隨機縱場對一維量子Ising模型動力學性質的影響*

袁曉娟 王輝 趙邦宇 趙敬芬 明靜 耿延雷 張凱煜

(齊魯師范學院物理與電子工程學院,濟南 250200)

量子自旋系統的動力學性質是統計物理和凝聚態理論研究的熱點問題.本文利用遞推關系方法,通過計算系統的自旋關聯函數及譜密度,研究了縱場對一維量子Ising 模型動力學性質的影響.對于常數縱場的情況,發現當自旋耦合相互作用較弱時縱場能夠引起不同動力學行為之間的交跨效應,且驅使系統出現了多種振動模式,但較強的自旋耦合相互作用會掩蓋縱場的影響.對于隨機縱場的情況,分別討論了雙模型隨機縱場和高斯型隨機縱場的影響,發現不同隨機類型下的動力學結果有很大的差別,且高度依賴于隨機分布中參數的選取,如雙模分布的均值,高斯分布的均值和偏差等.盡管常數縱場和隨機縱場下的動力學結果不同,但可以得到一個共同的結論:當縱場所占比重較大時,系統的中心峰值行為將得到保持.且此結論可以推廣:系統哈密頓中非對易項的出現有利于中心峰值行為的保持.

1 引言

經典或量子多體系統的動力學性質一直是實驗和理論研究的熱點.其中,在對量子自旋系統動力學性質的研究中,一維橫向Ising 模型被廣泛采用.盡管Ising 模型非常簡單,但卻顯示了非常豐富的物理性質.研究表明,該模型可以用來描述準一維有序-無序鐵電體(如 C s(H1?xDx)2PO4,PbH1?xDxPO4)[1?4]、自旋玻 璃(如 L iHO0.167Y0.833F4)[5]、均聚物[6]、DNA 序列[7]、準一維化合物(如BaCo2V2O8)[8]等眾多材料的性質.此外,該模型還可以捕捉某些中子散射實驗(例如 L iHOF4材料)的重要特征[9?10].

早期,人們重點關注純自旋系統的動力學性質,考慮自旋耦合相互作用和外加的橫向(或縱向)磁場為常數[11?14].后來,隨著對無序系統的關注,人們開始研究隨機外場對自旋動力學的影響.此時考慮外加的磁場不再為常數而是滿足某種概率分布的隨機數,例如滿足雙模分布[15?18]、三模分布[19]、高斯分布[20,21]、雙高斯分布[22,23]等,且取得了重要的成就和進展.近期,實驗上發現當外加磁場既有橫場又有縱場時可以得到一些有趣的結果.例如,在類XY 量子鐵磁體Cs2CoCl4中,非對易場(noncommuting field)的出現將誘導有序-無序相變[24];在Ising-like 光學晶格中,通過改變縱場可以引起順磁-反鐵磁相變[25].因此橫場和縱場共同作用(混合磁場)下的自旋系統成為近十幾年來理論研究關注的焦點.研究結果表明混合磁場下系統的量子相變[26]、基態相圖[27,28]、熱力學性質[29]、臨界行為[30,31]、熱輸運[32]等與系統只有橫場(或縱場)時的結果有很大不同.

但據我們所知,截至目前人們對混合磁場下自旋系統動力學性質的研究相對較少,尤其對縱場下的自旋動力學缺乏系統而深入的研究,其主要原因是對動力學相關物理量的計算極具挑戰性.本工作采用一維量子Ising 模型,考慮外加的磁場既有橫場又有縱場.鑒于以往的工作大多研究橫場對自旋動力學性質的影響,這里重點關注縱場的影響.考慮常數縱場和隨機縱場兩種情況,給出系統的自旋關聯函數和相應的譜密度,得出結論并推廣.

2 模型及方法

當外加磁場既有橫場又有縱場時[11,33?35],一維量子Ising 模型的哈密頓量可以表示為

其中,(αx,y,z) 為格點i處的自旋算符,J是自旋耦合相互作用參數,為縱向磁場,為橫向磁場.(1)式中1/2 是為了計算方便而選取的常數,計算采用周期性邊界條件.

研究自旋動力學性質的關鍵是求解含時自旋關聯函數[36],其定義式為

得到.

