1 引 言

多層正交各向異性板由于在單一方向上強度高和重量小，廣泛應用于船舶制造、道路橋梁、航空航天和房屋建筑等領域。在現有的正交各向異性層合矩形薄板的研究中，文獻[1,2]運用的一階剪切變形理論與文獻[3]采用的高階剪切變形理論雖然精度較高，但是形式復雜。文獻[4,5]的分層理論通過在板的厚度方向取二次插值來描述層內位移沿厚度方向的變化，但是該方法不能得到適用于不同邊界條件的統一解。文獻[6]運用能量法求解了正交各向異性矩形層合懸壁板的振動問題，該方法要根據不同的邊界條件假設相應的振型函數，也無法得到統一解。文獻[7]運用有限單元法分析了正交各向異性層合板在力載和熱載作用下的靜態和動態響應，但是該方法只能進行數值模擬，不能得到解析解。文獻[8]采用疊加法分析了彈性地基上四邊自由正交異性反對稱角鋪設層合矩形板的彎曲，但是該方法需要進行疊加，計算過于復雜而且只能用于反對稱角鋪設層合板。此外，文獻[9]研究了復合材料層合板自由振動問題，文獻[10]研究了Winkler地基上各向異性薄板彎曲的精確解，這兩篇文獻都具體一定的參考意義。

文獻[11]提出了一種適用于各種邊界條件的各向同性矩形薄板的通解，該通解不需要進行疊加，且每一個待定系數都有實際的物理意義。文獻[12]在文獻[11]的基礎上進一步將該通解推廣到單層正交各向異性矩形薄板中。文獻[13]根據文獻[14,15]提出的層合板理論，將坐標軸取在中性面上，使文獻[11,12]的通解能夠應用于各向同性層合矩形薄板，并分析了混合邊界條件下板的自由振動。但是文獻[13]沒有進一步分析層合板與單層板之間的關系。文獻[16]用文獻[11]提出的通解求解了飽和彈性半空間地基下特殊正交各向異性層合板的彎曲，但是該方法采用經典層合板理論，將坐標軸取在板的中面上，當板非對稱鋪設時中面與中性面不重合，中面的縱向位移不能忽略，需要求耦合剛度。本文在文獻[11-16]的基礎上，將文獻[14,15]建立的層合板理論體系運用到多層正交各向異性矩形薄板中，推導出板的內力、控制方程和邊界條件，并構造了適用于各種邊界條件下多層正交各向異性矩形薄板的彎曲、振動和穩定問題的通解。本文給出的將多層板的物理參數折算為等價的單層板的物理參數的方法，使得計算量大大減少。

2 理論分析

圖1 多層正交各向異性矩形薄板

圖2 板內力與應力正方向

2.1 中性面位置h0的計算

參見文獻[17]，第i層板內某點的應力可用撓度函數表示為

(1)

(2)

(3)

式中z為第i層板上某點到中性面的距離，w為板的撓度函數。

由文獻[17]和式(1～3)可知，在薄板全厚度上，應力σx，σy和τx y各自的代數和均為0，由此得到式(4～6)。求解式(4～6)，可以確定中性面的位置。當多層板非對稱鋪設時，通常求出的三個h0值不相同，這與經典層合板理論中非對稱鋪設層合板耦合剛度不為0吻合。盡管如此，這三個h0的值僅分別與應力σx，σy和τx y有關，將其分別稱為h0x，h0y和h0x y，最后求其平均值作為中性面的位置。

(4)

(5)

(6)

將式(1)代入式(4)，求解得

(7)

式中ψx為與板的物理參數有關的常數

(8)

h0x的解中包含常數ψx，常數ψx的解中又包含h0x，故用迭代法求解h0x值。迭代過程如下。

(1) 以h0x=0作為h0x的初始值。

(2) 將h0x代入式(8)，得到ψx。

(3) 將ψx代入式(7)，得到h0x。

(4) 重復步驟(2，3)直至兩次求得的h0x值收斂，輸出此時h0x的值。

將式(2)代入式(5)，求解可得

(9)

