函數的奇偶性題型直擊

■韋 莉

函數的奇偶性是函數的重要性質,也是高考常考的知識點。下面對函數的奇偶性有關的常見題型進行歸納總結,以期對大家的學習有所幫助。

題型1:函數奇偶性的判斷

例1已知定義在R 上的函數f(x)和g(x),滿足f(0)=1,且對任意的x,y∈R,f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)。試判斷函數f(x)的奇偶性。

解:對任意的x,y∈R,f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),令y=x,則f(0)=f(x-x)=f(x)f(x)-g(x)g(x)=f2(x)-g2(x)。

因為f(0)=1,所以f2(0)-g2(0)=1,所以g2(0)=0,即g(0)=0,所以f(-x)=f(0-x)=f(0)f(x)-g(0)g(x)=f(x)。

又因為f(x)的定義域為R,所以函數f(x)為偶函數。

點評

要判斷函數f(x)的奇偶性,就需要判斷f (x)與f(-x)的關系,故需要對f (x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)中的x,y進行適當的賦值。賦值法是求解抽象函數問題的常用方法。

題型2:利用函數的奇偶性求函數的值

例2已知函數y=f(x)是定義在R 上的奇函數,當x<0時,f(x)=x2+mx+2,且f(1)=-2,則f(2)的值為____。

成年人平均每天需要8個小時的睡眠，而正處于生長發育期的青少年每天則至少需要9個小時的睡眠。但是由于繁重的課業負擔，很多青少年的睡眠時間根本達不到要求，這會嚴重影響其身心的健康發展。

解:由f(x)是R 上的奇函數,可得f(-1)=-f(1)=2,所以1-m+2=2,解得m=1,所以當x<0 時,f(x)=x2+x+2。所以f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,可得f(2)=-f(-2)=-4。

點評

本題是利用奇偶性求函數的值,解題時,只要抓住自變量與函數值的關系,靈活處理即可。

題型3:利用函數的奇偶性求解析式

例3已知函數f(x)是定義在R 上的奇函數,當x≥0 時,f(x)=x(1+x),則函數f(x)的解析式為_____。

解:設x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x(1-x)=-x+x2。因為f(x)是定義在R 上的奇函數,所以f(-x)=-f(x)=-x+x2,可得f(x)=-x2+x=x(1-x)。

故函數f(x)的解析式為f(x)=

點評

解答本題的關鍵是要求出函數f(x)在各個分區間上的解析式。

題型4:利用函數的奇偶性求參數的值

解:由f(x)在[a2-2,a]上是偶函數,可得解得a=1。因為f(x)是偶函數,所以圖像關于x=0 對稱,則=0,即b=3。故a+b=4。

點評

函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提,偶函數的圖像關于y軸對稱,奇函數的圖像關于原點對稱。

題型5:利用函數的奇偶性與單調性解不等式

例5已知函數f(x)=-3x3-2x,若f(m-3)+f(-2m)<0,則實數m的取值范圍為()。

A.(-∞,3) B.(3,+∞)

C.(-∞,-3) D.(-3,+∞)

解:易知f(x)為R 上的奇函數,且在R上單調遞減。由f(m-3)+f(-2m)<0,可得f(m-3)<-f(-2m)=f(2m),所以m-3>2m,解得m<-3。應選C。

點評

利用奇偶性與單調性解不等式時,先利用奇偶性把不等式轉化為f[g(x)]>f[h(x)]的形式,再根據單調性把不等式中的函數符號“f”脫掉,即可得到具體的不等式(組)。

題型6:利用奇偶性求解函數的圖像

例6函數y=的圖像大致為()。

解:易得函數的定義域為R。由函數y=f(-x)==f(x),可知y=f(x)為偶函數,其圖像關于y軸對稱,所以A,B錯誤。當x=1 時,y==-2<0,所以C錯誤。應選D。

點評

判斷函數圖像可以從以下四個方面入手:根據函數的定義域,判斷圖像的左右位置;根據函數的值域,判斷圖像的上下位置;根據函數的單調性,判斷圖像的變化趨勢;根據函數的奇偶性,判斷圖像的對稱性。

感悟與提高

1.若對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),則函數g(x)=+f(x)+3 在 [-2021,2021]上的最大值M與最小值m的和M+m=_____。

提示:在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0得f(0)=2f(0),即f(0)=0。令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數。令函數h(x)=+f(x),則h(-x)=+f(-x)=--f(x)=-h(x),可知h(x)是奇函數,所以在對稱區間上滿足h(x)max+h(x)min=0。當x∈[-2021,2021]時,g(x)max=M=h(x)max+3,g(x)min=m=h(x)min+3,所以M+m=h(x)max+h(x)min+6=6。

2.若函數f(x)=為奇函數,則a=()。

提示:因為f(x)是定義在R 上的偶函數,所以f(2)=f(-2)。因為對任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函數。又1<2<3,所以f(1)