眾多研究表明遞推關系方法(recursion method)是求解關聯函數C(t) 及譜密度Φ(ω) 的最有效的方法之一[38?40].該方法由Lee 首先提出,最初用于求解廣義Langevin 方程,隨后被逐漸用于研究自旋系統的動力學.目前遞推關系方法已被廣泛應用于研究電子氣、諧振子鏈、多粒子系統、簡單流體等眾多系統的動力學性質[41].下面將遞推關系方法簡述如下.

其中zε+iω(ε>0) 為復數.由于連分式是無窮階的,因此必須采用一種合理的截斷方法將其截斷.其中高斯截斷比較適合我們的模型,截斷后由a0(z) 的近似解可以得到譜密度

利用(6)式我們精確計算了前9 個基矢,隨著ν的增大,基矢越來越復雜.因此這里僅給出前兩個基矢及其相應的內積,如下

利用(7)式計算了前9 個連分式系數?1,?2,···,?9,進而得到自旋關聯函數及相應的譜密度.需要說明的是,以上計算是在高溫極限下進行的,所以動力學結果不會受到相變的影響.

3 常數縱場對動力學的影響

首先討論縱場取值為常數時系統的動力學性質.為了不失一般性,令橫場1.縱場的取值可以小于1 也可以大于1,例如0,0.5,1.0,1.5 和2.0.當縱場取值為0 時,該模型蛻化為一維橫向Ising 模型[15,20].自旋耦合相互作用參數J取值為0.1,0.5,1.0 和1.5,既考慮了弱耦合(J<1)的情況又考慮了強耦合(J≥1)的情況.圖1 和圖2分別給出了系統在不同參數下的自旋關聯函數C(t) 及 相應的譜密度Φ(ω).

圖1 橫場取值 =1,縱場取值=0,0.5,1.0,1.5 和2.0,(a)?(d)分別對應自旋耦合相互作用參數J=0.1,0.5,1.0 和1.5 時的自旋關聯函數Fig.1.Take the transverse magnetic field =1 and the longitudinal magnetic field =0,0.5,1.0,1.5 and 2.0,respectively.Spin autocorrelation functions C (t) for different values of spin interactions (e.g.,J=0.1,0.5,1.0 and 1.5) are given in (a)?(d),respectively.

圖1(a)和圖2(a)分別對應J=0.1 時的自旋關聯函數和譜密度.此時由于自旋耦合相互作用比較弱,外加磁場的影響非常明顯.當縱場取值為零時,此時外場只有橫場,系統的關聯函數是一個余弦函數(圖1(a)中紅色虛線),相應的譜密度峰值出現在ω1 處.顯然,系統的動力學行為表現為自由自旋在橫場中的進動,且進動頻率ω,與已有結果相吻合[20,35],證明我們的計算是可行的.但隨著縱場的逐漸增強(如0.5,1.0),關聯函數呈余弦振蕩的振幅逐漸變小,相應的譜密度峰出現右移且峰值逐漸變小,同時在ω0 處出現了一個小的峰.我們把譜密度同時在ω0和ω0 處出現峰的行為稱為雙峰行為.經與已有結果進行比較,發現這種動力學行為只出現在橫場和縱場共同存在的情況下.因此隨著縱場的增強,系統的動力學經歷了一個由自由自旋在橫場中的進動到雙峰行為的交跨效應.

圖2 橫場取值 =1,縱場取值=0,0.5,1.0,1.5 和2.0,(a)?(d)分別對應自旋耦合相互作用參數J=0.1,0.5,1.0 和1.5 時的譜密度.Fig.2.Take the transverse magnetic field =1 and the longitudinal magnetic field =0,0.5,1.0,1.5 and 2.0,respectively.The corresponding spectral density Φ (ω) for different values of spin interactions (e.g.,J=0.1,0.5,1.0 and 1.5) are given in(a)?(d),respectively.

