函數的概念與性質中的易錯點剖析

■謝邦城

下面對函數的概念與性質中的易錯點進行歸納剖析,希望幫助同學們突破這些易錯點,牢固掌握函數知識,逐步培養正確的解題思維模式。

易錯點1:忽視函數定義域的限制作用

易錯點2:忽視單調區間與單調區間子集的意義

例2若函數f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調遞減區間是(-∞,4],則實數a的取值范圍是____。

錯解:函數f(x)圖像的對稱軸方程為x=1-a。由于函數在區間(-∞,4]上單調遞減,所以1-a≥4,即a≤-3。故實數a的取值范圍是(-∞,-3]。

剖析:上述解法忽視了函數的單調區間與單調區間子集的意義。

正解:因為函數的單調遞減區間是(-∞,4],且函數的對稱軸方程為x=1-a,所以1-a=4,可得實數a=-3。

易錯點3:分式類函數研究單調性缺少分類意識

正解:f(x)=,當a>0時,函數的單調增區間為(-∞,-a),(-a,+∞);當a<0 時,函數的單調減區間為(-∞,-a),(-a,+∞)。要使函數在(2,+∞)上為減函數,需滿足a<0。由題意可得2≥-a,即a≥-2。綜上可知,實數a的取值范圍是 [-2,0)。

易錯點4:抽象函數單調性應用中忽視整體變量的范圍

例4已知奇函數f(x)是定義在(-3,3)上的減函數,且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,求x的取值范圍。

錯解:由f(x)是奇函數,可得f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2)。由f(x)在(-3,3)上是減函數,可得x-3>3-x2,解得x>2或x<-3。又f(x)是定義在(-3,3)上的函數,所以2

剖析:上述解法只考慮了奇函數與單調性,沒有考慮整體變量所在的區間。