函數的概念與性質中的創新問題

■廖慶偉

函數是高中數學的重要內容,也是高考的必考內容。在求解函數問題時,要深刻理解函數的概念,靈活運用概念。

雷區1:忽視函數的定義域

例1函數f(x)=(1+x)是()。

A.奇函數

B.偶函數

C.奇函數也是偶函數

D.非奇非偶函數

雷區排查:對定義域內任意的x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),其實質是函數的定義域關于原點對稱。這是函數具有奇偶性的必要條件。

正解:要使此函數有意義,需滿足≥0且1+x≠0,即-1

雷區2:忽視換元后新元的取值范圍

雷區3:對分段函數的概念理解不透

例3已知實數a≠0,函數f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為____。

錯解:由f(1-a)=f(1+a),可得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,即a=-

雷區排查:對于分段函數問題,首先要確定自變量的取值屬于哪個區間,再選取相應的關系式求解。

正解:當a>0時,1-a<1,1+a>1,這時f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,由f(1-a)=f(1+a),可得2-a=-1-3a,解得a=-<0,不合題意;當a<0 時,1-a>1,1+a<1,這時f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由f(1-a)=f(1+a),可得-1-a=2+3a,解得a=-。故a的值為-。

雷區4:忽視對二次函數的對稱軸位置的討論

例4求函數f(x)=x2-4ax+1在區間[0,2]上的最大值和最小值。

錯解:當x=0 時,f(x)取得最小值f(0)=1;當x=2 時,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。

雷區排查:因為函數f(x)=x2-4ax+1的對稱軸x=2a的位置不確定,所以要討論對稱軸x=2a與區間[0,2]的關系。

正解:函數f(x)=x2-4ax+1 在區間[0,2]上的最大值和最小值分區間討論求解。

①當2a<0,即a<0時,由函數f(x)的圖像開口向上,可知f(x)在區間[0,2]上單調遞增,所以當x=0 時,f(x)取得最小值f(0)=1,當x=2 時,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。②當0≤2a≤1,即0≤a≤1 2時,由f(x)的圖像開口向上,可知f(x)在區間[0,2a]上單調遞減,在[2a,2]上單調遞增,所以當x=2a時,f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2,當x=2時,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。③當1<2a≤2,即a≤1時,由f(x)圖像開口向上,可知f(x)在區間[0,2a]上遞減,[2a,2]上遞增,所以當x=2a時,f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2,當x=0時,f(x)取得最大值f(0)=1。④當2a>2,即a>1時,由f(x)圖像開口向上,可知f(x)在區間[0,2]上遞減,所以當x=0時,f(x)取得最大值f(0)=1,當x=2時,f(x)取得最小值f(2)=5-8a。

雷區5:忽視函數圖像不連續

例5函數f(x)=x+的零點個數為()。

A.0 B.1

C.2 D.3

錯解:因為f(-1)=-2,f(1)=2,所以f(-1)f(1)<0,可知此函數在(-1,1)上有1個零點。應選B。

雷區排查:解決函數的零點問題,應先考慮定義域,再考慮函數的圖像是不是連續的。這里函數的圖像是不連續的,所以不能用零點判定定理進行判斷。

正解:此函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)。當x>0 時,f(x)>0,當x<0 時,f(x)<0,所以函數沒有零點。應選A。

或者,由x+=0(x≠0),可得方程x2+1=0無實數解。應選A。

雷區6:混淆函數圖像的變換規律

例6設函數y=f(x)的定義域為R,則函數y=f(x-2020)與y=f(2020-x)的圖像關于()。

A.直線y=0對稱

B.直線x=0對稱

C.直線y=2020對稱

D.直線x=2020對稱

錯解:y=f(x)的圖像向右平移2020個單位得到y=f(x-2020)的圖像,y=f(-x)的圖像向左平移2020 個單位得到y=f(-x+2020)的圖像,所以y=f(x-2020)與y=f(2020-x)的圖像關于y軸(直線x=0)對稱。應選B。

雷區排查:圖像的左右平移變換是針對自變量x,且遵循“左加右減”的原則。

正解:y=f(x-2020)的圖像是f(x)的圖像向右平移2020 個單位得到的,y=f(2020-x)=f[-(x-2020)]的圖像是f(-x)的圖像向右平移2020 個單位得到的。因為f(x)與f(-x)的圖像關于y軸(直線x=0)對稱,所以y=f(x-2020)的圖像與y=f[-(x-2020)]的圖像關于直線x=2020對稱。應選D。

感悟與提高