圖1(b)和圖2(b)分別為J0.5 時的自旋關聯函數和譜密度.當0 時,自旋關聯函數以阻尼振蕩的形式衰減,相應的譜密度峰出現在ω0.5?1.0 處,此時系統的動力學表現為典型的集體模行為.但隨著縱場的增強(如1.0,1.5),譜密度由原來的一個峰逐漸擴展為兩個峰.其中ω0 處的峰值隨著縱場的增強而增大,ω0 處的峰值則逐漸變小,且兩個峰之間的距離越來越遠.這表明,縱場的增強會使系統的低頻響應(ω0 處)更加明顯,而高頻響應(ω0 處)被削弱.當縱場增大到2.0 時,譜密度出現了3 個峰,如圖2(b)黑色實線所示.這表明較強的縱場能夠引起新的振動頻率.因此隨著縱場的增大系統的動力學經歷了一個由集體模行為到多峰行為的交跨效應.從以上分析可以看出,在弱耦合情況下,縱場對系統動力學性質的影響非常明顯,不但能夠引起不同動力學行為之間的交跨效應,而且驅使系統出現了多種振動模式.

圖1(c)和圖2(c)分別為J1.0 時的自旋關聯函數和譜密度.當0 時,關聯函數呈高斯衰減,相應的譜密度峰出現在ω0 處,與已有結果吻合[20,42].當0 時,關聯函數曲線呈單調遞減,譜密度峰值依然處于ω0 處,這是非常典型的中心峰值行為.需要說明的是,由于計算中采用了近似處理,所以短時動力學行為更加準確,在圖1(c)中以t<3 的結果為準進行分析.結果顯示,隨著縱場的增強,關聯函數衰減得越來越慢,相應的譜密度峰值越來越大,且譜線越來越向ω0 處集中,這表明縱場的增強可以使中心峰值行為增強.但縱場的增強沒有引起動力學行為之間的交跨現象,這是因為較強的自旋耦合相互作用在動力學行為中占主導作用,掩蓋了縱場的影響.同樣,在J1.5 的情況下也得到了類似的結論,如圖1(d)和圖2(d)所示.

以上結果表明,無論是弱耦合情況還是強耦合情況,縱場的增強可以使系統動力學行為中的低頻響應(中心峰值行為)得到更好的保持,相應地使高頻響應(集體模行為)減弱.其物理機制可以從系統哈密頓中的非對易項進行分析.之前我們的結果顯示,次近鄰相互作用的出現能∑夠增強系統的中心峰值行為[43,44],這與縱場的影響結果類似.經進一步分析,發現當系統哈密頓中出現非對易項時(與橫場項非對易),自旋耦合相互作用將被加強,在與橫場競爭中占有優勢,從而系統的中心峰值行為得到保持,相應地集體模行為被削弱.因此可以在系統哈密頓中加入非對易項來調節系統的動力學性質,比如D-M 相互作用[45,46]、晶格場作用[47]、雜質[48]、鏈間自旋耦合相互作用或四自旋相互作用[49]等.

4 雙模型隨機縱場對動力學的影響

通過上面的結果可以看出,在弱耦合情況下縱場對系統動力學性質的影響比較明顯,所以這里重點分析弱耦合情況下隨機縱場的影響,比如取自旋耦合相互作用參數J0.5.首先考慮隨機縱場滿足雙模分布的情況,這是一種典型的離散型分布,表達式為

其中B1和B2為均值.該分布的物理含義為,縱場取值為B1(B2)的概率為p(1?p).為了不失一般性,仍令橫場1,均值B1和B2的取值可以大于也可以小于.比如取B11.3 和B20.7,則隨著p的增加縱場的取值從小于橫場的情況變為大于橫場的情況.圖3 給出了兩種均值取值情況下的自旋關聯函數和相應的譜密度.圖3(a)和圖3(b) 為B11.3 和B20.7 時的結果,圖3(c)和圖3 (d)為B11.8 和B20.2 時的結果.

圖3 隨機縱場滿足雙模分布時的自旋關聯函數和譜密度 (a),(b)對應 B1=1.3 和 B2=0.7 時的結果;(c),(d)為 B1=1.8 和B2=0.2 時的結果Fig.3.Spin autocorrelation functions and the corresponding spectral densities for bimodal-type random longitudinal magnetic field.The results for B1=1.3 and B2=0.7 are given in (a) and (b),and the results for B1=1.8 and B2=0.2 are given in (c) and(d),respectively.

