多孔功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動分析

王偉斌， 楊文秀， 滕兆春

(蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050)

1 引 言

功能梯度材料FGMs(Functionally Graded Materials)是一種非均質的新型復合材料，最早由日本科學家Toshio等提出[1]。航天飛機在通過大氣層時，高速飛行會使機身內外存在很大的溫差，從而導致材料內部產生很大的熱應力，為了解決熱防護系統出現的這一系列不利因素，進而對機身材料的力學性能和耐熱性能有很高的要求，FGMs的出現滿足了這一要求[1]。FGMs通常是由兩種或者兩種以上性能不同的材料復合而成，也可以通過不同性質、大小和形狀的增強相和基體相使用連續的方法結合而成。通過逐漸改變組成材料的體積分數，FGMs結構的性質和功能由一側向另一側呈連續梯度變化，因此不存在明顯的界面，與均勻的復合材料相比，消除了不連續的物理性能，使得熱應力集中能夠降到最低[2]。FGMs已廣泛應用于機械工程、土木工程、船舶工業和核工業等高技術領域。近些年來，人們對功能梯度梁、板以及殼結構的力學行為進行了大量的研究[3-5]。Esen[6]研究了熱環境中加速載荷作用下功能梯度Timoshenko梁的動態響應，得到了在均勻、線性和非線性熱載荷及變速熱載荷作用下運動質量與不同陶瓷和金屬成分的梯度梁相互作用的新結果。Baghlani等[7]研究了彈性地基上的FGMs部分充液圓柱殼在熱環境下的力學性能，得到了冪律指數、液體深度和溫度對殼的無量綱固有頻率的影響。Shahbaztabar等[8]分析了部分或完全與流體接觸的FGMs圓柱殼在Pasternak地基上的自由振動問題，得到了液深比、彈性地基和幾何參數等對無量綱固有頻率的影響。蒲育等[9]基于一種擴展的n階廣義剪切變形梁理論，得出了彈性地基上FGMs簡支梁自由振動的解析解。林鵬程等[10]應用微分求積法研究了熱沖擊下軸向運動FGMs梁的自由振動，考慮了不同熱沖擊載荷、梯度指數和軸向運動無量綱速度對FGMs梁自振頻率的影響。滕兆春等[11]基于平面線彈性理論，分析了FGM 環扇形板的面內自由振動。孫云等[12]基于物理中面概念，分析了FGM薄板的屈曲，得出了FGM薄板臨界載荷與均勻板臨界載荷中計算系數的關系，為FGM的推廣起到了積極作用。

由于現有制備技術的缺陷，某些制備過程在FGMs內部不可避免會出現小的孔隙，形成多孔FGMs。同時，隨著FGMs的應用越來越廣泛，也可以使用泡沫金屬和陶瓷來制造多孔FGMs以形成可應用的特殊功能結構，如催化器、過濾器、生物材料和燃燒室等。這些孔隙率對FGMs的物理性能和功能特性有很大的影響，因此越來越多的研究人員開始關注多孔FGMs的力學行為分析。Zenkour等[13]研究了功能梯度夾層多孔材料板的彎曲響應，討論了梯度指數和孔隙率的影響。Slimane[14]基于高階剪切變形理論，研究了多孔陶瓷-金屬功能梯度板的彎曲問題。Behravan Rad等[15]基于徑向和厚度方向上微分求積和狀態空間矢量技術的求解方法，進行了非對稱變厚度多孔FGMs圓板的三維磁彈性分析。 Zghal等[16]采用不同的孔隙分布方式，研究了多孔材料功能梯度梁的靜態彎曲問題。Ait Atmane等[17]考慮剪切變形和橫向拉伸效應，研究了雙參數彈性地基上多孔FGMs梁的彎曲、自由振動和屈曲響應。

近來大多研究者主要集中對多孔均勻材料板和多孔FGMs板進行靜動態力學分析，且一般只考慮孔隙在材料中均勻分布的情況。目前，對多孔FGMs梁結構的動力學研究相對較少，尤其對孔隙的其他分布形式鮮有考慮。本文基于Timoshenko梁理論，考慮孔隙的均勻分布和線性分布，應用微分變換法DTM(Differential Transformation Method)研究多孔FGMs梁的自由振動問題，并在退化后與已有文獻的結果進行對比以驗證正確性。在計算結果的基礎上，進一步分析孔隙率、梯度指數和細長比對多孔FGMs梁自由振動無量綱固有頻率的影響。

2 控制微分方程的建立及物理參數的無量綱化

圖1 多孔功能梯度梁的幾何模型

均勻分布：

(1)

