“咬文嚼字”學“單調”

■彭向陽

函數的單調性是函數的一個重要性質,同學們初學函數的單調性,必須深刻理解定義,“咬文嚼字”進行對比學習。

一、“函數沒有單調性”和“函數不單調”

例1討論函數f(x)=kx+b的單調性。

解析

此函數的定義域為R,對于?x1,x2∈R,且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因為x1>x2,所以x1-x2>0。

當k>0 時,k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函數是增函數;當k=0 時,k(x1-x2)=0,可得f(x1)-f(x2)=0,即f(x1)=f(x2),可知函數f(x)=b是常數函數,沒有單調性;當k<0 時,k(x1-x2)<0,可得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

綜上可得,當k>0時,此函數在R 上單調遞增;當k=0時,此函數在R 上不具有單調性;當k<0時,此函數在R 上單調遞減。

點評

函數具有單調性,即要么單調遞增,要么單調遞減。常數函數沒有單調性,即常數函數不具有單調性。二次函數f(x)=x2+1,不能說在定義域R 上單調,只能說在(-∞,0]上單調遞減,在[0,+∞)上單調遞增。反比例函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),不能說在定義域上單調遞增或單調遞減,只能說在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上也單調遞減。

二、“在區間上單調”和“單調區間是”

例2(1)已知函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4)上是減函數,則實數a的取值范圍為____。

(2)已知函數f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調遞減區間是(-∞,4),則實數a的值為____。

解析

函數f(x)=x2+2(a-1)x+2 的對稱軸是直線x=1-a,圖像的開口向上,在(-∞,1-a)上單調遞減,在(1-a,+∞)上單調遞增。

(1)由題意可得(-∞,4)?(-∞,1-a),所以1-a≥4,即a≤-3。故所求實數a的取值范圍為(-∞,-3]。

(2)由題意可知,函數f(x)=x2+2(a-1)x+2 的單調遞減區間是(-∞,4),所以1-a=4,即實數a=-3。

點評

注意“在區間上單調”和“單調區間是”的含義是不相同的。

三、“單調區間”和“定義域”

例3求函數y=(-3+4x-x2)的單調區間。

解析

函數y=(-3+4xx2)是由函數y=t和t=-3+4x-x2復合而成。解題時,先求定義域,再確定單調區間。

由-3+4x-x2=-(x-1)(x-3)>0,可得函數的定義域為(1,3)。

因為函數t=-(x-2)2+1在(1,2]上單調遞增,在[2,3)上單調遞減,而函數y=是減函數,所以此函數在(1,2]上單調遞減,在[2,3)上單調遞增。

點評

求函數的定義域,要注意區間的端點的取舍,要注意函數的單調區間是定義域的子集。求函數的單調區間的關鍵是要先求出函數的定義域。對于復合函數的單調區間,要根據復合函數的單調性法則——同增異減求解。