從圖3(a)和圖3(b)可以看出,當p0 時,系統的動力學行為表現為典型的雙峰行為,此時ω0和ω0 處的兩個峰大小幾乎相同,如圖3(b)紅色虛線所示.隨著p的增大,ω0 處的峰逐漸增大,而ω0 處的峰逐漸變小,且兩個峰之間的距離逐漸變大.這表明隨著縱場所占比重的增大,系統的低頻響應增強,相應地高頻響應減弱,這與縱場取值為常數時得到的結論一致.當雙模分布的均值取值為B11.8 和B20.2 時,雙模分布的不對稱性增強.圖3(c)和圖3(d)顯示隨著p的增大系統的動力學出現了由集體模行為到雙峰行為的交跨效應.這表明雙模分布的不對稱性越明顯(B1和B2的取值差別越大),越容易引起不同動力學行為之間的交跨現象.從以上分析可以看出,對于雙模隨機縱場,系統的動力學高度依賴于隨機分布的均值,且不對稱的雙模分布更容易引起新的振動模式.

5 高斯型隨機縱場對動力學的影響

現在討論隨機縱場滿足高斯分布的情況,這是一種典型的連續型分布,表達式為

其中,Bx為均值,σ為偏差.橫場取值仍為1,縱場均值Bx的取值可以小于1 也可以大于1,比如取0,0.5,1.0,1.5 和2.0.為了更好地顯示動力學行為的演變過程,偏差的取值從一個較小值(如0.3)變為較大值(如1.8).計算中參數的選取有很多種,這里僅給出具有典型代表作用的一些結果.由于關聯函數和譜密度呈現的動力學結果一致,因此這里僅給出譜密度結果,如圖4 所示.

圖4 隨機縱場滿足高斯分布時的譜密度 (a)?(d)分別對應 σ =0.3, 0.8, 1.0, 1.8 時的結果.Fig.4.Spectral densities for Gaussian-type random longitudinal magnetic field.The results for σ =0.3, 0.8, 1.0 and 1.8 are given in (a)?(d),respectively.

圖4(a)對應σ0.3 時的結果.當均值較小時(Bx0)系統表現為典型的集體模行為,隨著均值的逐漸增大,譜密度逐漸擴展為兩個峰(如Bx1.0 和1.5),因此系統經歷了一個由集體模行為到雙峰行為的交跨效應.顯然這種效應是由于均值變化所引起.隨著偏差的增大(如σ0.8 和1.3),系統的集體模行為消失,同時雙峰行為也隨著Bx的增大而逐漸演變為中心峰值行為.這表明,隨機縱場偏差的增大使得系統的中心峰值行為得到保持,相應地集體模行為被削弱.繼續增大偏差(如σ1.8),系統僅表現為中心峰值行為,如圖4(d)所示.已有結果顯示,當高斯型隨機橫場的偏差較大時,系統表現為無序行為[20].這表明隨機縱場對系統動力學性質的影響與隨機橫場的影響有很大的差別.

將圖3 和圖4 進行比較,發現對于不同類型的隨機縱場,其動力學結果有很大的差別,高斯型隨機縱場下的動力學結果更加豐富.但我們可以得到一個共同的結論,那就是當縱場所占的比重較大時,系統的中心峰值行為將得到保持,這與縱場取值為常數時的結論一致.

6 結論

本文利用遞推關系方法研究了常數縱場和隨機縱場對Ising 模型動力學性質的影響.研究發現在常數縱場下,當自旋耦合相互作用較弱時縱場的影響較明顯,不但能夠引起不同動力學行為之間的交跨效應,而且能夠驅使系統出現多種振動模式;但較強的自旋耦合相互作用會掩蓋縱場的影響.在隨機縱場下,發現不同類型的隨機縱場對系統動力學性質的影響有很大的差別,且高度依賴于隨機分布中參數的選取.對于雙模型隨機縱場,發現不對稱的雙模分布更容易引起新的振動模式.對于高斯型隨機縱場,發現當高斯分布的偏差較小時,隨著均值的增大系統經歷了不同動力學行為之間的交跨效應,但當偏差較大時,系統僅表現為中心峰值行為.

盡管常數縱場和隨機縱場下的動力學結果有很大差別,但可以得到一個共同的結論:當縱場所占比重較大時,系統的中心峰值行為將得到保持.經進一步分析發現,此結論可以推廣為:系統哈密頓中非對易項的出現有利于中心峰值行為的保持.因此可以在系統哈密頓中加入非對易項來調節系統的動力學性質,比如次近鄰相互作用、D-M 相互作用、雜質、鏈間自旋耦合相互作用或四自旋相互作用等.這為將來研究自旋系統的動力學性質提供了新的方向.