式中ψy為一個與板的物理參數有關的常數

(10)

由于h0y的解中包含常數ψy，常數ψy的解中又包含h0y，采用迭代法求解h0y的值。迭代過程同h0x的迭代過程。

再將式(3)代入式(6)可得

(11)

h0x y值不需要迭代，直接由式(11)得到。求h0x，h0y和h0x y的平均值h0=(h0x+h0y+h0x y)/3，作為中性面距板上表面的距離。

經計算知，當板為單層板或者對稱鋪設多層板時，h0的值等于板厚的1/2，這與事實相符。

2.2 板的內力

-Dx[?2w/?x2+μy(?2w/?y2)]

(12)

-Dy[?2w/?y2+μx(?2w/?x2)]

(13)

-2Dk[?2w/(?x?y)]

(14)

(μyDx+4Dk)[?3w/(?x?y2)]

(15)

(μxDy+4Dk)[?3w/(?x2?y)]

(16)

式中

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2.3 控制方程

2.3.1 彎曲的控制方程

矩形薄板的彎曲平衡方程為

(22)

式中q為板所受橫向荷載。

由文獻[17]可知，薄板的平衡方程與物理參數無關，如果不考慮層間滑移以及層間應力，則平衡方程(22)對于正交各向異性多層矩形薄板的彎曲問題仍然成立。將式(12～14)代入式(22)，得正交各向異性多層矩形薄板彎曲的控制方程為

(23)

2.3.2 自由振動的控制方程

矩形薄板自由振動平衡方程為

(24)

平衡方程(24)對于正交各向異性多層矩形薄板的自由振動問題仍然成立。將式(12～14)代入式(24)，得多層正交各向異性矩形薄板自由振動的微分方程為

(25)

由于在振動問題中，w為與時間t有關的函數，可以分離變量得

w=(Acosωt+Bsinωt)W(x,y)

(26)

式中ω為板的固有頻率，W(x,y)為板的振型函數。

將式(26)代入式(25)，化簡(Acosωt+Bsinωt)后得到多層正交各向異性矩形薄板自由振動的控制方程為

(27)

2.3.3 穩定的控制方程

矩形薄板的穩定平衡方程為

(28)

式中Fx和Fy分別為沿中面x方向和y方向的縱向壓力，Fx y為縱向剪力。

平衡方程(28)對于正交各向異性多層矩形薄板的穩定問題仍然成立。將式(12～14)代入式(28)，得多層正交各向異性矩形薄板穩定的控制方程為

(29)

2.4 邊界條件

參見文獻[12]，板邊以x=0的邊為例，角點以x=0和y=0處的點A為例，以下給出各種邊界條件的具體形式。

2.4.1 簡支邊的邊界條件

若該邊發生支座沉降而產生撓度ξ，且受板邊分布彎矩M,則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ，(Mx)x = 0=M；若該邊不發生支座沉降，則上述第一式變為(w)x = 0=0；若該邊不受板邊分布荷載作用，則上述第二式變為(Mx)x = 0=0。

2.4.2 夾支邊的邊界條件

若該邊發生支座沉降而產生撓度ξ與轉角θ，則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ，(?w/?x)x = 0=θ；若該邊不發生支座沉降，因而該邊的撓度與轉角的值均為0，則上述第一式與第二式將變為(w)x = 0=0，(?w/?x)x = 0=0。

2.4.3 自由邊的邊界條件

2.4.4 角點的邊界條件

(1) 兩自由邊交點且無支撐

若該角點受集中荷載P作用，角點條件可以表述為2(Mx y)A=P；若該點不受集中荷載作用，角點條件將變為2(Mx y)A=0。

(2) 兩自由邊交點有支撐或非兩自由邊交點

若該角點有支座沉降產生的撓度ξ，角點條件可以表述為(w)A=ξ；若該點無支座沉降，角點條件可以表述為(w)A=0。

2.5 構造通解

參見文獻[11-13]的推導過程，構造帶有補充項的雙重正弦傅里葉級數通解為

(30)