線性分布：

(2)

式中n為FGMs梯度指數，下標c與m分別表示陶瓷和金屬材料，θ表示孔隙率。

基于Timoshenko梁變形理論，可設多孔FGMs梁的位移場為

(3)

w(x,z,t)=w0(x,t)

(4)

(5)

σx x=E(z,θ)εx x,τx z=G(z,θ)γx z

(6)

將式(5)代入式(6)，積分得到軸力和彎矩為

(7)

剪力為Qx z=ksA55γx z

(8)

(9)

(10)

ks為剪切修正系數，本文取ks=5/6。式(10)的積分結果為

D11=Ecbh3，A55=A11/[2(1+μ)]

式中Pm為Em，Pc為Ec。均勻分布時,β1=2,β2=24； 線性分布時,β1=4,β2=96。

根據Hamilton原理，在所有約束允許的可能運動中，真實運動使Hamilton作用量具有極值，即Hamilton作用量的一階變分為0。可寫為

(11)

(12)

(13)

(14)

式中δ為細長比，Ω為多孔FGMs梁的無量綱固有頻率。得到多孔FGMs梁的自由振動控制微分方程為

(15)

對于多孔FGMs梁在ξ=0和ξ=1的無量綱邊界條件，其形式如下,

固定(C):W=0， dW/dξ=0

(16)

簡支(S):W=0， d2W/dξ2=0

(17)

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

DTM是一種有效的半解析解法，基于Taylor 級數展開進而求解微分方程[18]。運用 DTM 對多孔FGMs梁運動控制方程進行求解時，首先需要將其無量綱控制微分方程和邊界條件經 DTM 變換為相應的代數特征方程。根據函數的 Taylor 公式，經過DTM變換后的函數F[k]可定義為[18]

(k=0,1,2,3,…)(18)

F[k]的逆變換為

(19)

由式(18,19)可得

(k=0,1,2,3,…)(20)

在實際應用過程中，可表示為

(21)

多孔FGMs梁的自由振動控制微分方程經DTM可變換為

(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)F[k+4]+

(k+2)(k+1)F[k+2] +

(22)

對無量綱邊界條件也進行DTM變換：

在ξ=0處，

固定(C):F[0]=0,F[1]=0

(23)

簡支(S):F[0]=0,F[2]=0

(24)

在ξ=1處，

(25)

(26)

4 計算結果及分析

表1給出了在C-C，C-S和 S -S(h/L=0.01)邊界條件下，當孔隙率θ=0，功能梯度指數n=0時，多孔FGMs梁退化為均勻陶瓷材料梁，經過DTM求解給出的前三階無量綱固有頻率，并與文獻[20,21]的數值結果進行了比較。可以看出，本文得出的結果與其非常接近，說明了DTM對于研究本問題的適用性與正確性。

表1 C-C，C-S和S -S邊界條件下陶瓷均勻材料梁無量綱頻率(h /L =0.01)Tab.1 Dimensionless frequencies of ceramic homogeneous beams under C-C，C-S，S -S boundary conditions (h /L =0.01)

表2給出了多孔FGMs梁在S -S邊界條件下，細長比為h/L=0.1和h/L=0.2，當孔隙率θ=0，功能梯度指數n=0時，多孔FGMs梁退化為均勻陶瓷材料梁，經過DTM求解的前五階無量綱固有頻率，得到的數值解與文獻[19,21,22]的解也基本一致。

表2 S -S邊界條件下陶瓷均勻梁無量綱頻率Tab.2 Dimensionless frequencies of ceramic uniform beam under S -S boundary condition

表3和表4分別給出了FGMs中孔隙在均勻和線性兩種分布情況下，當梯度指數n=1，細長比h/L=0.5時，在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前兩階無量綱固有頻率的影響。由表3和表4可知，孔隙率θ對多孔FGMs無量綱固有頻率Ω的影響具體表現為，隨著孔隙率θ的增大，在均勻和線性兩種分布下，無量綱固有頻率Ω都是減小的，并且二階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階；當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大，即C-C>C-S>S -S。

表3 均勻分布不同邊界下孔隙率對固有頻率的影響(n =1，h/L =0.5)Tab.3 Effect of porosity on natural frequencies under different boundaries of uniform distribution (n =1，h/L =0.5)

表4 線性分布不同邊界下孔隙率對固有頻率的影響(n =1，h /L =0.5)Tab.4 Effect of porosity on natural frequencies under different boundary of linear distribution (n =1，h /L =0.5)

