負壓或真空下Ω形波子午向彎曲應力公式中系數K的研究

牛玉華，徐 旭，於 飛，吳建伏，陳云飛，李 揚

(1.南京晨光東螺波紋管有限公司，南京 211153；2.東南大學，南京 211189)

0 引言

膨脹節的結構形式較多，按其波紋管縱向截面內的波紋形狀來分通常有U形、Ω形及S形等。在高溫、高壓及大口徑條件下，Ω形波紋管通常是較好的選擇，但這些石油化工設備常常需要按多工況設計，既要承受較高的內壓，又要承受負壓或真空。EJMA標準[1]提供了Ω形波紋管承受內壓時的計算方法，但該標準明確說明受負壓的Ω形波紋管不包含在標準中。目前國際上的其它波紋管膨脹節的設計標準和規范均未涉及受負壓的Ω形波紋管的計算[2-8]。

文獻[9-10]提供了Ω形波紋管在負壓或真空條件下的子午向薄膜應力的計算公式，由于該公式是通過簡化梁根據平衡方程推導出來的，需要對修正系數K進行修正。如何獲得準確的K值，將直接影響到Ω形波紋管在負壓或真空條件下的子午向薄膜應力計算結果的精度。本文著重研究如何獲得準確的修正系數K值。

1 Ω形波紋管真空及負壓下的強度計算公式

Ω形波紋管在負壓情況或真空條件下與內壓情況下完全不同，如圖1所示，外部加強環已失去加強的作用，按加強環作用下推導出來的內壓情況下的Ω形波紋管的計算公式已不能完全引用。負壓或真空條件下的Ω形波紋管部分所受的應力與無增強型U形波紋管的應力情況有相似之處。

如圖2所示的不考慮外部加強環的單個Ω形波紋管的結構及波形參數，負壓或真空條件下Ω形波紋管中產生的子午向薄膜應力S3及子午向彎曲應力S4的計算公式通過將Ω形波簡化成梁根據平衡方程得出，計算公式如下。

外壓在Ω形波紋管中產生的子午向薄膜應力S3：

(1)

外壓在Ω形波紋管中產生的子午向彎曲應力S4：

(2)

2 Ω形波子午向彎曲應力S4公式中系數K的計算

對于U形波紋管的子午向彎曲應力計算公式，ANDERSON根據梁的理論和圖表引入的修正系數Cp，建立了簡化方程與殼體行為的關系，修正系數Cp的數值也是通過數值分析的方法獲得[3]。

在實際情況中，子午向彎曲應力并不僅僅與圓環半徑比值rt/r有關系，還與直徑有一定的關系。本文通過有限元分析，將Ω形波紋管圓環大半徑r、圓環根部小半徑rt和直徑對子午向彎曲應力的影響進行分析。根據有限元分析結果，得出：(1)Ω形波紋管直徑對子午向彎曲應力的影響要比圓環半徑比值rt/r的影響要大，隨著直徑的增加，子午向彎曲應力也增加；(2)雖然大圓環半徑r單獨變化時與小圓環半徑rt單獨變化時的應力影響趨勢不一樣，但是小圓環半徑rt與大圓環半徑r比值變化與子午向彎曲應力的變化趨勢是相同的；(3)在進行子午向彎曲應力計算時，修正系數K需同時考慮大圓環半徑r與小圓環半徑rt的比值和直徑共同作用的影響。

采用ABAQUS軟件，通過有限元模型計算不同的小圓環半徑rt與大圓環半徑r的比值rt/r及不同直徑的Ω形波紋管的子午向彎曲應力的值，根據式(2)計算出相應的修正系數K值。

2.1 有限元分析模型的建立

由于僅研究Ω形波紋管在外壓或真空情況下所受應力的大小，在這種狀態下，其加強環的作用就變得很小了，故在計算時不考慮加強環的影響，其模型見圖3。由波紋管的幾何結構可看出，它是一種軸對稱結構。為了減少不必要的計算量和方便加載，本文采用1/8的對稱模型進行分析，(見圖4)，有限元分析的應力云圖見圖5。