式中wo o,wa o,wo b和wa b分別為矩形板四個角點的撓度，An,Bn,Cm、Dm,En,Fn,Gm和Hm分別為邊界撓度及邊界彎矩展開項的系數，再加上Bm n，一共有13組待定系數。這13組待定系數分別由四個角點條件、八個板邊邊界條件和一個控制方程組成的方程組進行求解。

由以上推導可以看出，多層正交各向異性矩形薄板的內力、控制方程、邊界條件以及通解的形式均與單層板相同，只是其中的物理參數的含義不同。因此，可以用式(17～21)將多層板的物理參數折算為與之等價的單層板的物理參數。這樣，多層正交各向異性矩形薄板的求解問題就轉化成了單層正交各向異性矩形薄板的求解問題。

3 算例分析

3.1 四邊夾支單層正交各向異性矩形薄板的穩定分析

參見文獻[18],取四邊夾支正方形板如圖3所示，板邊只受x方向的縱向均布壓力，其值為每單位長度上Fx。板的邊長為a=1 m，b=1 m，厚度為δ=0.02 m。板的泊松比μx=0.25；彈性模量Ex=34300 MPa，Ex/Ey=40,Gx y/Ey=0.5。坐標軸方向與板的彈性主軸方向相同。

圖3 四邊夾支板

用Matlab編程運算，并改變a/b的值，得到不同長寬比情況下的穩定臨界荷載，結果列入表1。

表1 四邊夾支單層正交各向異性板的穩定臨界荷載Fx (單位：Dx/b2)

按照本文方法，可以求得h0=0.01 m，即中性面與板中面重合，這與單層板的理論吻合，證明本文求解中性面位置的方法是合理的。由表1可知，本文構造的通解是有效的。

3.2 四邊夾支三層正交各向異性矩形薄板的穩定分析

仍取四邊夾支矩形薄板如圖3所示，板邊只受x方向的縱向均布壓力Fx。該板由三層正交各向異性矩形薄板組成,坐標軸方向與每層板的彈性主軸方向都相同。板的材料從上到下依次為碳/環氧、E-玻纖/環氧和芳綸/環氧，物理參數列入表2。

表2 板的物理參數

根據式(30)構造通解，從圖3可以看出，四個板邊的撓度均為0，四個角點的撓度也均為0。因此與之相對應的系數An=0，Bn=0，Cm=0，Dm=0，wo o=0，wa o=0，wo b=0，wa b=0。將以上系數代入通解并化簡后得

(31)

將式(31)代入未用到的邊界條件與穩定的控制方程中，再將多項式延拓并展開為傅里葉級數，比較級數系數得到方程組(32～36)。

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

用Matlab編程計算該方程組，可以求得穩定臨界荷載Fx e r的值,并用Abaqus軟件求得該多層板的臨界荷載(即有限元解1)與等價單層板的臨界荷載(即有限元解2)。Abaqus數值模擬過程采用殼單元建模，選取S4R單元，網格劃分為50×50，各層材料彈性屬性用lamina定義。在lamina彈性屬性中，需要給出Gx z和Gy z的值，現行的令Gx z,Gy z和Gx y相等的方法在Gx y比Ex和Ey小得多(至少小一個數量級)時是不合理的，本文采用Gx z=Gy z=Ex，結果列入表3。

表3 四邊夾支三層正交各向異性矩形薄板的穩定臨界荷載Fx e r(單位：MN/m)

由表3可知，本文將多層板折算成單層板的方法是有效的，而且該方法收斂很快。

3.3 任意邊界條件三層正交各向異性矩形薄板的彎曲、自由振動及穩定分析

本文方法不僅適用于多層正交異性矩形薄板的穩定分析，還可以用于板的彎曲與自由振動分析，只需將控制方程分別替換為板的彎曲與自由振動的控制方程。需要注意的是，在板的自由振動分析時，通解與邊界條件中的撓度函數w應替換為振型函數W。