圖2分別為多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，當細長比h/L=0.25，孔隙率θ=0.2，孔隙均勻分布時，梯度指數n和無量綱固有頻率Ω之間的關系曲線。可以看出，在細長比和孔隙率一定的情況下，隨著梯度指數n的增加， 多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率下降幅度較小，不夠明顯，而二到四階無量綱固有頻率下降幅度較大，特別是梯度指數介于0和2之間尤為劇烈。

圖3為多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，當細長比h/L=0.25，孔隙率θ=0.2，孔隙線性分布時，梯度指數n和前四階無量綱固有頻率Ω之間的關系曲線。可以看出，在細長比和孔隙率一定的情況下，隨著梯度指數n的增加，多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率下降幅度較小，不夠明顯，而二階到四階無量綱固有頻率下降幅度較大。由圖2和圖3同階頻率比較可知，在相同邊界條件下，均勻分布和線性分布隨著梯度指數n的增大逐漸減小的幅度基本相同。

圖2 孔隙均勻分布時C-C，C-S和S -S邊界條件下梯度指數對無量綱固有頻率的影響(h /L =0.25,θ =0.2)

圖3 孔隙線性分布時C-C，C-S和S -S邊界條件下梯度指數對無量綱固有頻率的影響(h /L =0.25,θ =0.2)

圖4給出了孔隙均勻分布，當梯度指數n=1，細長比h/L=0.4時，多孔FGMs梁在C-C，C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率Ω的影響。可以看出孔隙率對多孔FGMs無量綱固有頻率的影響具體表現為,隨著孔隙率θ的增大，無量綱固有頻率Ω均減小，且二階和三階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階。

圖5給出了孔隙線性分布，當梯度指數n=1，細長比h/L=0.4時，多孔FGMs梁在C-C,C-S和S -S三種不同邊界條件下，孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率Ω的影響。可以看出，孔隙率對多孔FGMs無量綱固有頻率的影響具體表現為，隨著孔隙率θ的增大，無量綱固有頻率Ω均減小；二階和三階無量綱固有頻率減小的幅度大于一階。相同邊界條件下，圖4和圖5同階頻率相比，線性分布的頻率下降的幅度大于均勻分布。

圖4 均勻分布時孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率的影響(n =1，h /L =0.4)

圖5 線性分布時孔隙率θ對前三階無量綱固有頻率的影響 (n =1，h /L =0.4)

圖6 給出了孔隙均勻分布，當孔隙率θ=0.1，梯度指數n=1時，在C-C，C-S和S -S邊界條件下，細長比h/L與前三階無量綱固有頻率Ω的關系曲線。結果表明,在邊界條件一定的情況下，隨著細長比h/L的增大，多孔FGMs梁的無量綱固有頻率Ω減小，即當梁高度h一定時，L越小，無量綱固有頻率越小，反之亦然；當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大。

圖7給出了孔隙線性分布，當孔隙率θ=0.1，梯度指數n=1時，在C-C，C-S和S -S邊界下，細長比h/L與前三階無量綱固有頻率Ω的關系曲線。可以看出，在邊界條件一定的情況下，隨著細長比的增大，多孔FGMs梁的無量綱固有頻率Ω減小。圖6和圖7同階頻率相比，在相同邊界條件下，細長比h/L對均勻分布和線性分布的影響基本一致。

圖7 線性分布時細長比對前三階無量綱固有頻率的影響 (θ =0.1，n =1)

5 結 論

本文基于Timoshenko梁理論，分析了兩種類型孔隙分布下，孔隙率、梯度指數和細長比對多孔FGMs梁自由振動無量綱固有頻率的影響。主要結論如下。

(1) 孔隙率θ和細長比h/L一定時，在三種不同邊界條件下，隨著梯度指數n的增加，多孔FGMs梁的前四階無量綱固有頻率都在逐漸下降。一階無量綱固有頻率Ω下降幅度較小，二階到四階無量綱固有頻率Ω下降幅度劇烈。并且在相同邊界下，均勻和線性分布隨著梯度指數n的增大逐漸減小的幅度基本相同。

(2) 細長比h/L和梯度指數n一定時，隨著孔隙率θ的增大，在均勻和線性兩種分布下，無量綱固有頻率Ω均減小。并且二階和三階無量綱固有頻率Ω減小的幅度大于一階；同階頻率相比，線性分布的頻率下降幅度大于均勻分布。

(3) 孔隙率θ和梯度指數n一定時，在C-C，C-S 和S -S三種邊界下，均勻和線性兩種分布一定的情況下，隨著細長比h/L的增大，無量綱固有頻率Ω減小，且兩種分布下無量綱固有頻率Ω減小的幅度基本一致。當θ的取值一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大。