函數單調性的幾個妙用

■吳麗芳

有些數學問題,貌似與函數的單調性無關,其本質是與單調性有關的,因此當直接求解受阻時,若能充分挖掘其結構特點,與單調性聯系起來,將會得到簡捷、直觀的解法。

一、利用函數的單調性比較大小

例1已知函數f(x)=則f(x2+2x+4)與f(2)的大小關系是____。

解:易得f(x)=,它的定義域為[1,+∞)。容易證明它在定義域上是減函數(同學們不妨證明一下)。因為x2+2x+4=(x+1)2+3≥3>2>1,所以f(x2+2x+4)

評注:當函數的單調性確定后,比較函數值的大小只需比較自變量的大小,不必計算函數的值。

二、利用函數的單調性求值域

或者,利用基本不等式也可求得值域(解法略)。

評注:利用函數單調性求函數的值域,是求值域問題的首選方法。

三、利用函數的單調性求最值

例3已知函數f(x)的定義域為R,對任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且 當x>0 時,f(x)<0,f(1)=-2,試判斷在 [-3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值。如果有,求出最大值或最小值,如果沒有,請說明理由。

解:先研究函數的奇偶性和單調性,再求最值。

令x1=x2=0,則f(0)=0。令x1=x,x2=-x,則f(-x)=-f(x),即f(x)是R上的奇函數。設x1,x2∈R,且x10,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)

因為f(1)=-2,所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6。又f(x)在 [-3,3] 上是減函數,所以存在最大值和最小值。

故當x=-3 時,f(x)max=f(-3)=6;當x=3時,f(x)min=f(3)=-6。

評注:利用函數的單調性是求最值的常用方法,解題時必須先判斷函數的單調性。

四、利用函數的單調性解不等式

評注:利用函數的單調性解不等式,體現了函數單調性的逆向應用。解答這類問題,在轉化為不等式時不能忽視函數的定義域。