為了減少不必要的誤差和保證數據的準確性，根據不同的圓環半徑比值rt/r和直徑共建立了100個模型，并分成了2組數據分別取得相應的K值，將2組K值數據的結果取平均值。由于這100個模型最大的直徑為DN2000，按照現在工業的發展，DN3000甚至更大直徑的膨脹節也已經開始應用，為了擴大應用范圍，本文又增補了5個DN3000的模型進行計算。

(1)第1組數據(50個模型)。

1)45個模型的參數如下：厚度t=1.5 mm，大圓環半徑r=22.5 mm，波距q=110 mm，直線段Ld=60 mm,直線段外徑D= 400,600,800,1 000,1 200,1 400,1 600,1 800,2 000 mm，小圓環半徑rt=2.25，4.5，6.75，9，11.25 mm;2)5個模型的參數如下：t=1.5 mm，r=18 mm，q=110 mm，Ld=60 mm，D=200 mm,rt=1.8，3.6，5.4，7.2，9 mm。

(2)第2組數據(50個模型)。

1)45個模型的參數如下：厚度t=1.5 mm，大圓環半徑r=27.5 mm，波距q=110 mm，直線段Ld=60 mm,直線段外徑D=400,600,800,1 000,1 200,1 400,1 600,1 800,2 000 mm，小圓環半徑rt=2.25，4.5，6.75，9，11.25 mm;2)5個模型的參數如下：t=1.5 mm，r=20 mm，q=110 mm，Ld=60 mm，D=200 mm,rt=2，4，6，8，10 mm。

(3)第3組數據(5個DN3000的模型)。

直線段外徑D=3 000 mm，厚度t=1.5 mm，大圓環半徑r=27.5 mm，小圓環半徑rt=2.75，5.5，8.25，11，13.75 mm。

2.2 有限元分析的計算結果

通過有限元分析，取得了第1組50個模型在P=-0.1 MPa下最大的子午向彎曲應力。通過式(2)，計算出每個模型的相應的K值，具體結果見表1,2。2組數據的K值平均值見表3。

表1 通過式(2)計算出的第1組50個數據的K值

表2 通過式(2)計算出的第2組50個數據的K值

表3 2組數據的K值平均值

補充增加DN3000的計算數據后的K值如表4所示。

表4 計算完成的修正系數K值匯總

3 Ω形波紋管系數K有限元計算模型的試驗驗證

為確保計算結果準確，制造了2臺DN750和2臺DN1400的Ω形波紋管進行試驗驗證有限元的模型及計算結果的準確性,如圖6，7所示。

3.1 試驗準備工作

試驗方法：在Ω形波紋管外邊加上一層鋼外殼，這樣外殼和Ω形波紋管外部就形成了一個密閉的容器，對密閉容器施加內壓，就相當于Ω形波紋管承受外壓。在Ω形波紋管的內側貼上應變片測量Ω形波紋管各點的應力值。

為了能夠準確地測量各應力值，需要規劃應變片的位置。參考有限元分析的計算結果，在各波的大半徑和小半徑相接處、波形的頂部(波峰)、直線段與小圓環的相接處(波谷)都需要放置應變片。考慮到在負壓下Ω形波紋管會產生變形，每個環向只有一個應變片不穩定，所以每個環向上設置3個點，以便于取平均值。考慮到設備接口的限制性，僅能有30 個應變片的通道，故每個縱截面上的測試點的位置設了10個。由于波紋管的對稱性，僅對波紋管的1/2波紋進行測試(見圖8),圓圈處代表需要放置應變片的地方。

