函數的概念與性質常見典型考題賞析

■石漢榮 劉大鳴(特級教師)

以函數概念與性質為背景的創新問題,常以“問題”為核心,以“探究”為途徑,以“發現”為目的,考查同學們在新背景下收集信息、處理信息并應用函數概念等知識解決新問題的能力。

創新1:復合函數定義域中的“創新”

例1已知函數f(-x2+4x-1)的定義域為[0,m],可求得函數f(2x-1)的定義域為[0,2],則實數m的取值范圍是____。

解:由f[g(x)]的定義域求f[h(x)]的定義域,可先求內層函數g(x)的值域,再根據整體變量觀念轉化為二次函數在[0,m]上的值域,即可確定自變量m的取值范圍。

由函數f(2x-1)的定義域為[0,2],可得0≤x≤2,所以-1≤2x-1≤3。令t=-x2+4x-1,則-1≤t≤3。由題意知,當x∈[0,m]時,t∈[-1,3],作出函數t=-x2+4x-1的圖像,如圖1所示。

圖1

由圖可得,當x=0或x=4時,t=-1;當x=2時,t=3。所以當2≤m≤4 時,t∈[-1,3],故實數m的取值范圍是2≤m≤4。

反思:已知f(x)的定義域求f[φ(x)]的定義域,就是解內層函數φ(x)的不等式;反之就是求內層函數φ(x)的值域。已知復合函數f[g(x)]的定義域,求復合函數f[h(x)]的定義域,這兩個復合函數的外層函數相同,其內層函數的值域一定相同,可將問題轉化為由函數的值域確定自變量的范圍問題求解。

創新2:函數單調性中的“創新”

例2已知函數f(x)是定義在R 上的奇函數,若對于任意給定的實數x1,x2,且x1≠x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)

解:對于任意給定的實數x1,x2,且x1≠x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)

當x+1>0時,因為(x+1)f(1-2x)<0,所以f(1-2x)<0,所以1-2x>0,據此解得>x>-1;當x+1<0時,因為(x+1)f(1-2x)<0,所以f(1-2x)>0,所以1-2x<0,此時無解。

反思:函數f(x)在定義域D上單調遞增?函數f(x)在定義域D上,當x1≠x2時,>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立。函數f(x)在定義域D上單調遞減?函數f(x)在定義域D上,當x1≠x2時,<0 或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立。

創新3:函數對稱軸中的“創新”

例3已知函數f(x)滿足f(-x)=f(x),當a,b∈ (-∞,0)時,總 有>0(a≠b)。若f(2m+1)>f(2m),則m的取值范圍為____。

解:當a,b∈(-∞,0)時,總 有>0(a≠b),則f(x)在(-∞,0)上單調遞增。因為f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減。因為f(2m+1)>f(2m),所以|2m+1|<|2m|,可得4m+1<0,解得m<

反思:與偶函數有關的函數不等式問題,利用f(|x|)=f(x)可簡化分類計算。

創新4:抽象函數求值的“創新”

例4函數f(x)對任意實數x,y,均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2,且f(1)≠0,則f(2019)=_____。

反思:利用題中條件f(1)≠0,并對x,y進行賦值,得到關于f(x+1)-f(x)=的遞推關系式,這是解答本題的關鍵。

創新5:抽象函數求最值的“創新”

例5已知函數f(x)對任意實數x,y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)。當x>0時,有f(x)<0且f(1)=-2。

(1)判斷f(x)的奇偶性。

(2)求f(x)在區間[-3,3]上的最大值。

解:(1)令x=y=0,則f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0。

令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)對任意x∈R 恒成立,可知f(x)為奇函數。

(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x10。因為f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0 時,有f(x)<0,所 以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<-f(-x1)。又f(x)為奇函數,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-∞,+∞)上是減函數,即對任意的x∈[-3,3],都有f(x)≤f(-3)。

因為f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,故f(x)在[-3,3]上的最大值為6。

反思:求抽象函數的最值問題,一般先確定函數的單調性,然后求其最值。

創新6:抽象函數不等式的“創新”

例6定義在R 上的函數f(x)滿足:對任意實數m,n,總有f(m+n)=f(m)·f(n),且 當x>0 時,0

解:令m=1,n=0,則f(1)=f(1)·f(0),且0

任取x1,x2∈R,令x1>x2,則x1-x2>0,可得0

令m=x,n=-x,可得f(x)=。當x<0 時,-x>0,可得00。所以當x∈R 時,f(x)>0,則f(x2)>0,所以f(x2)[f(x1-x2)-1]<0,即得f(x1)

因為f(6)=f(3+3)=f2(3)=4,所以f(x)f(x-8)=f(x+x-8)≤f(6)。又因為f(x)是R 上的減函數,所以x+x-8≥6,可得x≥7。

反思:解答本題的關鍵是利用條件得到f(x2)[f(x1-x2)-1]<0。