取三層正交各向異性矩形薄板，物理參數同上，改變邊界條件，分別分析板彎曲的最大撓度wmax、一階固有頻率ωmin、只受x方向壓力時的穩定臨界荷載Fx e r、只受y方向均布壓力時的穩定臨界荷載Fy e r以及同時受x方向與y方向雙向均布壓力時的穩定臨界荷載Fe r，并與有限元結果比較。彎曲分析時取均布荷載，大小為q=0.98 MPa，z軸正向為正。

彎曲計算時m×n取100×100，自由振動計算時m×n取40×40，穩定計算時m×n取40×40，所得解均收斂。有限元模型同上，計算結果列入表4和表5。

邊界條件編碼方式為C代表夾支邊，S代表簡支邊，F代表自由邊。第一個字母表示x=0邊界的支承情況，第二個字母表示y=0邊界的支承情況，第三個字母表示x=a邊界的支承情況，第四個字母表示y=b邊界的支承情況。若兩相鄰自由邊的交點有角點支撐，則在這兩自由邊對應的兩個編碼F中間增加編碼1。

由表4和表5可知，本文的方法適用于計算任意邊界條件的多層正交各向異性矩形薄板的彎曲和振動問題。本文方法也適用于不含自由邊板的穩定問題和含自由邊板但是自由邊不受縱向荷載作用的穩定問題。對于自由邊受縱向荷載作用的穩定問題，本文不能給出滿意的解。這是由于Kirchhoff假定將自由邊的扭矩和剪力合成總的等效剪力作為自由邊的邊界條件之一。根據圣維南原理，荷載的具體分布只影響荷載作用區附近的應力分布，所以在自由邊附近，無法得到滿意的解。

表4 不含自由邊板的彎曲最大撓度wmax(單位：m)、一階固有頻率ωmin(單位：rad/s)及穩定臨界荷載Fx e r，Fy e r和Fe r(單位：MN/m)

表5 含自由邊板的彎曲最大撓度wmax(單位：m)、一階固有頻率ωmin(單位：rad/s)和穩定臨界荷載Fx e r(單位：MN/m)

4 結 論

(1) 本文將多層正交各向異性矩形薄板的物理參數折算為等效的單層板物理參數，使多層板的計算簡化為單層板的計算。算例分析證明這種方法是有效的。該方法還可用于將多層各向同性矩形薄板折算為與之等價的單層板。與文獻[13]對比，本文方法更加簡單、方便且有效。

(2) 本文的通解能適用于各種邊界條件下多層正交各向異性矩形薄板的彎曲、振動和穩定問題，且該通解不需要疊加，大大降低了計算的難度。本文的通解不僅適用于簡單邊界條件，還適用于復雜邊界條件和混合邊界條件的運算。對于有支座沉降或者有板邊分布彎矩的復雜邊界條件以及如文獻[13]的混合邊界條件，本文方法均能得到符合工程精度要求的解。

(3) 本文方法不僅適用于矩形板，還適用于研究可以劃分為多個小矩形板的其他形狀的板，如回字形板、L形板和T形板等都可以使用本文方法得到符合工程精度要求的解。

(4) 現有的許多關于單層矩形薄板的研究，均可用本文折算方法拓展到多層矩形薄板領域，大大減少了研究多層矩形薄板的工作量。

(5) 當坐標軸與其中各層板的主軸不重合時，也可以使用本文方法計算，只需先求板的偏軸剛度與偏軸模量。

(6) 由于Kirchhoff假定將自由邊的扭矩和剪力合成總的剪力作為自由邊的邊界條件之一，對于自由邊受縱向荷載作用的穩定問題，本文不能給出滿意的解。