3.2 試驗結果對比

通過表5，6對比試驗與有限元數據，發現測試點 3，5，6，8，9的試驗數據與有限元數據差距較大，這是由于在有限元模擬的情況下是沒有加強環作用的，所施加的載荷直接加在波紋管上面；而在實際試驗時，并未用抽真空的辦法，而是用液壓從外邊加壓，導致在加強環處作用下的試驗數據應力值偏小。波峰處的點 4，10 的試驗狀態與有限元模擬的狀態是一樣的，對比發現差距都非常小，大小差距不超過 2 MPa，這兩點能夠有效地反映出有限元計算結果和試驗結果對比的實際情況。通過對比數據分析，有限元模型及分析方法能夠較準確地反映出波紋管在受負壓或真空下的應力情況，模型是正確的，結果是基本合理的。

表5 有限元計算結果與試驗結果對比 (測試點 3,5,9)

表6 有限元計算結果與試驗結果對比 (測試點 4,10)

4 Ω形波紋管K計算值的曲線擬合

曲線擬合有通用的兩種方法，第一種方法為模型數據是以某個連續區間上離散值的形式給出的，需要顧及兩個離散值之間某點的估計值，該方法被擬合的數據帶有比較大的誤差,只能推導出整個數據趨勢的一條曲線，沒有必要使擬合曲線經過每一個已知數據點；第二種方法為在數據模型區間中去一些離散點來計算函數的值，然后推導出一個較為簡單的函數,對這些離散值進行擬合[5]。第二種方法顯然比第一種方法擬合結果更加準確，故本文采用第二種方法[11-12]。

本文采用的曲線擬合的軟件為Origin。在確定分析擬合結果時，相關系數與殘差平方和是反映其擬合結果的兩個重要因數。本文對數據進行多項式擬合時，就以這兩個數據作為標準。首先，對表4中的數據進行二次多項式擬合，通過分析所擬合的曲線與離散點的差距，以及相關系數和殘差平方和的數據，可以看到曲線與一些點的差距較大；僅有當圓環半徑比值rt/r=0.1時的相關系數超過了0.95，其余的都在 0.9以下，最小甚至到了0.6，說明二次多項式對此不能實現很好的擬合。然后，用相同的辦法，對數據進行不同次數多項式擬合，直到找到一個能夠合理準確地模擬出曲線。三次多項式和四次多項式的擬合結果不夠理想，通過對五次多項式進行擬合，發現曲線和離散點的差距都比較小(見圖9)，其相關系數都在 0.95 以上，說明五次多項式擬合能夠較好地反映出真實情況的數據。故本文所應用的圖表采用五次多項式擬合的曲線。

5 結論

通過采用有限元分析和試驗驗證相結合，完成了如下研究工作。

(1)根據對不同的圓環半徑比值rt/r和直徑共建立了100個模型，分成了2組，每組各50個模型，后又補充增加了5個DN3000的模型。

(2)采用ABAQUS軟件，通過有限元模型計算共計105個模型，不同的小圓環半徑rt與大圓環半徑r的比值rt/r及不同直徑的子午向彎曲應力的值，根據式(2)計算出修正系數K的值。

(3)為確保計算結果準確，本文專門制造了2臺DN750和2臺DN1400的Ω形波紋管進行試驗驗證有限元的模型及計算結果的準確性。通過對比數據分析，本有限元模型及分析方法能夠較準確地反映出波紋管在受負壓或真空下的應力情況，表明模型是正確的，結果是基本合理的。

(4)采用軟件Origin對所得的值進行曲線擬合，通過對二次、三次、四次、五次多項式分別進行擬合，發現采用五次多項式曲線和離散點的差距都比較小，其相關系數都在0.95以上，這說明五次多項式擬合能夠較好地反映出真實情況的數據，本文采用了五次多項式擬合的修正系數K曲線。

根據本文計算的修正系數K曲線及文獻[9]推導的Ω形波紋管的Ω形波部分的強度計算公式，并結合文獻[9]提供的關于Ω形波直邊強度和穩定性計算方法，本文筆者系統地向EJMA提出了增加負壓或真空下Ω形波紋管的計算的建議，該內容已被EJMA技術委員會接受。