借用圖形面積巧解質點位移問題

■王偉民

質點做直線運動時,在t1～t2時間內的位移等于質點的v-t圖像與橫軸(t軸)圍成的封閉圖形的面積。在條件合適的情況下,利用求封閉圖形面積的方法來求解質點在某段時間內的位移,往往能夠達到事半功倍的效果。下面舉例分析。

例1一質點從靜止開始做直線運動,第1s內以加速度a=1m/s2運動,第2s內以加速度a'=-1m/s2運動,第3s內以加速度a=1m/s2運動,第4s內以加速度a'=-1m/s2運動,如此反復,經過100s此質點的總位移多大?

分析:因為質點在第1s內從靜止開始做勻加速直線運動,在第2s內做勻減速直線運動的加速度大小和在第1s內做勻加速直線運動的加速度大小相同,所以第2s末質點的速度減小為0。質點按這樣的規律運動時,奇數秒內都是做初速度為0的勻加速直線運動,偶數秒內都是做末速度為0 的勻減速直線運動,其v-t圖像如圖1所示。根據對稱性可知,質點在每秒內的位移大小相等,且方向相同,因此質點在前ns內的總位移(n為正整數)是它在某1s內位移的n倍。本題既可以利用勻變速直線運動的位移公式求解,也可以利用v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積求解。

圖1

解法1:(利用勻變速直線運動公式求解)質點在第1s 內的位移x1==0.5m,質點在前100s 內的總位移x總=100x1=50m。

解法2:(利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形的面積求解)x總=nS△OAB=100××1s×(1m/s2×1s)=50m。

點評

求解這道題時,兩種解法的難易程度不分伯仲。

例2一質點從靜止開始做直線運動,第1s內以加速度a=1m/s2運動,第2s內以加速度a'=-0.5m/s2運動,第3s內以加速度a=1m/s2運動,第4s內以加速度a'=-0.5m/s2運動,如此反復,經過100s此質點的總位移多大?

分析:本題與例1不同的是,質點從第2s開始,在以后的偶數秒內的加速度方向雖然仍與奇數秒內加速度的方向相反,但是大小不再和奇數秒內加速度的大小相等,而只是它的一半,因此在質點的整個運動過程中,除了開始時質點的速度為0,其余各時刻質點的速度都大于0,情況相對復雜。求解本題利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的方法要比利用公式法求解簡單得多。

解:根據題目條件,作出質點的v-t圖像如圖2所示(為了便于比較,我們把例1中質點的v-t圖像也畫出來了),該圖像由鋸齒狀的折線組合而成,折線中向右上方傾斜的各線段的斜率相同,都是1(單位:m/s2),折線中向右下方傾斜的各線段的斜率也相同,都是-0.5(單位:m/s2)。因為折線中各線段的水平寬度相同,都是1s,所以鋸齒狀v-t圖像的向下凹陷的各點在同一條直線上;同理,鋸齒狀v-t圖像的向上凸起的各點也在同一條直線上。作出過鋸齒狀v-t圖像上向下凹陷各點的直線,容易證明,這條直線過坐標原點O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成。選一組三角形(△ABD和△ABD)進行研究,因為△ABC與△ABD同底(以AB為底,AB的“長度”為m/s)且等高(均為1s),所以它們的面積相等。因為直線OP的斜率是,所以質點按題目所要求的規律運動ns之后的總位移(質點的v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積)x總=。代入數據得x總=1287.5m。

圖2

點評

本題也可以利用勻變速直線運動的位移公式進行求解,但是解題過程要麻煩得多,同學們可以嘗試一下。

推廣:一質點從靜止開始做直線運動,第1s內以恒定加速度a運動,第2s內以恒定加速度a'運動(a'的方向與a相反),第3s內以加速度a運動,第4s內以加速度a'運動,如此反復,經過ns此質點的總位移多大?(已知a>0,

解析

作出質點的v-t圖像如圖3甲中鋸齒狀折線所示。可證,折線中向下凹陷的各點在同一條直線上,且過坐標原點O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成,選△OAD進行研究,將其放大,如圖3乙所示。因為AC=a,AF=-a'(a'<0),OC=CE=1s,所以BC=BF=a'),AB=AF+BF=-a'+(a+a')=(a-a'),tan ∠DOE=(a+a'),(a-a')。經過ns,質點的v-t圖像與橫軸圍成的曲邊形的面積(質點的總位移)等于△ABO面積的n倍與直線OP下方底為n,高為(a+a')n的直角三角形的面積,即x總=n·(a-a')+n[(a-a')+n(a+a')]。

圖3

點評

以上三道題目都可以利用勻變速直線運動的位移公式進行求解,除了例1,另外兩個題目利用公式法求解的過程都非常復雜,而利用質點的v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的求解過程比較簡單。同學們在遇到與質點位移有關的問題時,可以根據具體情況,選擇不同的方法進行求解。

感悟與提高

1.一質點從靜止開始做直線運動,第1s內以加速度a=1m/s2運動,第2s內以加速度a'=0.5m/s2運動,第3s以加速度a=1m/s2運動,第4s內以加速度a'=0.5m/s2運動,如此反復,經過100s此質點的總位移多大?

2.一質點從靜止開始做直線運動,第1s內以加速度a=1m/s2運動,第2s內以加速度a'=-0.2m/s2運動,第3s以加速度a=1 m/s2運動,第4 s 內以加速度a'=-0.2m/s2運動,如此反復,經過多長時間此質點的總位移為332m?

參考答案:

1.x總=3762.5m。

2.t=40s。